永州一中2024年高二第二次月考（数学）试题
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.是复数为纯虚数的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数是（ ）
A.8 B.-8 C.32 D.-32
6.人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用对抗，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8.设正实数满足，则当取最大值时，的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.-1 D.1
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.的最小值为1 B.
C. D.
11.已知函数是自然对数的底数，则（ ）
A.
B.若，则
C.的最大值为
D.“”是“”的充分不必要条件
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
13.春暖花开季节，小王 小李 小张 小刘四人计划“五 一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖 净月 莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.
14.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足为参数.令，计算得.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为__________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数__________.（参考公式：决定系数）
四 解答题（本题共5小题，共77分）
15.（13分）为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了100名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图.
（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法
化学疗法 18
合计 100
（2）依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关.
附：
16.（15分）投掷一枚均匀的股子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，
3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.
（1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
（2）记次抛掷得分恰为分的概率为，求的前项和；
17.（15分）如图，在四棱锥，为的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）求面积的最大值.
19.（17）已知曲线在点处的切线为.
（1）求直线的方程；
（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；
（3）设，求证：.
月考数学答案
1-8BCBBCCDD
9.AC 10ACD 11ACD
12. 13. 14.；
15.（1）
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法 20 20 40
化学疗法 42 18 60
合计 62 38 100
（2）假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关，则根据列联表中的数据计算，所以依据小概率值的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16.（1）得2分的概率为，得1分的概率为的可能取值为，
2 3 4
的分布列为
数学期望.
（2）因为次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分，
于是，则，
于是，
两式相减，得
，
所以.
17.（1）取的中点，连接，因为，所以.
因为，所以.
又因为平面平面，所以平面因为为的中点，为的中点，所以.又因为平面平面，所以平面又因为I，所以平面平面.而平面，
故平面.
（2）因为平面平面，连接交于点，连，由对称性知，为中点，且.如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则.设，则，，得.
设平面的一个法向量为，由于，
则得令，得，故，设直线与平面所成角为，由于，则，故直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）依题意椭圆的标准方程为.设直线方程为
，由得，
，
，解得.
（2）由（2）得，
，
的面积，，令，解得，即在上单调递增，令，解得或，即在和上单调递减，所以当时，取到最大值的面积.
19.（1）因为，所以，
所以直线的方程为：，即
（2）令，则，
令，则，由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以
，当且仅当等号成立，所以除切点之外，曲
线在直线的下方.
（3）由，解得，解得，所
以在上单调递增，在上单调递减，
，当时，.因为，则
，不妨令.因为曲线在点的切线方程为，
设点在切线上，有，故，
由（1）知时，，则，即，
要证：，只要证：，只要证：，
又，只要证：，令，
则，易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，所以成立，所以原命题成立.
