第二十一章 一元二次方程 单元培优检测卷
考试范围：第21章 一元二次方程，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 时，方程无实数根，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案．
【详解】原方程可变形为，
方程有实数根，
，
故选：B
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键．
【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走，正月初一票房约为4.23亿，因受到同期其他电影的影响，票房走低，正月初三票房约为亿，若每天票房的下降率相同，设为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：每天票房的下降率相同，设为，
根据题意得．
故选：C．
4．已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程两个不相等的实数根．
故选A．
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】此题考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
6．若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解的概念先解一元一次方程得出，利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：
解得：
把代入方程得，
，
所以，
所以．
故选：B．
7．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义理解，根据“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，把代入关于的一元二次方程中计算求出的值即可，理解一元二次方程的解的定义、正确计算是解题的关键．
【详解】解：把代入，得：，
，
故选：D．
8．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键．
设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论．
【详解】解：线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下：
设，则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
线段的长是一元二次方程的一个正根．
故选：A．
9．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【答案】A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可．
【详解】∵当时，该多项式的值为，
∴，
整理得，即
∵，
∴，即，
∴，
∴，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
10．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．2 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得：
，
整理得：，
解得（舍去）或．
则门高：．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．对于实数，，定义一种运算“ ”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的运算，根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
方程没有实数根，
，
，
故答案为：．
12．4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，用x表示4月 13 日的营业额即可得解．
【详解】解：依题意得4月 13 日的营业额，
∴．
故答案为：．
13．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
14．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，根据题意，列式，进行计算，即可作答．
【详解】解：设另一个根是
∵一元二次方程有一个根是2
∴
∴
故答案为：4
15．已知关于的一元二次方程有解．
（1）当时，方程的解为 ；
（2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ．
【答案】 ， 2
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）当时，则，再利用直接开平方法求解即可；
（2）根据原方程有解得出，将代入方程得出，从而得到，求出的最大值与最小值即可得解．
【详解】解：（1）当时，则，
解得，，
故答案为：，；
（2）关于的一元二次方程有解，
，
得．
若是该一元二次方程的一个根，则，
得，
，
的最大值为4，
∴当取最大值时，取最大值，的最大值为．
∵的最小值为，
∴的最大值和最小值的和为，
故答案为：．
16．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ．
【答案】5
【分析】设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意得：，
∵菱形面积为24，
∴，解得：，
∴菱形的边长为
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解法．
（1）先移项，然后直接开平方即可；
（2）利用配方法解此方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
，；
（2），
，
，
，
，
．
18．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
【答案】(1)
(2)2592
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）（个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【详解】（1）证明：，
∵
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程两个实数根的和为3，
∴．
20．阅读理解：
材料1．若一元二次方程两根为，，则，．
材料2．已知实数，满足，，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据材料1得，，
．
解决问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则______，______．
(2)已知实数满足，，且，求的值．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为，，则，．
（1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案；
（2）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，，
故答案为：4，；
（2）解：∵实数满足，，
∴m，n是方程的两根，
∴，，
∴．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．
(1)化简T；
(2)若a是方程的一个根，求T的值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）利用乘法公式进行计算即可；
（2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵a是方程的一个根，
∴，即：，
∴．
22．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
【答案】(1)超过人
(2)该单位这次共有名员工去旅游
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
（1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围；
（2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元，
∴，
∴员工人数一定超过人，
∴该单位这次去旅游，员工超过了20人；
（2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得：
，
整理得，
即，
解得，，
当时，，故舍去；
当时，，符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．
23．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴，
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值为_____，的最小值为_____；
(2)若多项式，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．
【答案】(1)6；
(2)
(3)围成的菜地的最大面积是
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为；
（2）根据，求解作答即可；
（3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，有最小值6；
∵，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：6，；
（2）解：∵，
∴当时，M有最小值，最小值为；
（3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，
依题意得：，
∴当时，S有最大值，最大值是，
∴围成的菜地的最大面积是．
25．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)n的值为0或3或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键．
（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”；
（3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值．
【详解】（1）解：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为：，
则，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，
∴，
设，
则，
又与同奇偶，
∴或或或
解得或，
∴方程为：或；
，
∴，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或，
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得，
综上，n的值为0或3或．
第二十一章 一元二次方程 单元培优检测卷
考试范围：第21章 一元二次方程，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走，正月初一票房约为4.23亿，因受到同期其他电影的影响，票房走低，正月初三票房约为亿，若每天票房的下降率相同，设为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．
7．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
10．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．2 B．10 C．8 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．对于实数，，定义一种运算“ ”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ．
12．4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ．
13．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
14．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是 ．
15．已知关于的一元二次方程有解．
（1）当时，方程的解为 ；
（2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ．
16．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
20．阅读理解：
材料1．若一元二次方程两根为，，则，．
材料2．已知实数，满足，，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据材料1得，，
．
解决问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则______，______．
(2)已知实数满足，，且，求的值．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．
(1)化简T；
(2)若a是方程的一个根，求T的值．
22．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
23．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴，
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
(1)；
(2)．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值为_____，的最小值为_____；
(2)若多项式，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．
25．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
