兰州一中2023—2024-2学期5月月考试题
高二数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．，若共面，则实数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某学生的密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．两平行平面分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母．甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲、乙两人摸到标有字母的球的概率分别为．则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上．且满足，则异面直线和的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．托马斯 贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．有最小值但没有最大值
B．对于任意的，恒有
C．有两个零点
D．有两个极值点
10．“新高考”后，普通高考考试科目实行“3+1+2”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A．与相互独立 B．
C． D．
11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．异面直线与所成角正弦值为
C．点到直线的距离是
D．为线段上的一个动点，则的最大值为3
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．设随机变量的分布列为，则的值为______．
13．写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______．
14．已知四棱柱的底面是正方形，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分13分）
已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个．
（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；
（3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率
16．（本题满分15分）
如图，在直三棱柱中，分别是的中点，已知．
（1）证明：平面；
（2）求到平面的距离．
17．（本题满分15分）
在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，侧棱底面，且．
（1）若，试计算底面面积的最大值；
（2）过棱的中点作，交于点，连，若平面与平面所成锐二面角的大小为，
（i）证明：平面（ii）试求的值．
18．（本题满分17分）
教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
19．（本题满分17分）
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得
成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
（1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
（2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；
（3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围．
兰州一中2023—2024—2学期5月月考试题参考答案
高二数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B A B A C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，第10题答对一个选项得2分；第9、11题答对一个选项得3分，有选错的得0分．）
题号 9 10 11
答案 CD BCD BD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．； 13．； 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（1）采取放回的方法，两次都取得白球的概率；
（2）采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率；
（3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，
则，
利用条件概率的计算公式，可得．
16．（1）证明：连接交于点，则为中点，连接，又是中点，则，
平面平面，
平面；
（2）如图，以点为原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
平面的一个法向量为
D到平面的距离．
17．（1）设，
由已知可知，而底面的面积为，
则由均值不等式，可知，
当且仅当时等号成立；
（2）如图，以点为原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
（i）设，则，
所以，由于是的中点，则，故，
于是，即，
又已知，而，
所以平面；
（ii）由（i）是平面的一个法向量，
而因为平面，所以是平面的一个法向量，
由已知平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，解得，所以．
故当平面与平面所成锐二面角的大小为．
18．（1）5名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；．
（2）表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
0 1 2
0.1 0.6 0.3
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有：
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
19、【解析】（1）函数的导函数为，
因为函数是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
而，因此，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）函数的导函数为，
依题意，方程，即，
在上有两个不等实根，
令，因此函数在上有两个不同零点，
则，解得或，
所以实数的取值范围是
（3）函数的导函数为，
因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，
则方程，显然，所以在上恰有一个实数根，
令，求导得，
由，得；由，得且，
于是函数在上单调递减，恒成立，函数的取值集合是，
在上单调递减，函数的取值集合是，
在上单调递增，函数的取值集合是，函数的图象，如图，
当时，直线与函数的图象有唯一公共点，
即方程恰有一个实数根，从而，
所以的取值范围为．
