暑假作业 09 一次函数应用类型题精练
知识点1．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
知识点2．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
题型一：分配方案问题
1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（ ）
A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米
2． “生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
3．某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元．
(1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围）
(2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？
4．馇酥是陕西省咸阳市乾县的著名小吃，被列为陕西省第二批非物质文化遗产项目之一，作为当地的民间食品，有着悠久的历史和文化背景，因其油多而不腻、糖多而不厌、滋养而不过补，深受省内外人们的喜爱．王英去咸阳旅游，准备带些馇酥回家给家人品尝，她发现甲、乙两家食品超市都在销售相同品质的馇酥，且标价均为12元/千克，经询问，两家超市均给出了优惠方案，甲超市的优惠方案是：无论购买多少，一律按标价的8折付款；乙超市的优惠方案是：若一次性购买不超过5千克，按标价付款，若一次性购买超过5千克，则超过部分按标价的5折付款．设王英购买的数量为x（）千克，在甲超市购买需付款元，在乙超市购买需付款元．
(1)分别求、与x之间的函数关系式；
(2)若王英一次性购买9千克，请计算并说明，王英在哪家超市购买较划算？
题型二：最大利润问题
5． 1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
6．为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下：
饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 200
乙 300
已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．
(1)求的值；
(2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件．
①求销售完这两种饰品的最大利润；
②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值．
7．泰山女儿茶是泰安市著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的女儿茶，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
销售（元/袋） 80 100
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌女儿茶每袋上涨5元，B品牌女儿茶每袋上涨6元，该茶叶专卖店计划购进A、B两种品牌女儿茶共180袋，且B品牌女儿茶的数量不超过A品牌女儿茶数量的2倍，销售时，A品牌女儿茶售价不变，B品牌女儿茶售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
8．中华优秀传统文化源远流长,是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元；
(2)为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大,书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
9．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元．
(1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？
(2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？
题型三：行程问题
10．如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）
A． B．
C． D．
11． 、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿同一条公路相向而行，他们离地的距离与时间的函数关系如图，则乙从出发到与甲相遇的时间为（ ）
A． B． C． D．
12．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米：
③图中点的坐标为；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米时．
以上4个结论中正确的是 （填序号）
13．如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距、，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时时向终点站C出发；甲，乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
(1)若甲车的速度为，
①分别求、与x之间的函数表达式；
②x为何值时，两车相距；
(2)若甲车的速度为，甲车在终点站C处恰好追上乙车，求a的值．
14．唐徕中学的小明和李老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后李老师做了一会准备活动，小明先跑．当李老师出发时，小明已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与李老师出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)李老师的速度为 米/秒，小明的速度为 米/秒；
(3)当李老师第一次追上小明时，求小明距起点的距离是多少米？
15．甲、乙两地相距300 km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度．
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离．
(3)货车出发多长时间后，两车相距60km？
16．赵老师和小明住同一小区，小区距离学校米赵老师步行去学校，出发分钟后小明才骑共享单车出发，小明途经学校继续骑行若干米到达还车点后，立即跑步返回学校小明跑步比赵老师步行每分钟快米设赵老师步行的时间为分钟，图中线段和折线分别表示赵老师和小明离小区的距离米与分钟的关系；图表示赵老师和小明两人之间的距离米与分钟的关系不完整．
(1)求赵老师步行的速度和小明出发时赵老师离小区的距离；
(2)求小明骑共享单车的速度和小明到达还车点时和赵老师之间的距离；
(3)在图中，画出当时关于的大致图象要求标注关键数据．
17．在直角坐标系中，正方形如图放置，点A 在直线上，点 D在直线上，则k的值为 ．
题型四：几何问题
18．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为的中点，点P为y轴上一动点，当的值最小时，则的周长是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式．
20．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3．
(1)b的值为________；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点．
(1)求点和点的坐标
(2)求直线的表达式；
(3)在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标；
(3)如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标．
题型五：其它一次函数的应用问题
23．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最新人体构造学的研究成果，一般情况下人的指距（单位：）和身高（单位：cm具有一定的对应关系．下表是指距与身高的一组对应数据：
指距
身高
若小涵身高是，他的指距是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本，改变后y与x的关系图为射线②．两射线与x轴的交点坐标分别是，，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元．
25．明家附近有一水库，为了给农田灌溉做好储备用水，水库管理部门关闭放水阀开始蓄水，为保证大坝的安全，当水深达到时，水会从安全口流出，维持水库内的水深在不变、小明在每天同一时刻对水库的水深进行了观察并记录．
蓄水时间t/天 1 2 3 4 …
水深 18.6 19.2 19.8 20.4 …
(1)小明发现当水深不高于时，水深h与蓄水时间t之间满足一次函数关系，请求出此时水深h关于蓄水时间t的函数解析式．
(2)求出蓄水30天后的水深．
26．某手机的电板剩余电量（毫安）是使用天数的一次函数，和的函数关系如图所示．
(1)此种手机的电板最大带电量是_____毫安，此种手机在充满电时最多可供手机消耗_____天，此种手机每天消耗电量______毫安；
(2)求一次函数的解析式，并说出和的实际意义；
(3)此种手机剩余毫安电量就会发出提示音，在手机充满电后，使用_____天后，手机会发出提示音？
27．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（ ）
A． B． C． D．18
28．某玩具批发市场批发玩具的批发价和零售价格如下表所示：
名称 A型玩具 B型玩具 C型玩具
批发价（元/个） 30 50 25
零售价（元/个） 35 60 m
(1)若某玩具店第一次花1200元购进A、B两种玩具若干件，全部出售赚了220元，那玩具店共购进A、B型玩具各多少件？
(2)为了满足市场需求，玩具店第二次决定再用不超过2040元的资金购进A玩具和B玩具共50件，若要求购进B玩具的数量不少于A玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
(3)为了增加玩具种类，玩具店决定继续增加投入，同时购进玩具A、B、C三种玩具．所购三种玩具全部售出，经核算，三种玩具的总利润均相同，且A、B两种玩具的销量之和是玩具C销量的3倍，求玩具C的零售价m．
29．节能减排从我做起，只有坚持节约发展、清洁发展、安全发展，才能实现经济又好又快发展．为了节能减排，某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元．
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案．
30．一天早上，某超市购进了一种青菜共千克，营业前，先按零售价的七折批发出去了千克．超市营业后到晚上七点半之间零售了千克，之后把余下的打六折零售，在晚上九点半闭门前该青菜售罄．设超市零售青菜总重量为千克（忽略损耗），当天总销售额为元，得到与的函数关系如图．
(1)解释点表示的实际意义，并求该青菜每千克的零售价；
(2)求与之间的函数关系式；
(3)若该超市当天购进这种青菜的总成本为元，设该青菜当天的总盈利为元，求与之间的函数关系式．
31．广西“稻鱼综合养殖”符合生态养殖，绿色发展．某稻鱼综合养殖户计划购买甲，乙两种禾花鱼鱼苗，经调查，得到以下信息：
购买重量小于40 购买重量不小于40
甲鱼苗 原价销售 打七折销售
乙鱼苗 原价销售 打八折销售
如果购买10的甲鱼苗和5的乙鱼苗需用700元，如果购买20的甲鱼苗和15的乙鱼苗需用1600元．
(1)甲鱼苗和乙鱼苗的单价各是多少元？
(2)现决定购买甲，乙两种鱼苗共90，其中，乙鱼苗的重量不大于甲鱼苗重量的2倍，设购买甲鱼苗（），求该养殖户购买这批鱼苗的总费用W与a之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，请设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
32．在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接交轴于．
(1)直接写出________，________；
(2)如图1，点是轴上一点，且三角形的面积为，求点的坐标；
(3)如图2，已知，直线交轴于，点是轴上一点，，点在直线上．
①、之间满足的数量关系为________（用含的式子表示）；
②在点运动过程中，若三角形的面积不超过三角形面积的，求的取值范围为________．
33．如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒．
(1)火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒；
(2)当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标；
(3)若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长．
34． “五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：
方案 促销方案
方案一 所有服装全场六折
方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券）
方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元）
（注：一人只能选择一种方案）
(1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．
求裤子的标价；
请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；
(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______；
(3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？
35．【综合与实践】
【问题背景】
如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间
流水时间 0 10 20 30 40
水面高度 30 29 28.1 27 25.8
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
(1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
(2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
(3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值；
t 0 10 20 30 40
30 29 28 27 26
36．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表：
价格 A B
进价（元/件） 94 146
售价（元/件） 120 188
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
37．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____．
(2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
38．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
39．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．
(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中的值；
②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
试卷第2页，共47页
暑假作业 09 一次函数应用类型题精练
知识点1．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
知识点2．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
题型一：分配方案问题
1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（ ）
A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米
【答案】C
【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，
A方案：一共需要花费：，
B方案∶ 一共需要花费：，
若选择A方案，，解得：，
若选择B方案，得，
由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800米，
故选：C．
2． “生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
【答案】(1)，(2)方案一
【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为，
与之间的函数关系式为．
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
3．某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元．
(1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围）
(2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？
【答案】(1)；(2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案；当送货量为200件时，，则两种方案都可以；
当送货量大于200件时，，则选择甲方案
【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入，
得：，
解得：，
关于x的函数解析式为；
∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，
∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元．
可设关于x的函数解析式为，将代入，
得：，
解得：，
关于x的函数解析式为．
（2）由图知：
当送货量小于200件时，，则选择乙方案；
当送货量为200件时，，则两种方案都可以；
当送货量大于200件时，，则选择甲方案．
4．馇酥是陕西省咸阳市乾县的著名小吃，被列为陕西省第二批非物质文化遗产项目之一，作为当地的民间食品，有着悠久的历史和文化背景，因其油多而不腻、糖多而不厌、滋养而不过补，深受省内外人们的喜爱．王英去咸阳旅游，准备带些馇酥回家给家人品尝，她发现甲、乙两家食品超市都在销售相同品质的馇酥，且标价均为12元/千克，经询问，两家超市均给出了优惠方案，甲超市的优惠方案是：无论购买多少，一律按标价的8折付款；乙超市的优惠方案是：若一次性购买不超过5千克，按标价付款，若一次性购买超过5千克，则超过部分按标价的5折付款．设王英购买的数量为x（）千克，在甲超市购买需付款元，在乙超市购买需付款元．
(1)分别求、与x之间的函数关系式；
(2)若王英一次性购买9千克，请计算并说明，王英在哪家超市购买较划算？
【答案】(1)，(2)王英在乙超市购买较划算，见解析
【详解】（1）解：根据题意，得
；
；
（2）当时，
，
，
∵，
∴王英在乙超市购买较划算．
题型二：最大利润问题
5． 1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】费用最少的方案是购买A种树苗棵，栽种B种花卉的数量为棵，最小费用为元．
【详解】解：设购买A种国槐树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则栽种B种国槐树苗的数量为棵，
根据题意，可得：，
∵A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，
∴，
解得：，
∵，
随x的增加而减少，
∵x取整数，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴费用最少的方案是购买A种国槐树苗棵，栽种B种国槐树苗的数量为棵，最小费用为元．
6．为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下：
饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 200
乙 300
已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．
(1)求的值；
(2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件．
①求销售完这两种饰品的最大利润；
②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值．
【答案】(1)a的值为100(2)①销售完这两种饰品的最大利润为41000元；②m的最大值为40
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
（2）解：①设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元，
由题意得：，
其中，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值y，
答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元；
②设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元，
由题意得：，
∵，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y的最小值，
解得：，
∴m的最大值为40．
7．泰山女儿茶是泰安市著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的女儿茶，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
销售（元/袋） 80 100
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌女儿茶6080元购进B品牌女儿茶，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌女儿茶每袋上涨5元，B品牌女儿茶每袋上涨6元，该茶叶专卖店计划购进A、B两种品牌女儿茶共180袋，且B品牌女儿茶的数量不超过A品牌女儿茶数量的2倍，销售时，A品牌女儿茶售价不变，B品牌女儿茶售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)60(2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元．
【详解】（1）解：由题意得，，解得，
经检验是原方程的解，
∴x的值为60．
（2）解：设A为m袋，则B为袋，
由题知：，
解得，
设总利润为w元，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3660元．
8．中华优秀传统文化源远流长,是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元；
(2)为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大,书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
【答案】(1)《孙子算经》30元，《周髀算经》40元；
(2)《孙子算经》106本，《周髀算经》54本，最少4806元．
【详解】（1）解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）解：设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少．
9．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元．
(1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？
(2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？
【答案】(1)甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元；
(2)商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元．
【详解】（1）解：设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元；
（2）解：设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯，
根据题意得：，
解得：，
设商家售完这1000杯果汁可获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，（元），
答：商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元．
题型三：行程问题
10．如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：开始随着时间的增多，行进的路程也将增多；由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，此时时间在增多，行驶路程不变，因此排除B；后来加快了速度，仍保持匀速行进，此时行驶的路程随时间的增多，行驶的路程也增多，且比开始时，路程增加的比开始要快，因此可以排除，故C正确．
故选：C．
11． 、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿同一条公路相向而行，他们离地的距离与时间的函数关系如图，则乙从出发到与甲相遇的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设甲行驶的函数关系式为，
把代入，得，解得
故解析式为，
设乙行驶的解析式为，
把，代入，，
解得，
故乙的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故相遇时间为，此时乙行驶时间为．
故选C．
12．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米：
③图中点的坐标为；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米时．
以上4个结论中正确的是 （填序号）
【答案】①③④
【详解】解：由图象可得，
快递车从甲地到乙地的速度为：（千米小时），故①正确，符合题意；
甲、乙两地之间的距离为：（千米），故②错误，不符合题意；
图中点的横坐标为：，纵坐标为：，
则图中点的坐标为，故③正确，符合题意；
快递车从乙地返回时的速度为：（千米小时），故④正确，符合题意；
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
13．如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距、，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时时向终点站C出发；甲，乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
(1)若甲车的速度为，
①分别求、与x之间的函数表达式；
②x为何值时，两车相距；
(2)若甲车的速度为，甲车在终点站C处恰好追上乙车，求a的值．
【答案】(1)①， ，②或者(2)
【详解】（1）根据题意有：，，则，
①∵甲、乙两车的速度之和为，甲车的速度为，
∴乙车的速度为，
∴， ；
②根据题意有：，
解得：或者，
即x为或者时，两车相距；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴a的值为．
14．唐徕中学的小明和李老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后李老师做了一会准备活动，小明先跑．当李老师出发时，小明已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与李老师出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)李老师的速度为 米/秒，小明的速度为 米/秒；
(3)当李老师第一次追上小明时，求小明距起点的距离是多少米？
【答案】(1)；(2)6；2(3)300
【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是t；因变量是s．
（2）李老师的速度：（米/秒）；
小明的速度（米/秒）．
（3）设：的表达式为：，将点代入得：，
解得，
，
设的表达式为，将代入得：，
解得：，
设t秒时，李老师第一次追上小明，
根据题意得，解得（秒）
则（米），
当李老师第一次追上小明时，小明距起点的距离是300（米）
15．甲、乙两地相距300 km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度．
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离．
(3)货车出发多长时间后，两车相距60km？
【答案】(1)轿车的平均速度为60km/h，货车的平均速度为40km/h(2)轿车到达终点时，货车
【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为，
轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
（2）解：根据“路程时间速度”，得，
轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
（3）解：当时，设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，得，解得；
当时，设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，，解得．
货车出发或后，两车相距．
16．赵老师和小明住同一小区，小区距离学校米赵老师步行去学校，出发分钟后小明才骑共享单车出发，小明途经学校继续骑行若干米到达还车点后，立即跑步返回学校小明跑步比赵老师步行每分钟快米设赵老师步行的时间为分钟，图中线段和折线分别表示赵老师和小明离小区的距离米与分钟的关系；图表示赵老师和小明两人之间的距离米与分钟的关系不完整．
(1)求赵老师步行的速度和小明出发时赵老师离小区的距离；
(2)求小明骑共享单车的速度和小明到达还车点时和赵老师之间的距离；
(3)在图中，画出当时关于的大致图象要求标注关键数据．
【答案】(1)赵老师步行的速度是米分，小明出发时王老师离开小区的路程是米
(2)小明骑自行车的速度是米分，小明到达还车点时赵老师、小明两人之间的距离是米(3)见解析
【详解】（1）解：由图可得，
赵老师步行的速度为：（米分），
小明出发时甲离开小区的路程是（米），
答：赵老师步行的速度是米分，小明出发时王老师离开小区的路程是米；
（2）解：设直线的解析式为，
，得，
直线的解析式为，
当时，，
则小明骑自行车的速度为：（米分），
小明骑自行车的时间为：（分钟），
小明骑自行车的路程为：（米），
当时，赵老师走过的路程为：（米），
小明到达还车点时，赵老师、小明两人之间的距离为：（米）；
答：小明骑自行车的速度是米分，小明到达还车点时赵老师、小明两人之间的距离是米；
（3）解：小明跑步速度为：（米分），
小明到达学校用的时间为：（分），
当时，赵老师走过的路程为：米，
此时两人间距离为：米，
当时关于的函数的大致图象如图所示．
17．在直角坐标系中，正方形如图放置，点A 在直线上，点 D在直线上，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点 D在直线上，
∴，
∴，
故答案为：．
题型四：几何问题
18．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为的中点，点P为y轴上一动点，当的值最小时，则的周长是 ．
【答案】/
【详解】令 ，则有 ，
解得：，
，
∵点为的中点,
，即 ，
令，则有 ，
解得：，
∴点 ，
，
作点关于轴的对称点，然后连接，交轴于点，如图所示：
∴,
由轴对称的性质可知轴垂直平分，则根据垂直平分线的性质及两点之间线段最短可知当点与点重合时，的值最小，即为的长，
，
的周长为，
故答案为：．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图， 过点A作交直线于E，过点E作轴于F，
∵点，，
∴，
根据题意得：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的函数解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为．
20．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3．
(1)b的值为________；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值．
【详解】（1）解：∵点E在直线上，点E的横坐标为3，
∴点E的坐标为，
将点代入直线得：，
解得：，
故答案为：4．
（2）解：由图象可知，当时，函数的图象在的图象的下面，
∴当时，x的取值范围为．
（3）解：当时，，
∴，即，
∴，
∵点C在直线上，点D在直线上，点P的坐标为，轴，
∴，
∴或，
解得或．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点．
(1)求点和点的坐标
(2)求直线的表达式；
(3)在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1),(2)(3)或
【详解】（1）解：令，则；
∴
令，则，得；
∴
（2）解：∵
∴
将、代入得：
，
解得：
∴直线的表达式为：
（3）解：∵直线的表达式为：
∴
设点
则：
：
，
解得：
∴
：
，
解得：（舍）或
∴
：
，
解得：（舍）或（舍）
∴综上所述：或
22．如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标；
(3)如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或或
【详解】（1）解：∵直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，，
∴，
∴，
解得，
∴．
（2）解：设，过点B作，
∵，
∴，
由题意可得：为等腰直角三角形，
，
，
解得（舍去），或
（3）解：根据题意设，
①当为两组对角线时，
，
解得
．
②当为两组对角线时，
，
解得
．
③当为两组对角线时，
，
解得
．
综上所述，N点的坐标或或
题型五：其它一次函数的应用问题
23．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最新人体构造学的研究成果，一般情况下人的指距（单位：）和身高（单位：cm具有一定的对应关系．下表是指距与身高的一组对应数据：
指距
身高
若小涵身高是，他的指距是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据表格中数据，每增加，身高增加，故与是一次函数关系，
设这个一次函数的解析式是：，
，
解得，
一次函数的解析式是：，
当时，由
解得：．
即可预测他的指距为，
故选：B．
24．如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本，改变后y与x的关系图为射线②．两射线与x轴的交点坐标分别是，，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出①②的解析式，再把代入解答即可．
【详解】解：设①所在直线的解析式为，则：
，
解得，
①所在所在直线的解析式为；
设②所在直线的解析式为，则：
，
解得，
②所在直线的解析式为，
（万元），
即改变后的收支差额较之前增加万元．
故答案为：．
25．明家附近有一水库，为了给农田灌溉做好储备用水，水库管理部门关闭放水阀开始蓄水，为保证大坝的安全，当水深达到时，水会从安全口流出，维持水库内的水深在不变、小明在每天同一时刻对水库的水深进行了观察并记录．
蓄水时间t/天 1 2 3 4 …
水深 18.6 19.2 19.8 20.4 …
(1)小明发现当水深不高于时，水深h与蓄水时间t之间满足一次函数关系，请求出此时水深h关于蓄水时间t的函数解析式．
(2)求出蓄水30天后的水深．
【答案】(1)(2)蓄水30天后的水深为
【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为，
则，
解得：，
即与之间的函数解析式为；
（2）解：当时，，
即蓄水30天后的水深为．
26．某手机的电板剩余电量（毫安）是使用天数的一次函数，和的函数关系如图所示．
(1)此种手机的电板最大带电量是_____毫安，此种手机在充满电时最多可供手机消耗_____天，此种手机每天消耗电量______毫安；
(2)求一次函数的解析式，并说出和的实际意义；
(3)此种手机剩余毫安电量就会发出提示音，在手机充满电后，使用_____天后，手机会发出提示音？
【答案】(1)；；
(2)该一次函数的解析式为，的绝对值表示此种手机每天消耗的电量；表示此种手机的电板最大带电量(3)
【详解】（1）解：∵图像与轴交点为，
∴此种手机的电板最大带电量是毫安，
∵图像与轴交点为，
∴此种手机在充满电时最多可供手机消耗天，
，
∴此种手机每天消耗电量毫安．
故答案为：；；
（2）把和代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，的绝对值表示此种手机每天消耗的电量；表示此种手机的电板最大带电量．
（3）把代入得，
解得：，
∴使用天后，手机会发出提示音．
故答案为：
27．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（ ）
A． B． C． D．18
【答案】B
【详解】解：由图2可知，小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为，
∴小球P的速度为：，
Q的速度为：，
当时，，
又∵，
∴，
解得：，
故选：B．
28．某玩具批发市场批发玩具的批发价和零售价格如下表所示：
名称 A型玩具 B型玩具 C型玩具
批发价（元/个） 30 50 25
零售价（元/个） 35 60 m
(1)若某玩具店第一次花1200元购进A、B两种玩具若干件，全部出售赚了220元，那玩具店共购进A、B型玩具各多少件？
(2)为了满足市场需求，玩具店第二次决定再用不超过2040元的资金购进A玩具和B玩具共50件，若要求购进B玩具的数量不少于A玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
(3)为了增加玩具种类，玩具店决定继续增加投入，同时购进玩具A、B、C三种玩具．所购三种玩具全部售出，经核算，三种玩具的总利润均相同，且A、B两种玩具的销量之和是玩具C销量的3倍，求玩具C的零售价m．
【答案】(1)购进A型玩具20件，购进B型玩具12件(2)购进玩具A型玩具23个，B型玩具27个并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为385元(3)35元
【详解】（1）解：设购进A型玩具x件，购进B型玩具y件，根据题意得,
，
解得，
答：购进A型玩具20件，购进B型玩具12件，
（2）解：设第二次购进A型玩具a件，购进B型玩具件，根据题意得：
，
解得，；
又购进B玩具的数量不少于A玩具的数量，
∴，
解得，，
∴，
设利润为W元，则：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，W最大，最大值为，
即购进玩具A型玩具23个，B型玩具27个并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为385元
（3）解：设三种玩具分别购进a、b、c件，由已知得：
，
解得：．
答：玩具C每件的售价为35元．
29．节能减排从我做起，只有坚持节约发展、清洁发展、安全发展，才能实现经济又好又快发展．为了节能减排，某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元．
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案．
【答案】(1)1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元
(2)当购买A型节能灯200只，B型节能灯100只时最省钱
【详解】（1）解：设1只A型节能灯的售价是元，1只B型节能灯的售价是元，
根据题意，得，
解得，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元．
（2）设购买A型节能灯只，则购买B型节能灯只，费用为元，
则，
，
，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买A型节能灯200只，B型节能灯100只时最省钱．
30．一天早上，某超市购进了一种青菜共千克，营业前，先按零售价的七折批发出去了千克．超市营业后到晚上七点半之间零售了千克，之后把余下的打六折零售，在晚上九点半闭门前该青菜售罄．设超市零售青菜总重量为千克（忽略损耗），当天总销售额为元，得到与的函数关系如图．
(1)解释点表示的实际意义，并求该青菜每千克的零售价；
(2)求与之间的函数关系式；
(3)若该超市当天购进这种青菜的总成本为元，设该青菜当天的总盈利为元，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)点表示的实际意义为超市营业前批发出去的千克该种青菜的销售额为元，该青菜每千克的零售价为8元
(2)
(3)
【详解】（1）解：点表示的实际意义为超市营业前批发出去的千克该种青菜的销售额为元．
设该青菜每千克的零售价为元，
由题可得，解得．
∴该青菜每千克的零售价为8元；
（2）解：∵该青菜每千克零售价为8元，
∴直线的函数关系式为，
设直线的函数关系式为，
∵，，
将代入，得，
∴．
将，代入，
可得，解得，
∴，
综上所述，；
（3）解：∵该超市当天购进这种青菜的总成本为8750元，
∴该种青菜每千克的进价为元．
∴当时，；
当时，．
综上所述，．
31．广西“稻鱼综合养殖”符合生态养殖，绿色发展．某稻鱼综合养殖户计划购买甲，乙两种禾花鱼鱼苗，经调查，得到以下信息：
购买重量小于40 购买重量不小于40
甲鱼苗 原价销售 打七折销售
乙鱼苗 原价销售 打八折销售
如果购买10的甲鱼苗和5的乙鱼苗需用700元，如果购买20的甲鱼苗和15的乙鱼苗需用1600元．
(1)甲鱼苗和乙鱼苗的单价各是多少元？
(2)现决定购买甲，乙两种鱼苗共90，其中，乙鱼苗的重量不大于甲鱼苗重量的2倍，设购买甲鱼苗（），求该养殖户购买这批鱼苗的总费用W与a之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，请设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
【答案】(1)甲鱼苗价格为50元，乙鱼苗价格为40元
(2)
(3)购买甲鱼苗40，乙鱼苗50时，所需总费用最低，最低总费用为3000元
【详解】（1）解：设甲鱼苗价格为x元，乙鱼苗价格为y元，
由题意得，
解得，
答：甲鱼苗价格为50元，乙鱼苗价格为40元；
（2）根据题意得：，解得，
∵，
∴，
①当时，
W关于a的解析式为：；
②当时，W关于a的解析式为：
；
∴
（3）①当时，，
∵，
∴W随a的增大而增大，
∴当时，W的值最小，此时（元）；
②当时，，
∵，
∴W随a的增大而增大，
∴当时，W的值最小，此时（元），
∵，
∴当购买甲鱼苗40，乙鱼苗50时，所需总费用最低，最低总费用为3000元．
32．在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接交轴于．
(1)直接写出________，________；
(2)如图1，点是轴上一点，且三角形的面积为，求点的坐标；
(3)如图2，已知，直线交轴于，点是轴上一点，，点在直线上．
①、之间满足的数量关系为________（用含的式子表示）；
②在点运动过程中，若三角形的面积不超过三角形面积的，求的取值范围为________．
【答案】(1)，；(2)或(3)①；②
【详解】（1）解：，
又，，
，
；
（2）过点作轴于，
设，
三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，
即，
解得：，
∴点的坐标为．
过点作轴于，
三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
即
，
点的坐标为或．
（3）①∵，，在直线上，
∴是方程的解：
∴
解得：
∴
当时，，则
点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点，则点平移后的对应点恰好是点．
同理可得是方程的解，
∴
解得：
∴
∵在直线上．
∴
故答案为：．即
②连接、，过点作轴，
，
，
∵，
∴，即，
∴，
当点在第三象限时，，
，
解得：，
当点在第二象限时，
，
解得：，
当三角形的面积等于三角形面积的时，点的横坐标是或．
∴三角形的面积不超过三角形面积的，的取值范围为．
33．如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒．
(1)火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒；
(2)当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标；
(3)若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长．
【答案】(1)50，26(2)，(3)18秒
【详解】（1），，
（米，
火车的长度为300米，
则火车行驶的速度为（米秒），火车从开始上桥到完全过桥共用（秒．
故答案为：50，26．
（2）火车的长度为300米，，
当车尾刚好经过点时，火车头．
设射线所在直线的函数表达式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
射线所在直线的函数表达式为；
设射线所在直线的函数表达式为，且．
将坐标代入，
得，
解得，
射线所在直线的函数表达式为；
当射线、射线相交时，得，
解得，
射线、射线的交点坐标为．
（3）当时，射线与射线无交点，设此时．
设当时，射线所在直线的函数表达式为，
将代入，
得，
解得，
，
将代入，得，
解得，
（秒，
激光射线与射线有交点的时长为18秒．
34． “五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：
方案 促销方案
方案一 所有服装全场六折
方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券）
方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元）
（注：一人只能选择一种方案）
(1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．
求裤子的标价；
请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；
(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______；
(3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？
【答案】(1)元；应选择方案三，理由见解析；(2)，，；
(3)当时，用方案三购买更合算．
【详解】（1）解：设裤子的标价为元，
根据题意得，，
解得，
答：裤子的标价为元；
选择方案三，理由如下：
方案一的花费为：元，
方案二的花费为：元，
方案三的花费为：元，
∵，
∴应选择方案三；
（2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为；
故答案为：，，；
（3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元，
∵，
∴ 用方案一购买更合算；
当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元，
当时，解得，
∴当时，用方案三购买更合算；
当时，两种方案购买花费一样多；
当时，用方案一购买更合算；
综上，当时，用方案三购买更合算．
35．【综合与实践】
【问题背景】
如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间
流水时间 0 10 20 30 40
水面高度 30 29 28.1 27 25.8
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
(1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
(2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
(3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值；
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，
时，；时，；
，
解得：，
水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
（2）将代入解析式得：
解得：
又初始时间为
水面高度为时的时间是
（3）根据（1）中解析式求出所对应的函数值
t 0 10 20 30 40
30 29 28 27 26
根据w的定义得：
．
36．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表：
价格 A B
进价（元/件） 94 146
售价（元/件） 120 188
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
【答案】(1)16元， 6元(2)25件， 3590元
【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价元，每个肉粽的进价元．
根据题意可得：
，
解得：
，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元．
（2）解：设该超市应准备件A种组合，则B种组合数量是件，利润为W元，
根据题意得：，
解得：，
则利润，
可以看出利润是的一次函数，随着的增大而增大，
∴当最大时，最大，
即当时，，
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润3590元．
37．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____．
(2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
【答案】(1)，(2)(3)或
【详解】（1）解：由图可得，即甲出发3时后与地相距，
∴甲车行驶速度为；
由题意可得，，即乙车出发行驶，
∴乙车行驶速度为，
故答案为：，；
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
将，代入，得．
解得．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：在中，当时，，
∴，
由（1）可得乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
则乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
设乙车出发时，两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
由，
解得，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，则，
解得，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，则
解得，（不合题意，舍去）
综上，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
38．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)相邻刻线间的距离为5厘米
（5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解．【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）解：由任务一可知：，
∴，
∴；
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
39．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．
(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中的值；
②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【答案】(1)(2)①；②能追上，理由见解析
【详解】（1）解：由图可得，
（米/分），
∴哥哥步行速度为100米/分．
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴．
②能追上．
如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，
设所在直线为，将代入，得，
解得，
∴．
∵妺妺的速度是160米/分．
设所在直线为，将代入，得，
解得，
∴．
联立方程，
解得，
∴米，即追上时兄妺俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键．
试卷第2页，共47页
