第十二章《三角形》单元测试
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图，，如果，，那么度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，D是的边上一点，交于点F，连接，，已知，，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．等腰三角形“三线合一”是应用特别广泛的一个重要模型，小明对与其相关的习题解题热情高涨．如图，四边形的对角线交于点O，小明根据所给条件依次进行了探究，在其得出的四个命题中，假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
9．如图，在中，，点为上的点，连接，点在外，连接AE，BE，使得，，过点作交点，若，，则（ ）
A．49° B．59° C．41° D．51°
10．如图，点是等腰中直角边延长线一点，过点作于点，若，则=( )
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图,木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是 ．
12．已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ．
13．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ．
14．如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为 ．
15．如图，中，，，，平分，且，则的面积是 ．
16．如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ．
17．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米．
18．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，是的中线，是的高，，，，．
(1)求高的长； (2)求的面积．
20．（8分）如图，点C、E、B、F在一条直线上，，．
(1)求证：．
(2)若，求：的长．
21．（10分）如图已知，，
(1)添加下列条件：①；②；
③；④．
其中能证明与全等的有______（直接填序号）；
(2)在（1）中选择一个进行证明．
22．（10分）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
23．（10分）【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
24．（12分）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．
（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；
（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；
（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系 ．
答案：
一、单选题
1．B
【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】、，不能组成三角形；
、，能组成三角形；
、不能组成三角形；
、不能组成三角形；．
故选：
2．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键．
由于平行，，已知，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数．
【详解】解：由于平行，，
，
，
，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确合理添加辅助线是解决本题的关键．
利用角平分线的性质定理可作辅助线：过点E作于点E，证明，即可解决问题．
【详解】解：过点E作于点E，则
∵，
∴∠D=900，
∴，
∵平分，∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
又∵，
∴，故A选项不符合题意；
B、 ∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B选项符合题意；
C、∵，，
又，
∴，故C选项不符合题意；
D、 ∵，
∴，
又∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】可在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，得出△ABP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论．
【详解】解： 如图，在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接EP．
由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠BAP=∠EAP，
又AP是公共边，AE=AB，
故△ABP≌△AEP
从而有BP=PE，
∵在△CPE中，CB+PE＞CE
∴CB+PB＞CE
而CE=AC+AE=AC+AB
∴CB+PB＞AB+AC，
故选D.
7．C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由题意得和，即，由对应性质即可判定选项．
【详解】解：∵，
∴，得，
∵，
∴，
在和中
∴，
则有，，成立，
故选：C．
8．B
【分析】运用证明可判断A正确；运用不能证明，故可判断B错误；运用证明可判断C正确；运用证明得，再根据证明可判断D正确．
【详解】解：A.∵BD⊥AC，
∴
又
∴，
∴
∴选项A正确，不符合题意；
B.由，，无法判断，
∴无法得出，故选项B错误，符合题意；
C. 在和中，
∴
∴
∴选项C正确，不符合题意；
D.在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴选项D正确，不符合题意；
故选：B．
9．C
【分析】先证明△ABE≌△BCD，可得∠BAE=∠CBD，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠BAE=21°，∠C=28°，
∴∠CBD=21°，
∴∠BDF=∠CBD+∠C=21°+28°=49°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFD=90°，
∴∠FBD=90°-∠BDF=90°-49°=41°．
故选：C．
10．B
【分析】由可证，可得，由可证，可得，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故选：B．
二、填空题
11．三角形具有稳定性
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性进行解答．
【详解】解：木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．9
【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可．
【详解】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9．
故答案为：9．
13．110
【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：110．
14．
【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】解：，，，
，
，
，
故答案为：．
15．75
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算等知识，由垂直加角平分线构造出全等三角形是解题的关键．
由平分，且，可证，得出，由即可解决．
【详解】解：延长交于，
∵BD平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
中，，
，
，
．
故答案为：75．
16．48
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴∠ABM＋∠CBN＝90°，
∵，
∴∠ABM＋∠BAM＝90°，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故答案为：48．
17．4
【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长．
【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上，
∴∠ADE＝∠GDF，
∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°，
∴∠ADE＋∠FDB＝90°，
∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°，
∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，
∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米），
故答案为：4．
18．36
【分析】先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
【详解】解：是的高，
，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
，，，
，
，
．
故答案为：36．
三、解答题
19．（1）解：∵是的高， ．
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
（2）解：∵是的中线，，
∴，
∴的面积．
20．（1）证明：，
，
在与中，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
．
21．（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③，
故答案为：②③；
（2）证明：选③，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴．
22．（1）解：线段、、之间的数量关系是．
如图，延长至，使，连接，
∵，，即：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）结论：．
理由：在上截取，连接，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，则，
∴
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
即，
即，
∴．
23．解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
24．解：（Ⅰ）∵AC＝AE，
∴∠ACF＝∠AEG，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°＝∠CAB，
∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG，
∴∠CAF＝∠EAG，
在△AGE和△AFC中，
，
∴△AGE≌△AFC（ASA）；
（Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M，
∴∠ACM＝90°＝∠ABD，
由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，
在△ACM和△ABD中，
，
∴△ACM≌△ABD（ASA），
∴AM＝AD，CM＝BD，
由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，
∴∠AGE＝∠AFC，
∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC，
∴∠AGC＝∠AFG，
∵∠CFM＝∠AFG，
∴∠AGC＝∠CFM，
∵∠BAC＝90°＝∠ACM，
∴∠BAC+∠ACM＝180°，
∴CM∥AB，
∴∠MCF＝∠AGC，
∴∠CFM＝∠MCF，
∴MF＝CM，
∴AM＝AF+CM，
∴AD＝AF+BD；
（Ⅲ）AD＝AF﹣BD；
过点C作CM⊥AC，交AF于点M，
∴∠ACM＝90°＝∠ABD，
由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，
在△ACM和△ABD中，
，
∴△ACM≌△ABD（ASA），
∴AM＝AD，CM＝BD，
由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，
∴∠G＝∠F，
∵∠BAC＝90°＝∠ACM，
∴CM∥AB，
∴∠MCF＝∠G，
∴∠F＝∠MCF，
∴MF＝CM，
∴AF＝AM+CM＝AD+BD，
故答案为：AF＝AD+BD．
