期末模拟预测卷-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019
考察范围：选择性必修第二册、第三册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若随机变量，且，则（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.2 D．0.3
2． 下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5
B．一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是
C．若随机变量，则方差
D．若随机变量，且，则
3．质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．数列是等比数列，，公比q=3，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列图中，相关性系数最大的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
7．在数列中，已知，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．设函数 ，则 =（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与等差中项为6
C． D．
10．设函数，则（ ）．
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
11．下列关于排列组合数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知，则等式对，恒成立
D．，则x除以10的余数为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是 ．
13． 已知方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 .
①，均为等差数列，则M中最多一个元素；
②，均为等比数列，则M中最多三个元素；
③为等差数列，为等比数列，则M中最多三个元素；
④单调递增，单调递减，则M中最多一个元素
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列是公比大于0的等比数列.其前项和为.若.
（1）求数列前项和为；
（2）设其中是大于1的正整数.
(i)当时，求证：；
(ii)求.
16．已知在处切线为l．
（1）若切线l的斜率，求单调区间；
（2）证明：切线l不经过；
（3）已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据：，，）
17．已知 （ ）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29．
（1）求 的值；
（2）若展开式中 的一次项的系数为56，求实数 的值．
18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为，估计的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
19．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，），已知，则集合A中的元素个数可表示为，又有且．
（1）求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率；
（2）求集合B中所有元素之和为奇数的概率．
（3）取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意）
答案解析部分
1．C
2．C
3．D
4．C
5．A
6．C
7．C
8．A
9．A,D
10．A,D
11．A,B,C
12．
13．
14．①③④
15．（1）解：设等比数列的公比为，因为，所以，即，
即，解得，故；
（2）证明：（i）由（1）可知数列的通项为，
当时，则，即，
可知，
，
可得，当且仅当时等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知数列为等差数列，
，
所以，
当时，符合上式，综上所述：.
16．（1）解：由题意可知：的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，
可得
即切点坐标，切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入可得，整理得，
原题意等价于关于的方程有正根，
令，则，
可知在上单调递增，，
则在无零点，即方程无解，
所以直线不过.
（3）若，.
由题意可知：，
设与轴交点为，时，
若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾；
由（2）知，则，
则切线的方程为，
令，则，
因为，则，
整理得，
令，
可知满足条件的点的个数即的零点个数，
则，
令，解得，令，解得；
则在内单调递减；在内单调递增；
且，，
，
可知：在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
17．（1）解： 解得
（2）解：通项 ，当 时为含 的项
所以 解得
18．（1）解：由题意可得：随机抽取一单，赔偿不少于2次的频率为，
用频率估计概率，所以“随机抽取一单，赔偿不少于2次”概率为.
（2）解：（ⅰ）设为赔付金额，
由题意可知：，且可取，
则有，
，，
，
可得，
所以的数学期望（万元）；
（ⅱ）由题意可得：保费的变化为，
所以估计保单下一保险期毛利润的数学期望（万元）.
19．（1）解：对于数列中的连续3项，，，由，
可得，即必为偶数，
则连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数，
又由为偶数，可得与同奇同偶，
可知数列奇偶项分布为1偶2奇，
记A中奇数元素的个数为m，则，
集合B中所有元素之积为奇数，则B中所有元素为奇数，
设A中所有的奇数元素的集合为C，，且，
则集合B的元素组成情况，即集合C的非空子集共有种，
设事件M：B中所有元素之积为奇数，则．
（2）解：设事件N：B中所有元素之和为奇数，
设A中所有的偶数元素的集合为D．B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E，
则，，，，且为奇数，
则集合B中的偶数元素的组成情况，即F的情况有种，
则集合B中的奇数元素的组成情况，即E的情况有种，
则．
（3）解：1，13除以3的余数为1，记为，；
2.5除以3的余数为2，记为，；
3，21能被3整除，记为，，
由条件可知，不能连续排列，
①，，，，，各自捆绑，则有种排列方案；
②其中2组捆绑，1组分散，以，，，捆绑为例，则仅有或方案，
则有种方案；
③其中1组捆绑，2组分散，以，捆玤为例，在中插空，则必会出现连续，
即相邻3项和被3整除，不合题意；
④3组均分散，则必有连续排列，不合题意，
综上，共有种方案．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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