2024北师大版七年级下学期期末考前精选模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中．是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．2021年日本东京举办奥运会
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
3．小明参加跳远比赛，他从地面踏板 处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为 ， ，小明未站稳，一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．多项式，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
6．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2.已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将一把直尺和一块含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．关于的多项式：，其中为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．
①是“亲缘多项式”．
②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”．
③多项式是“亲缘多项式”且．
④关于的多项式，若，，为正整数，则为“亲缘多项式”．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
11．对于实数x，我们规定 表示不大于x的最大整数，例如 ， ，若 ，则x的取值可以是（ ）
A．40 B．45 C．51 D．56
12．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时， ，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.8]=2，[0.3]=0。按此方案，第2021棵树种植点的坐标为（ ）
A．(1，405) B．(2，403) C．(2，405) D．(1，403)
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为 ．
14．如图，利用工具测量角，得到 ，所使用的数学知识是 ．
15．如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝ °．
16．已知2m＝10，2n＝14，则2m+n的值为 ．
17．已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
18．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝ °.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
（1）小刚的解答过程是从第 步开始出错的；
（2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值．
20．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件；(填随机、必然、不可能)
（2）小明观察一段时间后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中减少3个白球，那么抽奖一次恰好抽中一等奖的概率是多少？请说明理由．
21．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
22．如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B=180°，
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果∠AMD=75°，求∠AGC的度数．
23．探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
（4）计算：①；
②．
24．已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点， 和 的角平分线交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）如图， 和 的角平分线交于点 ，求 的度数；
（3）如图，若 ，延长线段 得射线 ，延长线段 得射线 ，射线 绕点 以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线 绕点 以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止.设它们同时旋转 秒，问 为多少时，射线 ，直接写出 的值 秒.
25．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点．
（1）A与B两点之间的“直角距离” ；
（2）点为y轴上的一个动点，当的取值范围是 时，的值最小；
（3）若动点P位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
26．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ▲ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ▲ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ▲ ．
（1）请补全小明的解法；
（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
（3）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024北师大版七年级下学期期末考前精选模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中．是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 不是轴对称图形，故不符合题意，
B、不是轴对称图形，故不符合题意，
C、不是轴对称图形，故不符合题意，
D、是轴对称图形，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．2021年日本东京举办奥运会
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】A.2021年日本东京举办奥运会，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据必然事件的定义对每个选项一一判断求解即可。
3．小明参加跳远比赛，他从地面踏板 处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为 ， ，小明未站稳，一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，过点C作CP⊥直线l，垂足为P，CP的长度为跳远成绩．
故答案为：D
【分析】根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳的距离即可解答。
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠3=∠4可判断出，不符合题意；
B、∠1=∠2可判断出，符合题意；
C、可判断出，不符合题意；
D、可判断出，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
5．多项式，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(x+m)(x-n)=x2+(m-n)x-mn=x2+6x+8，
∴m-n=6.
故答案为：A.
【分析】由多项式乘以多项式法则化简已知等式左边部分，由多项式对应项的系数相等即可求出m-n的值.
6．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2.已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ .
∴a＜ ，b＞ .
∵a，b是两个连续的正整数.
∴a＝5，b＝6.
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4.
故答案为：D.
【分析】由题意可得a＜，b＞，然后根据a，b是两个连续的正整数可得a、b的值，进而求得2a-b的值.
7．将一把直尺和一块含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
，
∵直尺的两边平行，
∴∠3=∠1=33°，
又∵∠3+∠4+∠5=180°，且∠5=30°，
∴∠4=117°，
∴∠2=117°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1，利用三角形的内角和定理可求出∠4，根据对顶角相等即可求出∠2。
8．如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵是角平分线 .
∴.
又∵于点.
∴.
∴.
∴BF=EF，AB=AE.故①正确.
又∵.
∴AE=CE.
∵.
∴∠G=∠AFE=90°.
∴.
∴AF=CG，故②正确.
在中，， .
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD，故③正确.
∠AEB=∠ADB=60°，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 只需证； ② 只需证； ③ 只需证∠DAC=∠ACD； ④ 求出其角度即可.
9．关于的多项式：，其中为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．
①是“亲缘多项式”．
②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”．
③多项式是“亲缘多项式”且．
④关于的多项式，若，，为正整数，则为“亲缘多项式”．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：①=4x2-4x+1，且各项系数各不相同且均不为0，
∴是" 亲缘多项式 "，故①正确；
② 原式，无法确定各项系数各不相同且均不为0 ，
∴原式不是" 亲缘多项式 "，故②不正确；
③∵是"亲缘多项式"，
∴b4=16，b2=24，b0=1
∴b4+b2+b0=41，故③正确；
④当a=1，b=-1时，n=4时，
（x-1）4=x4-4x3+6x2-4x+1，其中三次项系数与一次项系数相同，
∴（x-1）4不是" 亲缘多项式 "，故④不正确；
∴ 正确的个数是2个；
故答案为：B.
【分析】①利用完全平方公式将展开，根据" 亲缘多项式 "的定义判断即可；
②先合并同类项，再根据" 亲缘多项式 "的定义判断即可；
③将（2x-1）4展开，根据" 亲缘多项式 "的定义判断即可；
④用特殊值法进行判断即可.
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
11．对于实数x，我们规定 表示不大于x的最大整数，例如 ， ，若 ，则x的取值可以是（ ）
A．40 B．45 C．51 D．56
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵[x]表示不大于x的最大整数，[ ]=5，
∴ ，
解得：46≤x＜56，
故x的取值可以是：51．
故答案为：C．
【分析】根据题干中给的定义列出不等式求解即可。
12．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时， ，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.8]=2，[0.3]=0。按此方案，第2021棵树种植点的坐标为（ ）
A．(1，405) B．(2，403) C．(2，405) D．(1，403)
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】 x1=1，y1=1，
当k=2时，x2=x1+1-5×（0-0）=2，y2=y1+0-0=1；
当k=3时，x3=x2+1-5×（0-0）=3，y3=y2+0-0=1；
当k=4时，x4=x3+1-5×（0-0）=4，y4=y3+0-0=1；
当k=5时，x5=x4+1-5×（0-0）=5，y5=y4+0-0=1；
当k=6时，x6=x5+1-5×（1-0）=1，y6=y5+1-0=2；
当k=7时，x7=x6+1-5×（1-1）=2，y2=y1+1-1=2，
······，由此规律，横坐标的周期为5，
2020÷5=404···1，故x2021=1，
纵坐标的周期为5，5个数为一组，且同一周期内数相同，组内数等于组数，故y2021=405.
故答案为：A .
【分析】分别求出k=2，3，4，5······横、纵坐标，从而得出x和y的规律，继而求出结论.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
14．如图，利用工具测量角，得到 ，所使用的数学知识是 ．
【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：利用工具测量角，得到∠1=30°，所使用的数学知识是对顶角相等．
故答案为：对顶角相等.
【分析】根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两直线相交，对顶角相等，解答即可．
15．如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝ °．
【答案】50
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB//CD
∴∠1=∠3
∵∠2=∠3
∴∠2=∠1=50°．
故答案为50．
【分析】如图，先由平行线的性质可得∠1=∠3，然后再根据对顶角相等可得∠2=∠3，即∠2=∠1=50°．
16．已知2m＝10，2n＝14，则2m+n的值为 ．
【答案】140
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵2m+n=2m·2n，
∴2m+n=140，
故答案为：140.
【分析】根据同底数幂的乘法运算即可求解.
17．已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
【答案】10°或110°或70°或170°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之外时，如图1：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC，
又∠ABC=60°，
∴∠1=60°，
又∠1=∠DEF+∠EPB，∠DEF=50°，
∴∠EPB=10°，
又∠EPB=∠APD，
∴∠APD=10°；
若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之间时，如图2：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
又∠APD=∠DEF+∠1，∠DEF=50°，
∴∠APD=110°；
如图3，设DE交BC于T，
∵EF∥BC，
∴∠PTB=∠FED=50°，
∴∠APD=∠BPT=180°-∠B-∠PTB=180°-60°-50°=70°，
如图4，设AB交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ABC=60°，
∵∠AHE=∠APE+∠DEF，∠DEF=50°，
∴∠APE=10°，
∴∠APD=180°-∠APE=170°，
综上所述，∠APD的度数为10°或110°或70°或170°．
故答案为10°或110°或70°或170°
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
18．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝ °.
【答案】65或25
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1，当点P在BC上时，
∵∠ABC＝40°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝50°，
∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝ （180°﹣50°）＝65°；
如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
延长DA交BC于E，
∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，
∴∠ADP＝∠ABC＝40°，PB＝PD，
∵AD⊥BC，
∴∠BPD＝50°，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝25°，
综上所述，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝65°或25°，
故答案为：65或25.
【分析】如图1，当点P在BC上时，根据三角形的内角和定理得到∠BAD＝50°，根据折叠的性质得到AB＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝ （180°﹣50°）＝65°；如图2，当点P在线段BC的延长线上时，延长DA交BC于E，根据折叠的性质得到PB＝PD，求得∠ADP＝∠ABC＝40°，于是得到∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝25°.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
（1）小刚的解答过程是从第 步开始出错的；
（2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值．
【答案】（1）第二步
（2）解：原式
，
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）根据整式的运算法则逐步观察分析，特别发注意去括号和变号的过程。
（2）根据整式的运算法则进行化简，化简后再代入数值进行计算。
20．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件；(填随机、必然、不可能)
（2）小明观察一段时间后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中减少3个白球，那么抽奖一次恰好抽中一等奖的概率是多少？请说明理由．
【答案】（1）必然
（2）解：24× =15（个） 答：白球约有15个
（3）解：红球有24× =3（个）
总个数24 -3=21（个）
答：抽总一等奖的概率是
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意即可判断为小明中奖是必然事件；（2）先求出抽白球的概率，乘以总球数即可得到袋中白球的数量；（3）先求出红球的个数，再用概率公式进行求解.
21．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【答案】（1）由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB，
根据垂直平分线的性质可得：DA=DB，
所以，DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，
∵DA=DB，
∴∠B=∠BAD=2x，
在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°，
即：2x+2x+x=90°，x=18°，
∠B=2x=36°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）折叠时，对称轴为折痕DE，DE垂直平分线段AB，由垂直平分线的性质得DA=DB，再把△ACD的周长进行线段的转化即可；（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，根据（1）DA=DB，可证∠B=∠BAD=2x，在Rt△ABC中，利用互余关系求x，再求∠B．
22．如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B=180°，
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果∠AMD=75°，求∠AGC的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠D+∠BHD=180°，
∵∠D+∠B=180°，
∴∠B=∠DHB，
∴DE∥BC
（2）解：∵DE∥BC，∠AMD=75°，
∴∠AGB=∠AMD=75°，
∴∠AGC=180°﹣∠AGB=180°﹣75°=105°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BHD=180°，求出∠B=∠DHB，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质求出∠AGB=∠AMD=75°，根据邻补角的定义求出即可．
23．探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
（4）计算：①；
②．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
（4）解：①，
，
；
②，
，
．
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）利用割补法可得阴影部分的面积为：；
故答案为：
（2）根据重新拼接的图形可得长为（a+b），宽为（a-b），
∴长方形的面积为；
故答案为：；
（3）根据两幅图中阴影部分的面积相等可得；
故答案为：.
【分析】（1）利用割补法求出阴影部分的面积即可；
（2）利用长方形的面积公式求解即可；
（3）根据两幅图中阴影部分的面积相等可得答案；
（4）①将代数式变形为，再利用平方差公式及完全平方计算即可；
②将代数式变形为，再利用平方差公式及完全平方计算即可.
24．已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点， 和 的角平分线交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）如图， 和 的角平分线交于点 ，求 的度数；
（3）如图，若 ，延长线段 得射线 ，延长线段 得射线 ，射线 绕点 以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线 绕点 以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止.设它们同时旋转 秒，问 为多少时，射线 ，直接写出 的值 秒.
【答案】（1）证明：∵ 、 分别平分 和
∴ ，
∵
∴
∴
（2）解：设∠PEQ=α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP=2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF=∠PEQ=α，
∵∠EPF=90°，
∴∠PFE=90°-2α，
∴∠PFM=180°-（90°-2α）=90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ=45°+α，
∴∠Q=180°-∠QEF-∠EFQ=180°-α-（90°-2α）-（45°+α）=45°
（3）5或15
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：如图1，EP1//FP2时，
∵∠AEP：∠CFP=2：1，∠AEP+∠CFP=90°，
∴∠AEP=60°，∠CFP=30°，
∴∠P1EF=15°t-60°，∠P2FE=30°-3°t，
∵EP1//FP2，
∴∠P1EF=∠P2FE，
∴15°t-60°=30°-3°t，
∴t=5；
如图2，EP1//FP2时，
∴∠P1EF=15°t-60°，∠EFP2=3°t-30°，
∵EP1//FP2，
∴∠P1EF+∠EFP2=180°，
∴15°t-60°+3°t-30°=180°，
∴t=15；
综上所述：当t=5或15时，射线EP1//FP2，
故答案为：5或15.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠AEP=∠FPE，∠CFP=∠EFP，由∠AEP+∠CFP=90°，可得
∠AEF+∠CFE=180°，根据平行线的判定即证AB∥CD；
（2）设∠PEQ=α，∠AEP=2α，由角平分线的定义可得∠QEF=∠PEQ=α，从而求出∠PFE=90°-2α，∠PFM=90°+2α， 由角平分线的定义 ∠PFQ=45°+α， 再由三角形内角和可得∠Q=180°-∠QEF-∠EFQ=45° ；
（3）分两种情况：①如图1，EP1//FP2时，②如图2，EP1//FP2时，分别求解即可.
25．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点．
（1）A与B两点之间的“直角距离” ；
（2）点为y轴上的一个动点，当的取值范围是 时，的值最小；
（3）若动点P位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
【答案】（1）6
（2）
（3）解：设点P(x，y)
∵点P在第二象限，
∴x<0，y>0
=
①当0
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+1=-4（不符合题意）
若-3
∴，即2x+2≥0，解得：x≥-1
当0
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+3-2y=-2-2y（不符合题意）
若-3
∴，
即2x-2y+4≥0，
整理得：y≤x+2
当1
③当y>2时
=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）-1=-6（不符合题意）
若-3
∴2x<0，（不符合题意）
综上：点P的运动范围如图所示．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：，
故答案为：6；
(2)根据题意得：
当时，，，
，
故此时不存在最小值，
当时，，，
，
故此时的最小值为6，
当时，，，
，
故此时不存在最小值，
综上，当时，的值最小；
故答案为：；
【分析】（1）根据题意先求出，再求解即可；
（2）结合题意，分类讨论，计算求解即可；
（3）先求出 x<0，y>0 ，再分类讨论，求解即可。
26．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ▲ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ▲ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ▲ ．
（1）请补全小明的解法；
（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
（3）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
【答案】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．
（2）120类比研究
（3）解：设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，
则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝（22-2022）÷2=-1009．
拓伸延伸
（4）44
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）（2）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．
（4）
∵
∴
∵，
∴
阴影部分的面积为：．
【分析】（1）由于两个代数式的积一定且和也是个定值，则其平方和可借助完全平方公式求得；
（2）反之，两个代数式的和与平方和都已知，也可借助完全平方公式求得；
（3）直接应用完全平方公式即可。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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