广东省揭阳市普宁市部分学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若复数z满足，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．在复平面内，复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3．已知向量，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B. C. D.或
4．已知z满足，则( )
A. B. C. D.
5．一个圆台的上、下底面的半别为2和3，高为，则它的表面积为( )
A. B. C. D.
6．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的( )
A.倍 B.3倍 C.倍 D.9倍
8．如图，在中，D是的中点，G是的中点，过点G作直线分别交，于点M，N，且，，则的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
二、多项选择题
9．如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是( )
A.圆锥的轴截面为直角三角形
B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半
C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为
D.圆锥的体积与球的体积之比为
10．下列说法正确的是( )
A.
B.若，则与的夹角是钝角
C.向量，能作为平面内所有向量的一个基底
D.若，则在上的投影向量为
11．已知z是复数，且为纯虚数，则( )
A. B.
C.z在复平面内对应的点在实轴上 D.=
三、填空题
12．已知向量，的夹角为，，，则________.
13．已知圆锥的底面积是，侧面积是，则其体积是________.
14．已知复数，则z的虚部为________.
四、解答题
15．已知向量，.
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数m的值.
16．已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求复数及.
17．已知非零向量，不共线.
(1)如果，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值.
18．已知向量，满足，，.
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)求的值.
19．（1）记i是虚数单位，若复数z满足，求z；
（2）若复数.
①若复数z为纯虚数，求实数m的值；
②若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由，得
复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
2．答案：C
解析：的共轭复数是
化简
z的共轭复数是
虚部是
故选C
3．答案：B
解析：与向量方向相反的单位向量为：
故选：B.
4．答案：A
解析：设(a，b为实数)，
因为，
所以
故，
所以，，
解得，，
则.
故选：A.
5．答案：A
解析：由题意得圆台的母线长为，则圆台的表面积为，
故选A.
6．答案：D
解析：，，
则，
所以在上的投影向量的坐标为
故选：D.
7．答案：B
解析：根据题意，设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积为，
若其体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为，
因为高h不变，故体积，即底面半径扩大为原来的3倍，
原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的3倍.
故选：B.
8．答案：A
解析：因为G是的中点，且，，
所以.
因为M，G，N三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：
对于A，设球的半径为R，则如图所示：，
所以，故A正确；
对于B，圆锥的表面积为，
球的表面积为，所以，故B正确；
对于C，圆锥的母线长为，底面周长为，
所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误；
对于D，，，，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：A.
，故A正确；
B.当，且与方向相反时，，此时与的夹角为，故B不正确；
C.因为，所以，所以向量，不能作为基底，故C不正确；
D.若，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：由题意设，
则
因为为纯虚数，
所以，且，即，且.
因此，故选项A正确；，故选项B正确；因为z在复平面内对应的点为，
所以z在复平面内对应的点不在实轴上，故选项C错误；
因为表示圆上的点到点的距离，
且最大距离为，故选项D正确.
故选：ABD.
12．答案：2
解析：因为向量，的夹角为，，
，
故答案为：2.
13．答案：
解析：设圆雉底面半径为r，母线长为l，由圆锥的底面积是，侧面积是，有，解得，则圆雉的高，所以圆锥体积为，故答案为：.
14．答案：
解析：因为，
所以
所以虚部为
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）方法一：由题意得，，
，
，，
解得.
方法二：由题意得，，不平行，
设，
则，，
解得.
（2）由题意得，，
，，
解得.
16．答案：（1）；
（2）；
解析：（1），则，
，
又其为纯虚数，故，，
解得，
故.
（2），
则，
.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1），，，
，
所以，共线，
且有公共点B，
所以A，B，D三点共线
（2）因为和是方向相反的两个向量，
所以存在实数，使，且
又，不共线，所以，解得，或，
因为，所以，所以
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设与的夹角为，因为，
所以，
又，，所以，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为；
（2）由
，
所以.
19．答案：（1）或；
（2）①；②
解析：（1）设且，则，
因为，所以，
即，
解得或，
所以或.
（2）由复数，
①因为复数z为纯虚数，所以，
解得；
②因为复数在复平面内对应的点在第二象限，可得，
解得，即，所以实数m的取值范围为.
