2025人教A版高中数学必修第一册
5.7 三角函数的应用
基础过关练
题组一 三角函数模型在物理中的应用
1.(2023山西朔州期中)某简谐运动可用函数f(x)=4sin,x∈[0,+∞)表示,则这个简谐运动的初相为( )
A. B.- C.8x- D.8x
2.(2023四川成都期中)已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin,则当t= s时,电流强度I为( )
A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A
3.(2024甘肃兰州期末)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s(t)=3sin,那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和往返一次所需的时间(秒)为( )
A.3,4 B.-3,4 C.3,2 D.-3,2
4.(2024北京海淀期末)如图,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=2sin,t∈[0,+∞),φ∈(-π,π).已知当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,则在t=0时h的值为( )
A.-2 B.2 C.- D.
5.简谐运动y=sin的频率f= .
题组二 三角函数模型在生活中的应用
6.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
7.商场人流量是指每分钟通过入口的人数,已知某商场春节期间的人流量满足:F(t)=50+4sin (t≥0),则下列时间段内人流量是增加的是( )
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
8.(2024吉林长春朝阳实验中学期末)已知人的血压在不断变化,心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg,心动周期约为0.75 s,假设他的血压p(mmHg)关于时间t(s)近似满足函数关系式p(t)=b+asin ωt(a>0,ω>0),则当t∈[0,0.75]时,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为( )
A.0.125 s B.0.25 s C.0.375 s D.0.5 s
9.(2024江苏泰州期末)海洋中的波动是海水的重要运动形式之一.在外力的作用下,海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动,由于流体的连续性,必然带动其邻近质点,从而导致其运动状态在空间的传播.某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况,通过数据采集和分析,同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y(米)与时间t(秒)的关系近似满足y=sin(ωt+φ),t∈[0,8],其中常数ω>0,|φ|<π.经测定,在t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰.在t∈[0,8]时,该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为( )
A.秒 B.2秒 C.秒 D.3秒
10.(2024天津一中期末)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin,t∈[0,24),则实验室这一天中t∈ 时温度逐渐升高;若要求实验室温度不高于11 ℃,则在t∈ 时实验室需要降温.
题组三 三角函数模型的建立及其应用
11.(2024湖北恩施期末)如图所示的是一半径为4.8 m的水轮的示意图,水轮圆心O距离水面2.4 m,已知水轮每60 s逆时针转动一圈,若以水轮上点P刚浮出水面时(图中点P0位置)开始计时,则( )
A.点P距离水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式为h=4.8sin
B.点P第一次到达最高点需要10 s
C.在水轮转动的一圈内,有10 s的时间,点P距离水面的高度不低于4.8 m
D.当水轮转动50 s时,点P在水面下方,距离水面2.4 m
12.(2024湖北武汉二中期末)某公园有一座摩天轮,其旋转半径为30米,最高点距离地面70米,按逆时针方向匀速运行一周大约需要18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第3分钟时,他距地面大约为 米.
13.某港口水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h,凌晨0:00时,t=0)的函数,下面是水深数据:
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上表数据得到的曲线如图所示,该曲线可近似地看成函数y=Asin ωt+b(A>0,ω>0)的图象.
(1)求y=Asin ωt+b(A>0,ω>0)的解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m是安全的,如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m,那么该船在什么时间段能够安全进港
能力提升练
题组一 三角函数模型在物理中的应用
1.(2024山东烟台期末)智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声(如图所示).已知噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2π,初相为,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线的解析式为( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=-sin x D.y=-cos x
2.已知某简谐运动可表示为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),其部分图象如图.经测量,振幅为,图中的最高点D与最低点E,F为等腰三角形的顶点,则ω=( )
A. B. C. D.
题组二 三角函数模型在生活中的应用
3.(2024北京密云期末)如图,某“葫芦曲线”经过相同的间隔振幅就变化一次,且过点P,其对应的关系式为|y|=·|sin ωx|(x≥0),其中[x]为不超过x的最大整数,0<ω<5.若该“葫芦曲线”上一点M到y轴的距离为π,则点M到x轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.(多选题)(2024福建福州期末)如图1,一个半径为R的水车可抽象为图2,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<,则下列叙述正确的是( )
A.水斗作周期运动的初相为-
B.在水斗开始旋转的60秒(含)中,其高度不断增加
C.在水斗开始旋转的60秒(含)中,其最高点离平衡位置的纵向距离是3
D.当水斗旋转100秒时,其和初始点A的距离为6
5.(2024福建宁德期末)某市拟建的一块运动场地的平面图如图,其中有一条运动赛道由三部分构成:赛道的前一部分为曲线段BCD,该曲线段为函数y=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<在x∈[-4,0]上的图象,且图象的最高点为C(-1,4);赛道的中间部分为长度是2的水平跑道DE;赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求ω,φ和∠EOF的值;
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪PQMN,如图所示.记∠POF=θ,求矩形草坪PQMN面积的最大值及此时θ的值.
题组三 三角函数模型的建立及其应用
6.(2024福建厦门期末)水星是离太阳最近的行星,在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时,称水星东(西)大距,这是观测水星的最佳时机(如图1).将行星的公转视为匀速圆周运动,则研究水星大距类似如下问题:在平面直角坐标系中,点A,B分别在以坐标原点O为圆心,半径分别为1,3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动,角速度分别为ωA= rad/s,ωB= rad/s,当∠OBA达到最大时,称A位于B的“大距点”.如图2,初始时刻A位于(1,0),B位于以Ox为始边的角φ(0≤φ<2π)的终边上.若φ=0,当A第一次位于B的“大距点”时,A的坐标为 ;在30 s内,A最多有 次位于B的“大距点”.
7.某工厂制作如图所示的一种标识,在半径为3的圆内作一个关于圆心O对称的“H”型图形,“H”型图形由三个等宽的矩形组成,两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍,设∠AOB=2α,“H”型图形的周长为l,面积为S,则l= ,S的最大值为 .
8.(2024江苏无锡期末)如图,已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一个定点,过点A作l1,l2的垂线,分别交l1,l2于点E,D,AD=2,AE=1.B是直线l2上的一个动点,作AC⊥AB,AC与l1交于点C.设∠ABD=α,α∈.
(1)设△ABD的面积为S1,△ACE的面积为S2,求S1+S2的最小值;
(2)若△ABC的外接圆面积不超过,求角α的取值范围.
答案与分层梯度式解析
5.7 三角函数的应用
基础过关练
1.B 2.B 3.A 4.D 6.C 7.C 8.B 9.C
11.D
1.B 当x=0时,8x-=-,则这个简谐运动的初相为-.故选B.
2.B 当t= s时,I=5sin=2.5 A.
3.A ∵s(t)=3sin,∴单摆来回摆动的振幅为3厘米,往返一次所需的时间为2π×=4(秒),故选A.
4.D 因为当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,所以×2+φ=π+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,又φ∈(-π,π),故φ=,故h=2sin,故当t=0时,h=2sin=.故选D.
5.答案
解析 因为周期T==16,所以频率f==.
6.C 由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,∴ymax=k+3=8.
7.C 令2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z,所以函数F(t)=50+4sin 的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15] [3π,5π],故选C.
8.B 由题意可知解得b=102,a=24,
ω==2π×=,则p(t)=24sin t+102,
令90≤24sin t+102≤114,得-≤sin t≤,
令x=t,由t∈[0,0.75]得x∈[0,2π],
则-≤sin x≤,x∈[0,2π],
画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,
由图可知,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为×=0.25(s).
故选B.
9.C 因为t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰,所以2T=8-2,得T=3,所以ω==,
当t=2时,y=sin=1,得+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=-+2kπ(k∈Z),因为|φ|<π,所以φ=-,则y=sin,由sin=,得t-=+2kπ或t-=+2kπ,k∈Z,即t=+3k或t=+3k,k∈Z,因为t∈[0,8],所以t=,,,,,因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为++=(秒).故选C.
10.答案 [2,14];(10,18)
解析 令2kπ+≤t+≤2kπ+,k∈Z,
得24k+2≤t≤24k+14,k∈Z,
因为t∈[0,24),所以令k=0,得2≤t≤14,
故实验室这一天中t∈[2,14]时温度逐渐升高.
依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温,
令10-2sin>11,得sin<-,
又0≤t<24,因此
由题意知A=4.8,B=2.4,最小正周期T=60,所以ω==,所以h=4.8sin+2.4,当t=0时,h=0,所以4.8sin φ+2.4=0,解得sin φ=-,又因为|φ|<,所以φ=-,所以h=4.8sin+2.4,故A错误;
令t-=,解得t=20,所以点P第一次到达最高点需要20 s,故B错误;
令4.8sin+2.4≥4.8,得sin≥,令+2kπ≤t-≤+2kπ,k∈Z,得10+60k≤t≤30+60k,k∈Z,由0≤t≤60,得10≤t≤30,所以在水轮转动的一圈内,有20 s的时间,点P距离水面的高度不低于4.8 m,故C错误;
当t=50时,h=4.8sin+2.4=-2.4,所以点P在水面下方,距离水面2.4 m,故D正确.故选D.
12.答案 25
解析 由题意知最低点距离地面10米,最高点距离地面70米,某人在最低点的位置坐上摩天轮,则可设第t分钟时所在位置距离地面的高度为h米,则h=30sin+40,ω>0,
由T=18=,得ω=,所以h=30sin+40,当t=3时,30sin+40=30sin+40=25,故他距离地面大约25米.
13.解析 (1)根据题意可得得
最小正周期T=15-3=12,∴ω==,
∴函数的解析式为y=3sint+10(0≤t≤24).
(2)由题意得y≥4.5+7,即3sint+10≥11.5,
∴sint≥,∴2kπ+≤t≤2kπ+,k∈Z,
又0≤t≤24,∴k=0或k=1,
∴t∈[1,5]或t∈[13,17].
故该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.
能力提升练
1.D 2.D 3.D 4.AD
1.D 由题意得A=1,ω===1,φ=,所以噪声的声波曲线为y=sin=cos x,所以所求解析式为y=-cos x,故选D.
2.D 设该简谐运动的周期为T.
过点D作DH⊥EF,交EF的反向延长线于点H(图略).由题意可得DE=EF,所以=EF,即=T,解得T=4,所以=4,解得ω=,故选D.
3.D 当0≤x<时,0≤<1,则=0,此时关系式为|y|=2|sin ωx|,∵曲线过点P,∴=1,∴=+kπ(k∈Z),即ω=2+4k(k∈Z),∵0<ω<5,∴ω=2.当π≤x<时,2≤<3,则=2,此时关系式为|y|=|sin 2x|,又∵∈,∴|y|==.故选D.
4.AD 由题意知,y=f(t)的最小正周期T=120,则ω==,如图所示,
问题转化为P从A出发,沿圆周按逆时针方向匀速运动,因为A(3,-3),∠AOx∈,所以tan∠AOx=,则∠AOx=,且R==6,连接OP,则∠xOP=ωt-=t-,根据三角函数的定义得,=sin∠xOP=sin,所以y=Rsin=6sin,因此φ=-,故A正确;
当0≤t≤60时,-≤t-≤,所以函数y=f(t)=6sin在t∈[0,60]上不单调,故B错误;
当t-=,即t=50时,函数y=f(t)=6sin取得最大值6,所以|f(t)|的最大值为6,故C错误;
当t=100时,y=6sin=6sin =-3,此时x=6cos=-3,即P(-3,-3),所以|PA|=6,故D正确.故选AD.
5.解析 (1)由题意可得A=4,=-1-(-4)=3,则T=12,故ω==,
将(-1,4)代入y=Acos(ωx+φ),得cos-+φ=1,所以φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<,所以φ=,
故曲线段BCD对应的函数解析式为y=4cos.
令x=0,可得y=6,所以D(0,6),E(2,6),
所以tan∠EOD===,则∠EOD=,
所以∠EOF=-∠EOD=-=.
(2)由(1)可知OE==4,
易知当矩形草坪PQMN的面积最大时,点P在弧上,故OP=4,
由∠POF=θ,0<θ<,得PQ=4sin θ,OQ=4cos θ,OM===4sin θ,
所以矩形草坪PQMN的面积S=PQ·(OQ-OM)=4sin θ(4cos θ-4sin θ)=16(sin θcos θ-sin2θ)=16-8=16sin2θ+-8,
因为0<θ<,所以<2θ+<,
故当2θ+=,即θ=时,Smax=16-8=8,
故矩形草坪PQMN面积的最大值为8,此时θ=.
6.答案 ;6
解析 设沿逆时针方向运动t s.当φ=0时,A,B,当A位于B的“大距点”时,AB与小圆相切,此时△ABO为直角三角形,所以cos∠AOB==,因为ωA>ωB,所以cos∠AOB=cos=cos t=,因为A第一次位于B的“大距点”,所以0
当φ=时,作出直线y=和函数y=cos=sin t的图象,如图所示,
由图可知直线y=与函数y=cos的图象在[0,30]内有6个交点,
因此A最多有6次位于B的“大距点”.
7.答案 28sin α+6cos α;8-16
解析 如图所示,过O作OM⊥AB,垂足为M,OM交CD于N,则M,N分别为AB,CD的中点.
设横向矩形为EFGH.因为AB=2AM=6sin α,AB=EF,所以EF=AB=4sin α,
所以AD=MN=OM-ON=OM-EF=3cos α-2sin α.
故l=4×6sin α+2×(3cos α-2sin α)+2×4sin α
=28sin α+6cos α.
S=2S矩形ABCD+S矩形EFGH=2S矩形ABCD+S矩形ABCD=S矩形ABCD
=×6sin α×(3cos α-2sin α)=48sin αcos α-32sin2α=24sin 2α-16(1-cos 2α)=24sin 2α+16cos 2α-16=8sin(2α+φ)-16,其中tan φ=.当sin(2α+φ)=1时,S取得最大值,为8-16.
8.解析 (1)易知∠EAC=∠ABD=α,α∈,
∴BD=,AB=,EC=tan α,AC=,
∴S1=×AD×BD=,S2=×AE×EC=,
∴S1+S2=+,α∈,
令x=tan α,则f(x)=+,x∈,
易知函数f(x)在上单调递减,
∴f(x)≥f()=+=,即S1+S2的最小值为,当且仅当α=时取得.
(2)设△ABC外接圆半径为r,则BC=2r,
由题知△ABC外接圆面积S=πr2≤,则4r2≤10,即BC2≤10,
由题可得BC2=AC2+AB2=+,
∴+≤10,∴1+3cos2α≤10sin2αcos2α,
∴5cos22α+3cos 2α≤0,解得-≤cos 2α≤0,
∵α∈,∴2α∈,
∴-≤cos 2α≤,
∴-≤cos 2α≤0,∴≤2α≤,
解得α∈.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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