2025人教A版高中数学必修第一册
5.1.2 弧度制
基础过关练
题组一 弧度制
1.(教材习题改编)780°=( )
A. B. C. D.
2.(教材习题改编)把-化成角度是( )
A.-960° B.-480° C.-120° D.-60°
3.(2023江苏常州十校联考)-是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
题组二 用弧度制表示终边相同的角
4.(2024天津静海四校段考)在0~2π范围内,与-角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
5.(2024河北张家口期末)终边落在第一象限的角α的集合用弧度制表示为 .
6.将下列各角转化成2kπ+α(k∈Z,且0≤α<2π)的形式,并指出它们是第几象限角.
(1)-1 725°;(2).
题组三 扇形的弧长公式及面积公式的应用
7.(2024江苏五市期末联考)若扇形的弧长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为( )
A.8π cm2 B.8 cm2
C.16 cm2 D.16π cm2
8.(2024湖北武汉期末)已知扇形的面积为4,圆心角的弧度数为2,则扇形的周长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.(2024江苏苏州期末)已知一个扇形的周长为40 cm,面积为100 cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B.1 C. D.2
10.(2024广东东莞高级中学、东莞第六高级中学质检)若扇形的圆心角为,半径为4,则扇形的面积是 .
11.(2023江苏南京师大附中段考)已知扇形的面积为4 cm2,则该扇形的周长的最小值为 cm.
12.已知一扇形的圆心角α=60°,所在圆的半径R=6 cm,求该扇形的周长及其弧所在的弓形的面积.
能力提升练
题组一 弧度制及其应用
1.(2023山东青岛月考)若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为( )
A. B.
C. D.
2.(2022山东济南期末)军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一份的弧所对的圆心角(单位:弧度)叫做1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米(近似等于扇形的弧长),两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=(注:π=3)( )
A.30密位 B.60密位C.90密位 D.180密位
3.(2024广东中山期末)如图,在半径为1 cm的圆周上,一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A(1,0)出发,按逆时针匀速爬行,设红蚂蚁每秒爬过α弧度,黑蚂蚁每秒爬过β弧度(0<α<β<π),两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限,第15秒时又都回到点A.若两只蚂蚁爬行的速度大小保持不变,红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行,黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行,求它们从出发后到第二次相遇时,黑蚂蚁爬过的路程.
题组二 扇形的弧长公式及面积公式的应用
4.(2024吉林期末)“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题,现有一个“圆材埋壁”模型,其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径为1,圆心为O,墙壁截面ABCD为矩形,且劣弧的长等于半径OA长的2倍,则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A.1 B.sin 1cos 1
C.2-sin 1cos 1 D.1-sin 1cos 1
5.(2024安徽阜阳期末)如图,扇环ABCD中,的长为16,的长为48,AD=12,则扇环ABCD的面积为( )
A.190 B.192 C.380 D.384
6.(2024福建厦门一中月考)如图所示,在平面直角坐标系中,将一个半径为1的圆盘固定在平面上,圆盘的圆心与原点重合,圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线,细线的端头M(开始时与圆盘上的点A(1,0)重合)系着一支铅笔,让细线始终保持与圆相切的状态展开,切点为B,细线的粗细忽略不计,当φ=2 rad时,点M与点O之间的距离为( )
A. B. C.2 D.
7.(2024山东青岛二中月考)中国早在八千年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为( )
A.π- B.π-
C.π D.π
8.(2023河北石家庄二中月考)已知扇形的圆心角α=60°,α所对的弧长l=6π,则该扇形的面积与其内切圆面积的比值为 .
9.(2024福建南平武夷山一中期中)《九章算术》是我国古代的数学巨著,其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义,“弧田”(如图中阴影部分所示)是由圆弧和其所对弦围成的,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
(1)当圆心角为π,矢为2时,求弧田的面积;
(2)已知该扇形的圆心角为α,半径为r,周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大
10.如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.
答案与分层梯度式解析
5.1.2 弧度制
基础过关练
1.D 2.B 3.D 4.C 7.C 8.D 9.D
1.D 因为1°=,所以780°=780×=.故选D.
2.B -=-×180°=-480°,故选B.
3.D 因为-=-6π-,所以-是第四象限角.故选D.
4.C 与-角终边相同的角是2kπ+,k∈Z,令k=1,可得与-角终边相同的角是,故选C.
5.答案
6.解析 (1)-1 725°=-5×360°+75°=-10π+,
∴-1 725°角与角的终边相同,
又是第一象限角,∴-1 725°角是第一象限角.
(2)=20π+,∴角与角的终边相同,
又是第三象限角,∴是第三象限角.
7.C 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角为α,依题意得l=8,α=2,
∵l=|α|r,∴r=4,
∴该扇形的面积S=l·r=×8×4=16(cm2).故选C.
8.D 设扇形的面积为S,半径为R,弧长为l,圆心角为θ,则S=4,θ=2,
∵S=θR2,∴4=×2×R2,∴R=2,
∴l=θR=2×2=4,∴扇形的周长为l+2R=4+2×2=8.故选D.
9.D 设扇形的圆心角为α,半径为r cm,周长为C cm,面积为S cm2,
则所以α=2,
所以扇形的圆心角的弧度数为2.故选D.
10.答案 π
解析 扇形的面积为××42=.
11.答案 8
解析 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则lr=4,∴lr=8,∴扇形的周长为l+2r≥2=8(cm),
当且仅当l=2r,即l=4,r=2时,等号成立,此时扇形的周长有最小值,为8 cm.
12.解析 设弧长为l,弓形的面积为S,
∵α=60°=,∴l=αR=×6=2π(cm),
∴扇形的周长为l+2R=(2π+12)cm,S=×2π×6-×6×=(6π-9)cm2.
能力提升练
1.D 2.A 4.D 5.D 6.D 7.A
1.D 直线y=-x过原点,且平分第二、四象限,故在0~2π范围内,终边在直线y=-x上的角有两个:,.
因此,终边在直线y=-x上的角的集合为∪=∪αα=(2n+2)π-,n∈Z=αα=kπ-,k∈Z.
故选D.
2.A 由题意得,1密位==弧度,由已知得扇形的弧长近似等于54米,所以圆心角为= 弧度,所以α=÷=30(密位),所以迫击炮转动的角度为30密位.故选A.
3.信息提取 ①红蚂蚁每秒爬过α弧度,黑蚂蚁每秒爬过β弧度(0<α<β<π);②两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限;③第15秒时都回到点A.
数学建模 利用条件“两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限”列出不等式,确定α,β的范围,利用条件“第15秒时又都回到点A”列出等式.联立等式与不等式求出α,β;利用第二次相遇时两只蚂蚁距离之和为2倍周角求出时间,再利用黑蚂蚁的速度求出它爬过的路程.
解析 由已知得即得
设它们从点A出发后到第二次相遇时,用的时间为t秒,
则(α+β)t=2×2π,即t=4π,解得t=6,
则黑蚂蚁爬过的路程l=π×6×1=π(cm).
4.D 由题意得劣弧的长为2,扇形AOB的半径r=1,设∠AOB=α,则αr=2,即α=2,
则扇形AOB的面积为αr2=1,
过点O作OH⊥AB,则∠AOH=∠BOH=1,则sin 1==AH,cos 1==OH,则AB=2AH=2sin 1,
则S△AOB=×2sin 1cos 1=sin 1cos 1,
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积为1-sin 1cos 1.故选D.
5.D 如图,延长DA,CB,交于O,设∠AOB=θ,OA=r,由的长为16,的长为48,AD=12,
得解得r=6,则OD=12+6=18,
扇环ABCD的面积S=×48×18-×16×6=384.故选D.
6.D 设圆O的半径为R,由已知得R=1,当φ=2 rad时,BM==φ·R=2,
又BO=1,所以MO==.故选D.
7.A 如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,则点E,F分别为BC,AD的中点,且OB=OC,
因为BC∥AD,所以=,即==,解得OB=3,
所以△OBC是边长为3的等边三角形,
所以∠BOC=,
所以玉佩的面积S=S扇形-S△OBC=·∠BOC·OA2-BC·OE=××72-×3×=-.
故选A.
8.答案
解析 扇形的圆心角α=60°=,
设扇形的半径为R,因为α所对的弧长l=6π,
所以有R·=6π R=18,扇形的面积为×6π×18=54π.
设扇形内切圆的半径为r,如图所示:
显然∠APO=,OA=OB=r,PB=R=18,
由sin∠APO=得=,所以r=6,
所以扇形内切圆的面积为π·62=36π,
因此该扇形的面积与其内切圆面积的比值为=.
9.解析 (1)如图所示,
由已知得∠AOB=,CD=2,设扇形的半径为R,
则AB=2Rsin=R,OD=Rcos =,∴CD=OC-OD=R-=2,解得R=4,
∴弧田的面积为S扇形AOB-S△AOB=πR2-·OD·AB=R2-R2=-4.
(2)设扇形的弧长为l,则l=αr,故该扇形的周长为αr+2r=c,∴r=,
∴扇形的面积S=αr2==≤=,当且仅当α=,即α=2时,等号成立,
故α为2弧度时,该扇形的面积最大.
10.解析 由题意可得OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,则扇形AOB'的面积为××12=,Rt△B'OC'的面积为××=,故题图中B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=,而半圆的面积为,所以边BC扫过区域的面积为-=.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
