河北省保定市五校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知，，则P的真子集个数为( )
A.4 B.3 C.8 D.7
2．若命题甲是命题乙的非必要条件，命题丙是命题乙的必要非条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．下面选项中的两个集合相等的是( )
A.， B.，
C.， D.，
4．下列说法不正确的是( )
A.若a，b，m都是正数，则
B.若，则
C.若a，b，c，d都是正数，且则
D.若，，则
5．已知函数的定义域为R，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为( )
A. B.， C. D.
7．若幂函数(，且m、n互素)的图像如图所示，则下列说法中正确是( )
A.m、n是奇数且 B.m是偶数，n是奇数，且
C.m是偶数，n是奇数，且 D.m、n是偶数，且
8．定义在上的函数为递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列四个命题：其中不正确的命题为( )
A.{0}是空集 B.若，则
C.集合有两个元素 D.集合是有限集
10．下列关于不等式的结论其中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则的最大值是5
11．若函数满足，，且，，则( )
A.在上单调递减 B.
C. D.若，则或
三、填空题
12．命题“，”的否定是________.
13．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________.
14．一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后2钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）.两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为米________.
四、解答题
15．已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数a的取值范围.
16．已知.
（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；
（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有，求m的取值范围.
17．某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍.
(1)求k的值；
(2)将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
(3)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）.
18．已知二次函数，满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上最小值为5，求实数t的值.
19．设定义在R上的函数，对任意，恒有.若时，.
(1)判断的奇偶性和单调性，并加以证明；
(2)若对于任意和任意，都有不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以，因此P的真子集个数为：.
故选：B
2．答案：B
解析：设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D;
命题甲是命题乙的充分非必要条件;命题丙是命题乙的必要非充分条件命题乙是命题丙的充分非必要条件，命题丁是命题丙的充要条件，综上得到，可知，及命题甲是命题丁的充分非必要条件命题丁是命题甲的必要非充分条件，
故选：B
3．答案：C
解析：A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误;
B.集合M表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合N是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误；C.，得，即，故C正确；
D.集合M是空集，但集合N是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误.
故选：C
4．答案：A
解析：A中，由，当时，，故A错；
B中，由
所以则，故B正确;
C中，由，则
所以得；由所以即，所以，C正确；
D中，由，所以，则，D正确
故选：A
5．答案：B
解析：由条件可知，恒成立，
当时，恒成立，
当时，，解得：，
综上可知，.
故选：B
6．答案：D
解析：当时，，则当时，即，所以;当时，即，
由，得，从而；当时，即，则.
综上得函数在上的值域为.
故选：D.
7．答案：C
解析：将分数指数式化为根式，，由定义域为R，值域为知n为奇数，m为偶数，故排除A、D，又由幂函数，当时，图像在第一象限的部分下凸，当时，图像在第一象限的部分上凸.
故选：C
8．答案：D
解析：因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，综上可知a的取值范围是：，
故选：D.
9．答案：ABC
解析：A.中有元素0，不是空集，错误；
B.若，则，错误；
C.，集合中只有一个元素，错误；
D.集合是有限集，正确.
故选：ABC.
10．答案：ABC
解析：对于A，因为，则，
所以，当且仅当，即时取等号，故选项A正确；对于B，因为，所以，
则，当且仅当，即时取等号，故选项B正确；
对于C，因为，则，当且仅当，即时取等号，故选项C正确；对于D，因为，所以，
则，当且仅当，即时取等号，
因为，所以等号不成立，则，故选项D错误，
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：因为，，，所以在上单调递增，且关于对称，
则在上单调递喴，故A正确;
因为，令，得，故B正确；
因为，
所以，故C错误;
若，则，解得或，故正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：命题“”的否定是：
故答案为:.
13．答案：
解析：，，
即为奇函数，又，
在R上单调递增，
，解得，
实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：2080
解析：设小明原速度为x(米/分钟)，则拿到书后的速度为(米/分钟)，则家校距离为
设爸爸行进速度为(米/分钟)，由题意及图象得
解得
故小明家到学校的路程为：(米)
故答案为：2080
15．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）当时，
所以，
所以，
（2）若，则，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：a的取值范围为.
16．答案：（1），；
（2）
解析：（1）的解集为方程的两个根为0，3
则有，，
解得，，
经检验可知满足题意.
(2)当时，，
由题意恒成立，可得，即恒成立，又因为函数开口向上，则，化简可得，解得或m≥，综上所述，实数m的取值范围为.
17．答案：（1）；
（2）；
（3）当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元.
解析：（1）由已知，当时，，，解得：，
（2）由（1）知，故，化简得：.
（3），
，，即，则，
当且仅当即时等号成立，
此时，
答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元.
18．答案：（1）；
（2）或3.
解析：（1）由，得，
由，得，
故，解得，，所以.
（2）由（1）得：，则的图象的对称轴方程为，
最小值，故或(即或)
当时，最小值，解得，
当时，最小值，解得.
综上或3.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）是奇函数，在R上单调递减，
证明如下：
因为对任意，恒有，
所以令，可得，
令，可得，即，
又因为函数的定义域为R，所以是奇函数；
设，则，所以，则，即，
所以在R上单调递减.
（2），所以，
即，
所以，即，
所以问题转化为，对任意和任意恒成立，
所以恒成立，
因为，所以，所以恒成立，
设函数
(其中，令)，
又由对勾函数在单调递减，单调递增，
所以，所以1
所以函数，所以由恒成立可得，，即，所以实数a的取值范围是.
