2024年中考数学6月定心模拟考试卷
说明：本试卷共6页，答题卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．）
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. 2024 D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义．根据互为倒数的两个数乘积为1，据此即可作答．
【详解】解：∵，
∴2024的倒数是，
故选：A．
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义，掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键，根据积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除、合并同类项的法则计算，逐项判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立体图形的三视图，根据主视图是从正面看的，结合选项图形，即可作答．
【详解】解：依题意，鲁班锁的主视图是
故选：B
5. 若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A. 2 B. ±2 C. ±4 D. ±2
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当△=0时，方程有两个相等的实数根解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根的判别式与根的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当当△＜0时，方程无实数根．
6. 箱子内装有53个白球和2个红球，小颖打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球放回的方式抽53次．若箱子内每个球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小颖抽到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】红球的个数除以球的总数即为所求的概率．
【详解】∵一个盒子内装有大小、形状相同的53＋2＝55个球，其中红球2个，白球53个，
∴抽到红球的概率是：，
故选D．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键.
7. 国际数学家大会是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．如图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（ ）
A. 无理数的发现 B. 圆周率的估算 C. 勾股定理的证明 D. 黄金分割比
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理的证明．
【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，它解决的数学问题是勾股定理的证明，
故选：C．
8. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（ ）
A. 不大于 B. 大于 C. 不小于 D. 小于
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．
【详解】函数图象是双曲线的一条分支，且过点
，
则
故选：C．
9. 如图，在中，，，与，分别切于点D，C，连接．则的度数为（ ）
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由，，求得，由与，分别切于点，，根据切线长定理得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
，
与，分别切于点，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线长定理等知识，求得并且证明是解题的关键．
10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大
C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴和的函数值相等，即：，
根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：
由图可知：
抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，
当时，x的取值范围是或，
抛物线与轴交于，，
∴方程的根为和；
综上：，，选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．）
11. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：．
故答案为.
12. 不等式组的解集为___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．分别求出不等式组中的两个不等式的解，然后找其公共解集即可解答．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
13. 如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，则_____
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理即可解题．
【详解】解：∵为斜边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3．
14. 如图，正方形的边，点E，F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长公式，解直角三角形，正方形的性质，先根据正方形性质，和解直角三角形求出，，从而得到，再运用弧长公式进行计算即可得解．
【详解】解： 点E，F为正方形边的中点，
，，
在中，，
，
，
同理可求出 ，
，
长为，
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，如果存在一点P（a，b），满足ab ＝－1，那么称点P为“负倒数点”，则函数的图像上负倒数点的个数为_________个．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意，解方程a（a 6）＝ 1和方程a（ a 6）＝ 1即可求得结论．
【详解】解：设点P（a，b）是函数y＝x 6（x≥0）上的“负倒数点”，
则ab＝ 1．
即a（a 6）＝ 1．
解得：a＝3＋2或3 2．
∴b＝3 2或3＋2．
设点P（a，b）是函数y＝ x 6（x＜0）上“负倒数点”，
则a（ a 6）＝ 1．
解得：a＝ 3 或 3＋（大于0，不合题意，舍去）．
∴a＝ 3 ．
∴b＝ 3＋．
综上，函数的图象上“负倒数点”的个数为：3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标的特征．依据已知条件列出方程是解题的关键．
三、解答题（共75分，16题每小题5分，17题6分，18、19题各8分，20题9分，21题10分，22、23题各12分）
16. （1）计算： ：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题考查了绝对值化简，特殊角的三角函数值，有理数的乘方，以及分式的化简和求值，熟练掌握绝对值化简，特殊角的三角函数值，有理数的乘方，以及分式的运算是解题的关键．
（1）先依次化简绝对值，计算特殊角的三角函数值和有理数的乘方，再算加减即可；
（2）先化简分式，再代入求值即可；
【详解】解：（1）
（2）
当，
原式．
17. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
【答案】每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解．
【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元．
18. 如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查垂线的作法及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，．再由垂直的定义及平行线的判定确定，根据全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的判定即可证明．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
19. 智能手机如果安装了一款测量软件“Smart Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者与被测量者都垂直于地面．
（1）如图①若手机显示，，请确定此时被测量者的身高的长；
（2）如图②若手机显示，，，求此时被测量物的高．（结果保留根号）（，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）证明为等边三角形，即可得到；
（2）过点D作于H，利用三角函数求出，得到，再根据勾股定理求出．
【小问1详解】
解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
答：此时测试者的身高长为1.7m；
【小问2详解】
过点D作于H，
在中，，
，
∵，
∴，
∴，
∴被测量物的高是．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握各三角函数的计算法则是解题的关键．
20. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96 45%
88 87 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15，88，98
（2）90 （3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．
【小问1详解】
解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份，
“满意”所占百分比为：，
“比较满意”所占百分比为：，
，
抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，
“不满意”和“满意”的评分有（份），
第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，
，
抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98，
，
故答案为：15，88，98；
【小问2详解】
解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），
答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．
【小问3详解】
解：款自动洗车设备更受欢迎，
理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．
21. 如图，在菱形中，于H，以为直径的分别交于点E，F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证；
（2）连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，再根据，得到，，即可得证；
（3）连接交于点，根据菱形的性质以及勾股定理求得，再利用面积法求得，利用勾股定理求得，证明，，由此可求解．
【小问1详解】
证明： 四边形是菱形，
，
，
，
，即，
又 是的半径的外端点，
是的切线．
【小问2详解】
连接如图所示，
，
，
为直径，
，，
，则，
，
，
又 ，
，，
，，
【小问3详解】
连接交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
菱形的面积，
，
，
在中，，
第（2）问已证，又，
，
，
．
22. 如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割：
（1）如图2，以的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；
（2）工人师傅现需要一块边长为的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；
（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
（4）若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号）．注意：思考中可能会用到的数据，，．
【答案】（1）；
（2）不能满足工人的需求，理由见解析；
（3）
（4）方案1切割后最长，拼接后的矩形的长边长为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，求函数值等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
（1）由于抛物线对称轴为，顶点为，设抛物线解析式为，将代入得即可求解；
（2）若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，则，，，求出时的纵坐标即可求解；
（3）如图所示矩形，设，则，再用含有t的表达式表示出矩形的周长，得到关于t二次函数，再求其最值即可求解
（4）根据不同的3种切割方案，分别进行计算，比较哪种方案切割拼接后的矩形的长边最长即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示，
以的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，
抛物线对称轴为，顶点为，
设抛物线解析式为，将代入得
，解得，
抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：不能满足工人的需求，理由如下，
若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，则，，，
将代入，即，
故不能满足要求．
【小问3详解】
解：按如图所示进行切割矩形，
设，则，将代入，得，
则，
矩形周长为：，
当时，矩形的周长最大，最大周长为．
【小问4详解】
解：切割方案1如图所示，
木料最大高度为，故如图切成宽为的矩形有4块，
当，即，解得，对应矩形长，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
切割方案2，如图所示，切成宽为的矩形有5块，
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长，
拼接后的矩形的长边长为．
切割方案3，如图所示，切成宽为的矩形有4块
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
综上所述，方案1切割拼接后的矩形的长边最长，为 ．
23. 如如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，点B在y轴的正半轴上， OA=2，∠ABO=90°，∠AOB=30°．D，E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，连接DE，交OA于点F，将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF，设D，E两点的运动时间为t秒．
（Ⅰ）求点的坐标及的度数；
（Ⅱ）若折叠后与重叠部分的面积为，
①当折叠后与重叠部分图形为三角形时，请写出与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
②当重叠部分面积最大时，把绕点旋转，得到，点的对应点分别为，连接，求面积的最大值（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）①；②
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求得OB的长，可求得点的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求得∠OED=60°；
（Ⅱ）①分点O′落在线段OA上和点O′落在线段OA延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三角函数值以及三角形面积公式即可求解；
②利用①的方法求得△O′EF与△AOB重叠部分是四边形时，函数的解析式，再比较求得重叠部分面积最大时，t的值，当PQ垂直AE的延长线时，点A到直线PQ的距离AH最长，△APQ面积取得最大值，根据面积公式即可求解．
【详解】解：（Ⅰ）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OA=2，
∴AB=OA=1，
∴，
∴A(1，)，
∵∠EOD=90°， OE=t， OD=t，
∴tan∠OED= =，
∴∠OED=60°；
（Ⅱ）①∵∠OED=60°，∠AOB=30°，
∴∠OFE=90°，
∴OA⊥DE，
∴将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF，折叠后点O′落在直线OA上，
如图，当点O′落在线段OA上，△O′EF与△AOB重叠部分是三角形时，
∵△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF，
∴△OEF≌△O′EF．
∴OE=O′E=t，∠EO′F=∠EOF=30°，
∴EF=O′E=t．
∴，
∴；
如图，当点O′落在线段OA延长线上，△O′EF与△AOB重叠部分三角形时，设AB与EF交于点M．
∵，
∴，
，
，
，
．
．
，
．
，
．
；
②如图，当点O′落在线段OA延长线上，△O′EF与△AOB重叠部分是四边形时，设AB与EF交于点G．
∵，
∴EF=，OF=，∠BEG=60，∠BGE=30，
∴BE=，BG =，
∴
()，
对称轴为，
∵，
∴当时，有最大值；
由①知()，对称轴为，
∴当时，有最大值；
()，对称轴为，
∴当时，有最大值；
综上，当，即OE时，有最大值；
当PQ垂直AE的延长线时，点A到直线PQ的距离AH最长，△APQ面积取得最大值，如图，
∵OE，
∴BE=BO-OE，
∴AE，
由旋转的性质得：QE= OE，∠EQH=∠EOF=30，
∴EH=，QH=，PQ=2QH=，
∴AH=AE+EH=，
△APQ面积=．
【点睛】本题主要考查了直线与x轴的交点、用待定系数法求抛物线的解析式、运用三角函数解三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，对运算能力要求比较高，运用分类讨论和割补法是解决第（2）小题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年中考数学6月定心模拟考试卷
说明：本试卷共6页，答题卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．）
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. 2024 D. 2024
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A 2 B. ±2 C. ±4 D. ±2
6. 箱子内装有53个白球和2个红球，小颖打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球放回的方式抽53次．若箱子内每个球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小颖抽到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 国际数学家大会是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．如图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（ ）
A. 无理数的发现 B. 圆周率的估算 C. 勾股定理的证明 D. 黄金分割比
8. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（ ）
A. 不大于 B. 大于 C. 不小于 D. 小于
9. 如图，在中，，，与，分别切于点D，C，连接．则的度数为（ ）
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大
C. 当时，取值范围是 D. 方程的根为和
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．）
11. 分解因式： _______.
12. 不等式组的解集为___________
13. 如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，则_____
14. 如图，正方形的边，点E，F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为__________．
15. 在平面直角坐标系中，如果存在一点P（a，b），满足ab ＝－1，那么称点P为“负倒数点”，则函数的图像上负倒数点的个数为_________个．
三、解答题（共75分，16题每小题5分，17题6分，18、19题各8分，20题9分，21题10分，22、23题各12分）
16. （1）计算： ：
（2）先化简，再求值：，其中．
17. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
18. 如图，平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
19. 智能手机如果安装了一款测量软件“Smart Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者与被测量者都垂直于地面．
（1）如图①若手机显示，，请确定此时被测量者的身高的长；
（2）如图②若手机显示，，，求此时被测量物的高．（结果保留根号）（，，）
20. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96 45%
88 87 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
21. 如图，在菱形中，于H，以为直径的分别交于点E，F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求．
22. 如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割：
（1）如图2，以的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；
（2）工人师傅现需要一块边长为的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；
（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
（4）若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号）．注意：思考中可能会用到的数据，，．
23. 如如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，点B在y轴的正半轴上， OA=2，∠ABO=90°，∠AOB=30°．D，E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，连接DE，交OA于点F，将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF，设D，E两点的运动时间为t秒．
（Ⅰ）求点的坐标及的度数；
（Ⅱ）若折叠后与重叠部分的面积为，
①当折叠后与重叠部分的图形为三角形时，请写出与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
②当重叠部分面积最大时，把绕点旋转，得到，点的对应点分别为，连接，求面积的最大值（直接写出结果即可）．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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