南昌十中2023—2024学年下学期第二次月考
高一数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠，不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．为了得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．下列函数中，周期为且在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，两点分别在河的两侧，为了测量两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，米，则两点之间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．200米
7．在平行四边形中，，则（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数。已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．向量与的夹角为钝角． B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
10．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若，则
D．函数的图象关于点成中心对称
11．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则符合条件的有两个
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为直角三角形
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知为的重心，且，则______．
13．计算：______．
14．在中，是的外心，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知是方程的两个实数解。
（1）求的值；
（2）若为第二象限角，求的值。
16．（本小题满分15分）已知向量满足，且．
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值。
17．（本小题满分15分）已知函数。
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
18．（本小题满分17分）
在中，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则．
（1）如图①，若，用表示，你能得出什么结论？并加以证明。
（2）如图②，若与交于，过点的直线与分别交于点．
①利用（1）的结论，用表示：
②设，求的最小值。
19．（本小题满分17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题。该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小。”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点。试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值。
南昌十中2023—2024学年下学期第二次月考
高一数学参考答案及评分细则
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D B D A A B CD AD ABD
填空题：
12． 13．-4 14．
解答题：
15．（本小题满分13分）
【答案】（1） （2）
【详解】（1）由题意知是方程的两个实数根，
故；且
因为，故，
解得，满足，故；
（2）因为为第二象限角，所以，则，
由（1）知，
所以，
则
16．（本小题满分15分）
【答案】（1） （2）
【详解】（1）因为，所以，
即，解得
若，则，
即，即，解得
（2）因为，
又，
所以，
即与的夹角的余弦值为
17．（本小题满分15分）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）
所以，故，
因为，所以，所以，故
（2），所以，
所以，
又，所以，
因为，所以，所以
18．（本小题满分17分）
【答案】（1），证明见解析（2）①；②
【解析】（1）猜想：，
证明：因为，所以
，因为，所以
（2）①若，则，
因为三点共线，设，
则，
因为三点共线，设，
则，
因为与不共线，所以，解得，所以
②因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，
所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为
19．（本小题满分17分）
【解析】（1）由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
（3）点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．
