目录
探究1 与圆有关的概念 2
探究2 垂径定理及推论 4
探究3 垂径定理的应用 8
探究1 与圆有关的概念
【例1】 （2022 金沙县一模）下列说法中，不正确的是
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．
【解答】解：．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
．圆有无数条对称轴，正确；
．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：．
【例2】 （2022秋 晋安区期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是
A．2 B．5 C．9 D．11
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长．
故选：．
【例3】 （2022春 莘县期末）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，故选：．
探究2 垂径定理及推论
【例4】 （2024 大庆二模）如图，为的直径，弦于点，若，则的半径为
A．3 B．4 C． D．5
【答案】
【分析】连接，根据垂径定理可知，设，则，在中利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接，
为的直径，弦于点，，
，
设，则，
在中，
，即，
解得．
故选：．
【例5】 （2024 凉州区二模）如图，已知的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为
A．2 B． C．4 D．
【答案】
【分析】先根据求出的长，连接，由垂径定理可得出，在中，利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长．
【解答】解：连接．
的直径，
，
，
，
在中，
，，
，
．
故选：．
【例6】 （2023秋 泸西县期末）如图，在中，弦长，圆心到的距离是，的半径是
A． B． C． D．
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，
由题意知，且，
，
，
则，
故选：．
探究3 垂径定理的应用
【例7】 （2024 芝罘区一模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】判断出的长，利用勾股定理求出，可得结论．
【解答】解：，，
，
，
，
．
故选：．
【例8】 （2024 武都区一模）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：，则液面宽度
A． B． C． D．
【答案】
【分析】过圆心，作，根据垂径定理得出，根据图示得出，，勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过圆心，作，则，
在中，，，
，
，
故选：．
【例9】 （2024 长春一模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由垂径定理得，设该桨轮船的轮子半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：，，
，
设该桨轮船的轮子半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即该桨轮船的轮子半径为，
故选：．
1．（2024 双流区校级一模）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为
A． B． C． D．
2．（2023秋 下城区校级月考）已知的半径是，则中最长的弦长是
A． B． C． D．
3．（2023 定远县校级开学）下列说法正确的是
A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧
C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦
4．（2023秋 金平区期末）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的
A．直径 B．半径 C．周长 D．面积
5．（2024 合江县一模）如图，为的直径，弦于，，，则的值是
A．13 B．20 C．26 D．28
6．（2024 山阳县一模）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，为弦中点，点是弧的中点，，杯内水面宽，则圆的半径的长是
A． B． C． D．
7．（2024 鹿城区校级开学）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是
A．20 B．12 C．10 D．8
8．（2024 渭城区一模）如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为
A．8 B．10 C． D．
9．（2024 秦都区校级一模）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是
A． B． C． D．
10．（2024 碑林区校级模拟）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为
A．1.7米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.4米
11．（2024 南郑区校级一模）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求的半径．
12．（2024 池州开学）如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径．
13．（2023秋 庐阳区期末）唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子直径．
1．【答案】
【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】解：如图所示：连接，过点作于点，交于点，
，
，
的直径为，
，
在中，，
．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据圆中最长的弦为直径然后求解．
【解答】解：的半径是，
中最长的弦长直径．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据确定圆的条件及圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意；
、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意；
、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意；
、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意；
故选：．
4．【答案】
【分析】画圆时，圆规两脚分开的距离，即圆的半径，据此解答即可．
【解答】解：画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径．
故选：．
5．【答案】
【分析】连接，设圆的半径为，则，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，连接，
设圆的半径为，则，
由垂径定理可得，，
中，，
，
解得：，
，
故选：．
6．【答案】
【分析】连接，，先由垂径定理可得长，再由勾股定理得长，从而求出长．
【解答】解：如图，连接、，
则，
，
在 中，
设，则，
则：，
解得：，
半径为，
故选：．
7．【答案】
【分析】连接、，由垂径定理得，连接，设圆的半径为，再在中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径．
【解答】解：连接、，如图：
由题意得：为的中点，
则、、三点共线，，
，
设圆的半径为，则．
在中，由勾股定理得：，
解得：．
这根圆柱形木材的半径为10．
故选：．
8．【答案】
【分析】连接，设的半径为，则，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，得出，求出，再求出，最后根据勾股定理求出即可．
【解答】解：连接，设的半径为，则，，
，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，，
，
，
故选：．
9．【答案】
【分析】设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．
【解答】解：如图，设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为 ，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
故选：．
10．【答案】
【分析】过作于，过作于，由垂径定理得（米，再证四边形是矩形，则米，（米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：过作于，过作于，如图所示：
则（米，，
，
，
四边形是矩形，
米，（米，
设该圆的半径长为米，
由题意得：，
解得：，
即该圆的半径长为1.3米，
故选：．
11．【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）根据垂径定理得出，，根据线段垂直平分线性质得出，，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出，根据等边三角形的性质得出，求出，再根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1），过圆心，
，
，
同理，，
，
是等边三角形，
；
（2）是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
即，
解得：（负数舍去），
，
即的半径为2．
12．【答案】10．
【分析】连接，由垂径定理得，，设的半径为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接，如图所示：
点是的中点，，
，，
设的半径为，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径为10．
13．【答案】该桨轮船的轮子直径为
【分析】连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径．
【解答】解：依题意，得，，
如图，连接，设轮子的直径为 ，则其半径为．
则在中，，
，
解得，
故答案为该桨轮船的轮子直径为．
()
