2025人教A版高中数学必修第一册
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性、奇偶性与对称性
基础过关练
题组一 正、余弦(型)函数的周期性
1.(教材习题改编)函数f(x)=cos的最小正周期是( )
A.2π B. C.π D.
2.(易错题)设ω为实数,函数f(x)=3sinωx+的最小正周期为,则ω的值为( )
A.2 B.±4 C.4π D.±4π
3.(多选题)(2024陕西西安中学月考)下列函数中,最小正周期为π且为偶函数的是( )
A. f(x)=|cos x| B. f(x)=sin 2x
C. f(x)=sin D. f(x)=cos x
4.(2024重庆八中期末)函数y=2sin的最小正周期是 .
5.(2022陕西咸阳期中)已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出该函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期.
题组二 正、余弦(型)函数的奇偶性
6.(2024天津南开期末)下列函数中,图象关于原点对称的是( )
A. f(x)=2x- B. f(x)=2cos x+1
C. f(x)=x2+2x D. f(x)=x3sin x
7.设函数f(x)=sin(x+θ),则“cos θ=0”是“f(x)为偶函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2023湖南衡阳八中期末)已知函数f(x)=asin x+bx+1,若f(-1)=2,则f(1)= .
题组三 正、余弦(型)函数图象的对称性
9.(2024黑龙江牡丹江一中期末)函数f(x)=sin的图象的一条对称轴方程为( )
A.x= B.x= C.x= D.x=
10.若函数f(x)=cos的图象关于直线x=t对称,则t的值可以是( )
A. B. C. D.
11.设函数f(x)=sin,若点是函数f(x)图象的对称中心,则实数m的值可以为 ( )
A. B. C. D.-
12.已知函数f(x)=cos(ω>0)图象的一条对称轴为直线x=,一个对称中心为点,则ω有( )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
能力提升练
题组一 正、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与图象的对称性
1.(2024吉林长春期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为4π,且f(x)≤f恒成立,则f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
2.(多选题)(2024福建福州四校教学联盟期末)已知函数y=2sin+3,则下列结论正确的有 ( )
A.函数的最小正周期为π
B.将函数图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为奇函数
C.函数图象的一个对称中心是
D.函数图象的一条对称轴是直线x=
3.(2024吉林辽源田家炳高级中学期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的相邻两个零点之间的距离是,且直线x=是f(x)图象的一条对称轴,则f= .
4.已知函数f(x)=2cos x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)= .
题组二 函数周期性、奇偶性与图象的对称性的综合运用
5.(2024天津耀华中学期末)函数f(x)=的图象大致为( )
6.函数f(x)=1-(x-π)·sin x在区间上的所有零点之和为( )
A.0 B.2π C.4π D.6π
7.(2024浙江温州中学月考)若函数f(x)=有4个零点,则正实数ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)(2023浙江温州外国语学校月考)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时, f(x)=2,则( )
A. f(-3)=-2
B.函数f(x)是周期函数
C.不等式f(x)>0的解集是{x|4k
9.(2023河南洛阳一中月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足: x∈R,都有f(3+x)=-f(x),且f(10)≤-2, f(-4)=,则实数m的取值范围为 .
答案与分层梯度式解析
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性、奇偶性与对称性
基础过关练
1.C 2.B 3.AC 6.A 7.C 9.D 10.A 11.A
12.A
1.C T===π,故选C.
2.B 由题意可得=,则ω=±4.故选B.
易错警示 研究三角函数的性质时,若x的系数含有参数ω,需对ω的正负进行分类讨论.
3.AC 对于A,定义域为R,因为f(-x)=|cos(-x)|=|cos x|=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,因为y=|cos x|的图象是把y=cos x的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,并保留原x轴及其上方的图象得到的,
所以y=|cos x|的最小正周期为π,所以A正确;
对于B,定义域为R,因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以B错误;
对于C,定义域为R, f(x)=sin=cos 2x,最小正周期为π,因为f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以C正确;
对于D,易知f(x)的最小正周期为=4π,所以D错误.故选AC.
4.答案 4π
解析 T==4π.
5.解析 (1)y=sin x+|sin x|
=k∈Z,画出函数图象,如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,函数的最小正周期是2π.
6.A 图象关于原点对称的函数是奇函数.
对于A,易知f(x)=2x-=2x-2-x的定义域为R,
∵f(-x)=2-x-2x=-f(x),∴f(x)=2x-为奇函数,A正确;
对于B, f(x)=2cos x+1的定义域为R,∵f(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=f(x),∴f(x)=2cos x+1为偶函数,B错误;
对于C,∵f(-x)=x2-2x,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),故f(x)=x2+2x既不是奇函数也不是偶函数,C错误;
对于D,f(x)=x3sin x的定义域为R,∵f(-x)=(-x)3sin(-x)=f(x),∴f(x)=x3sin x为偶函数,D错误.故选A.
7.C 若f(x)=sin(x+θ)为偶函数,则θ=kπ+(k∈Z),因此cos θ=0,反之亦然,所以“cos θ=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.故选C.
8.答案 0
解析 设F(x)=f(x)-1=asin x+bx,
则F(x)的定义域为R,F(-x)=-asin x-bx=-F(x),故F(x)是奇函数,
∵f(-1)=2,∴F(-1)=f(-1)-1=2-1=1,
∴F(1)=-F(-1)=-1,
∴f(1)=F(1)+1=-1+1=0.
一题多解 由函数f(x)=asin x+bx+1得f(-x)+f(x)=asin(-x)+b(-x)+1+asin x+bx+1=(-asin x+asin x)+(-bx+bx)+2=2,所以f(1)+f(-1)=f(1)+2=2,解得f(1)=0.
9.D 令x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z.结合选项可知D正确.故选D.
10.A 因为函数f(x)=cos的图象关于直线x=t对称,所以2t-=kπ,k∈Z,解得t=+,k∈Z,
结合选项知选A.
考场速决 把各选项中t的值代入cos,结果为±1的符合题意.
11.A ∵点是函数f(x)图象的对称中心,
∴m-=kπ,k∈Z,则m=k+,k∈Z,
分别令k=-1,0,1,2,得m=-,,,,故选A.
12.A ∵函数图象的对称中心到对称轴的最短距离是,∴-≥,∴T≤π,
又T=,∴≤π,∴ω≥2,∴ω有最小值2.
能力提升练
1.A 2.AD 5.B 6.C 7.B 8.BC
1.A 依题意得
解得
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,
令x+=kπ,k∈Z,解得x=-+2kπ,k∈Z,
令k=0,可得x=-,
所以函数f(x)=sin的图象的一个对称中心为.故选A.
2.AD 对于A,y=2sin+3的最小正周期T==π,因此A正确;
对于B,将函数图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为y=2sin+3=2sin+3,易知该函数既不是奇函数也不是偶函数,因此B错误;
对于C,函数y=2sin+3的图象的对称中心的纵坐标应为3,因此C错误;
对于D,当x=时,y=2sin+3=2sin +3=1,为最小值,所以直线x=是y=2sin+3的图象的一条对称轴,因此D正确.
故选AD.
3.答案
解析 由函数f(x)的相邻两个零点之间的距离是,
可得f(x)的最小正周期为×2=,则ω==6.
由直线x=是f(x)图象的一条对称轴,可得6×+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,
又0<φ<,所以φ=,则f(x)=sin,则f=sin=.
4.答案 0
解析 易得f(x)的最小正周期为=6, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=-2, f(4)=-1, f(5)=1, f(6)=2,
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=0,
∵2 022=6×337,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 022)=0×337=0.
5.B 由题可得f(x)==,
且其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)===f(x),
所以函数f(x)为偶函数,故排除C,D选项;
又当x∈(0,1)时,1-x2>0,sin x>0,所以f(x)>0,故排除A选项.故选B.
6.C 当x=π时, f(π)=1;
当x≠π时,令f(x)=0,则sin x=,
易知y=sin x的图象关于点(π,0)对称,y=的图象也关于点(π,0)对称,作出两函数的图象,如图所示,
由图象可知,y=sin x(x≠π)与y=的图象在区间上共有四个交点,且两两关于点(π,0)对称,
∴函数f(x)在区间上的所有零点之和为2×2π=4π.故选C.
7.B 当x>0时,令log2x+2x=0,易得x=,
又因为f(x)有4个零点,所以当-π≤x≤0时, f(x)有3个零点,
因为-π≤x≤0,所以-πω+≤ωx+≤,
因此有-3π<-πω+≤-2π,解得≤ω<.故选B.
8.BC 因为f(x+2)=-f(x),
所以f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
即f(x+4)=f(x),
所以函数f(x)是周期为4的周期函数,故B正确.
f(-3)=f(1)=2,故A错误.
当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],则f(-x)=2,
又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2,x∈[-1,0].
因为f(x+2)=-f(x), f(-x)=-f(x),所以f(-x)=f(x+2),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以当x∈(1,2]时,2-x∈[0,1),则f(x)=f(-x+2)=2,当x∈(2,3]时,2-x∈[-1,0),
则f(x)=f(-x+2)=-2=-2.
作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图知在一个周期[-1,3]上, f(x)>0的解集是(0,2),
所以在整个定义域上, f(x)>0的解集是{x|4k
9.答案 [-1,0)∪[3,+∞)
解析 ∵f(3+x)=-f(x),
∴f(6+x)=f(3+(3+x))=-f(3+x)=f(x),
∴f(x)是周期函数,且周期T=6,
∴f(10)=f(-2+2×6)=f(-2)=-f(2)≤-2,
∴f(2)≥2,又f(-4)=f(-4+6)=f(2)=,
∴≥2,即m(m+1)(m-3)≥0且m≠0,
解得-1≤m<0或m≥3,
∴实数m的取值范围为[-1,0)∪[3,+∞).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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