2021级高三下学期高考模拟试题
理科数学
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．秦九昭是我国南宋时期的数学家，普州（现在四川安岳人），他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序给出了利用秦九昭算法求多项式值的一个实例.如输入的值分别是，则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．-1
6．甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率（ ）
A． B． C． D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A． B． C． D．
8．已知动直线与圆（圆心为）交于点，则弦最短时，的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.它历史悠久 风格独特，规模宏大 结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A． B． C． D．
10．在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为（ ）
B． C． D．
12．已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与的渐近线及右支分别交于两点，若，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．的展开式的第四项为 .
14．已知不等式组表示的平面区域不包含点，则实数的取值范围是 ．
15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 .
16．已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，求数列的前项和．
18．电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2.
(1)证明：.
(2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数
(1)讨论的单调性;
(2) 当 时,证明:
21. 已知椭圆经过点 ,其右顶点为。
(1)求椭圆 的方程;
(2) 若点 在椭圆 上,且满足直线 与 的斜率之积为 . 求 面积的最大值。
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，点的极坐标为，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）若a，b均为正实数，且满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：
2021级高三下学期高考模拟试题
理科数学参考答案
1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C
【详解】解：如图，
不等式组表示的平面区域为及其内部，其中，所以，
设直线与直线分别交于点，
所以满足的平面区域为四边形及其内部，
，
所以满足的概率为．
故选：C．
7．B【详解】在中，则，
因为，
且，
则，
在中，则．
故选：B．
8．D
【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径，
动直线，即，恒过点.设，又由，则点在圆的内部，
动直线与圆（圆心为）交于点，当为的中点，即与垂直时，弦最短，
此时，弦的长度为，
此时的面积，
故选：D.
9．A【详解】当圆形排在第一个，因为方形 五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形 五角形内部排列 ，
有种不同的排法.,同理当圆形排在最后一个有种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
10．C【详解】在中，，则，
所以，则
由题可知，当平面平面时，三棱锥的体积最大.
如图，可将三棱锥补全为正方体，则三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为.故选：C
11．B【详解】如图，连接，过作，垂足为．
在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，异面直线间垂线段最短
故．
过作于点，连接，易得平面，
则，又，所以．
因为，，，，
所以，则． 当与重合时，，；
当与重合时，由，，,得平面，
所以，所以，．
所以的面积的取值范围为，故选：B
12．C【详解】因为，可知为的中点，
且为的中点，可知∥，
又因为，可知，则，
则点到直线的距离，
可得，由可得，整理得，则，整理得，
所以的离心率为.故选：C.
二、填空题
13．
【详解】的展开式的通项为，
令，得
故答案为：.
14．【详解】若不等式组表示的平面区域包含点，
则点满足不等式组，即，解得，
∴若不等式组表示的平面区域不包含点，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．等腰三角形或直角三角形.
【详解】由得，
则，
所以，所以，
所以或，
因为，，所以或，
所以的形状为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
16．1
【详解】通过观察
可得恒成立；整数满足恒成立则一定满足恒成立；
注意到时，，取特殊值，得到，
可验证当时，若取大于的整数，都有使得.
下面验证满足恒成立：令，，
，，由零点存在定理得：存在使得.
且当，，单调递减；，，单调递增；
满足.，当且仅当取等，,可得恒成立，即恒成立，恒成立.
综上，可知满足题意的最大整数为.
故答案为：1
三、解答题
17、【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）当时，，即，，
所以，同理．
当时，，化简得：
，因为，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因为是等比数列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以当为奇数时，
，
，
同理当为偶数时，．
所以.
18．(1)；
(2)分布列见解析，3.75；
(3)（i）能；（ii）2198人．
【详解】（1）由已知，完成列联表，
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
，
根据条件，可得，解得，
因为，所以．
（2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，
对“反诈”知识了解的概率为，则，
，
，
，
，
，
．
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以．
19．(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：翻折前，在中，，翻折后，有，，
又，、平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为二面角为，，，
所以，二面角的平面角为，
以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则、、、、.
，，，.
设，，其中，
设平面的法向量为，
由得，
取，可得，
，解得，合乎题意，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为.
20、【解答】解: (1) 由题意得, ,
当 时, ,函数 在 上单调递增;
当 时,由 得, ,故函数 在 上单调递增,由 得 ,故函数 在 上单调递减。……………………………4分
证明: (2)要证 ,即证
即证 ,………………………..5分
设 ,
故 在 上单调递增,所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以 ,
① 当 时,因为 ,所以 ………....7分
② 当 时, ,
令 ,则 ,
设 ,则 ,
因为 时, 单调递增,所以 ,
所以 即 在 上单调递增,………………………9分
所以 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,所以 。………..11分
综上可知,当 时, ,
即 。……………………12分
21、【解答】解: (1)依题可得 ,解得 ,所以椭圆 的方程为 …..4分
(2)易知直线 与 的斜率同号,所以直线 不垂直于 轴,
故可设 ,
由 ,可得 ,
所以 ,………………….6分
而 ,即 ,化简可得 ①
因为 ,
令 可得 ②,
令 可得 ③,
把②③代入①得 ,化简得 ,
所以 或 ,所以直线 或
因为直线 不经过点 ,所以直线 经过定点 …………………8分
设定点 ,所以
……………………10分
因为 ,所以 ,设 ,
所以 ,……………….11分
当且仅当 即 时取等号,即 面积的最大值为 。……………………12分
22．(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.
(2)
【详解】（1）将代入，得，
所以直线的普通方程为．
将，，代入曲线的极坐标方程，
得，
故曲线的直角坐标方程为．
（2）因为点的直角坐标为，所以点在直线上，
所以直线的参数方程为（为参数），
代入，得，
设点，对应的参数分别为，，
所以，．
从而.
23．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由柯西不等式得：，
即，故，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为.
（2）要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，
由a，b均为正实数，且满足可得，
当且仅当时等号成立，即，
设，则设，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
即.
