2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--单元整合练　三角函数式的恒等变形（含解析）

2025人教A版高中数学必修第一册
单元整合练　三角函数式的恒等变形
1.(2024山西怀仁期末)已知sin xcos y=,则cos xsin y的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.[-1,1]
2.(多选题)(2024重庆第一中学校期末)下列说法正确的是　(　　)
A.函数y=sin x+cos x+sin xcos x的最大值为+
B.若tan θ=,则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=
C.若sin x+cos x=,则3sin x+4cos x=0
D.已知函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立,则a=
3.(2024浙江宁波镇海中学期末)已知cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),则tan α=(　　)
A.　　　　B.-　　
C.　　　　D.-
4.函数f(x)=的值域为　　　　.
5.(2023福建龙岩上杭一中期末)4sin 80°-等于　　　　.
6.(2024浙江杭州期末)已知x1,x2为方程x2-x+=0的两个实数根,且α,β∈,x1=3x2,则tan α的最大值为　　　　.
7.(2024福建厦门一中月考)如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的始边均与x轴的非负半轴重合,终边分别与圆心在原点的单位圆交于A,B两点.
(1)如果tan α=,B点的横坐标为,求cos(α+β)的值;
(2)设α+β的终边与单位圆交于C,AP,BQ,CR均与x轴垂直,垂足分别为P,Q,R,求证:以AP,BQ,CR的长为三条边长能构成三角形.
8.(2023安徽淮北一中期末)(1)设0<β<α<,且cos α=,cos(α-β)=,求角β的值;
(2)已知tan α=,且sin(2α+β)=sin β,求tan(α+β)的值.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　三角函数式的恒等变形
1.A 2.ACD 3.D
1.A　由sin xcos y=得sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y=+cos xsin y,
因为-1≤sin(x+y)≤1,所以-≤cos xsin y≤①.
又sin(x-y)=sin xcos y-cos xsin y=-cos xsin y,且-1≤sin(x-y)≤1,
所以-≤cos xsin y≤②.
结合①②可得-≤cos xsin y≤,故选A.
2.ACD　对于A,令t=sin x+cos x,则t=sin∈[-,],sin xcos x=,
∴y=t+=(t+1)2-1,t∈[-,],
当t=-1时,ymin=-1,当t=时,ymax=+,故A正确;
对于B,若tan θ=,则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ====,故B错误;
对于C,由sin x+cos x=,得(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,则sin xcos x=-<0,
因为0对于D,因为函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立,所以g(x)max=g=+,
g(x)=3sin x+acos x=sin(x+φ),其中tan φ=,所以=+,整理得(a-)2=0,所以a=,故D正确.故选ACD.
3.D　∵cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),
∴-cos(40°+α)+cos(20°+α)=cos(40°-α),
∴cos(20°+α)=cos(40°-α)+cos(40°+α),
∴cos 20°cos α-sin 20°sin α=2cos 40°cos α,
∴cos 20°cos α-2cos 40°cos α=sin 20°sin α,
则tan α===
====-,故选D.
4.答案　
解析　易得f(x)====2sin x(1+sin x)
=2-,
由题意可得-1≤sin x<1,所以-≤f(x)<2×-=4,
因此,函数f(x)=的值域为.
易错警示　在求函数的值域时,应先依据化简前的函数解析式,求函数的定义域.
5.答案　-
解析　4sin 80°-=
===
===-.
6.答案　12
解析　根据根与系数的关系得x1x2=,x1+x2=-,因为α,β∈,所以tan α>0,tan β>0,所以x1+x2=->0,
因为x1=3x2,所以
因此x1+x2=-=-=,
则tan α+tan β-(1-tan αtan β)tan β=(tan α+tan β)tan β,
整理得tan2β-tan αtan β+tan α=0,
则Δ=tan2α-4tan α≥0,即tan2α-12tan α≤0,解得0≤tan α≤12,
所以0因此tan α的最大值为12.
7.解析　(1)由α是锐角,tan α=,结合同角三角函数的基本关系得sin α=,cos α=,
又cos β=,且β是锐角,所以sin β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.
(2)证明:三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边.
破题关键由三角函数的定义得,AP=sin α,BQ=sin β,CR=sin(α+β),
因为α,β∈,
所以cos α∈(0,1),cos β∈(0,1),
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β又因为α+β∈(0,π),所以-1sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β同理,sin β由①②③可得,以AP,BQ,CR的长为三条边长能构成三角形.
8.解析　(1)因为0<β<α<,且cos α=,cos(α-β)=,所以0<α-β<,sin α==,sin(α-β)==,
所以sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=,
又0<β<,所以β=.
(2)因为sin(2α+β)=sin β,
所以2sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],
即2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α=3sin(α+β)·cos α-3cos(α+β)sin α,
即sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α,
则tan(α+β)=5tan α=5×=.
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