11.1.2 三角形的高、中线和角平分线
一、单选题
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图，若是的中线，，则（ ）
A．12 B．10 C．16 D．8
5．如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线，对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③ 的面积；④的大小；其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
7．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的高和中线
8．如图，，，分别是的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，为上一点，为上一点，，连接，交于点．若，，则的面积为( )
A． B． C． D．
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图所示，中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，的面积为40cm2，，，则四边形的面积等于（ ）
A．cm2 B．9cm2 C．cm2 D．8.5cm2
13．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多5cm，与的和为11cm，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．6
14．如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在三角形ABC中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
16．如图，为中BC边上的中线，，．若的周长为，则的周长为______．
17．如下图，D为的边的中点，若，那么___________．
18．如图，点G是△ABC的重心，连结BG并延长交AC于点D，则的值是_____．
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=______．
20．如图，中，，为的中点，连接并延长交于点，为上一点，且于点．下列判断，其中正确的有_________个．
①是中边上的中线；②既是中的平分线，也是中的平分线；③既是中边上的高，也是中边上的高．
21．如图，为的中线，为的中线，若的面积为20，，则中边上的高为___________．
22．如图：、是的中线，、相交于，若厘米，则________厘米．
23．如图，是的中线，E是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____________．
24．育才中学内有一块直角三角形空地△ABC，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ADC区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB=10m，AC=4m，则一串红与鸡冠花两种花草各种植的面积分别为_________．
25．如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为，，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是______．（用，的代数式表示）
26．如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是__________．
27．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在线段AC上且EC＝2AE，线段AD与线段BE交于点F，若△ABC的面积为6，则四边形EFDC的面积为________．
28．如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____．
29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为_____．
30．如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为______．
三、解答题
31．如图，，是的两条高，，求的长．
32．图1是一张三角形纸片．将对折使得点与点重合，如图2，折痕与的交点记为．
（1）请在图2中画出的边上的中线．
（2）若，，求与的周长差．
33．如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上．
(1) 若把向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，在图中画出；
(2) 填空：______，______，______，的面积为______．
(3) 点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点P的坐标．
34．三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．
(1) 求的面积；
(2) 求的长；
(3) 和的面积有何关系？
35．如图，AD、BE分别是△ABC的高，AF是角平分线．
（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF的度数；
（2）若AC=4，BC=6．求AD与BE的比．
36．如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．
(1) 求的面积；
(2) 求点到的距离；
(3) 如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标．
答案
一、单选题
1．C
【分析】直接根据三角形的稳定性解答即可．
解：A、B、C选项中都有四边形，只有C选项中只有三角形，根据四边形的不稳定性和三角形的稳定性可知：C选项的图形具有稳定性．
故选C．
2．D
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：D．
3．D
【分析】根据面积相等即可求出点C到的距离．
解：∵在直角三角形中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：D．
4．B
【分析】根据三角形的中线的定义，即可求解．
解：∵是的中线，，，
∴，
故选B．
5．C
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可得，，，利用等量代换逐步推出，最后利用计算即可．
解：，，是三边的中线，
，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
解：∵直线，
∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化；
∵，的长随点P的移动而变化，
∴②的周长会随点的移动而变化，④的大小会随点的移动而变化；
∵点到直线的距离不变，的长度不变，
∴③的面积不会随点的移动而变化；
综上，会随点的移动而变化的是②④．
故选：B．
7．C
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．
故选：C．
8．B
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解．
解：∵，，分别是的中线，角平分线，高，
A、 ，故该选项正确，不符合题意；
B、 不一定相等，故该选项不正确，符合题意；
C、 ，故该选项正确，不符合题意；
D、，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
9．B
【分析】根据题意可得，则，根据，可得，即可求解．
解：∵，即，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
10．C
【分析】根据三角形的面积求出点C到的距离，再判断出点C的位置即可．
解：∵的面积为4，
∴边上的高为，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：C．
11．D
【分析】根据三角形高的概念求解即可．
解：由图可得， ∵，
∴中边上的高是，
故选：D．
12．A
【分析】连接，根据，可知，，，根据△ABC的面积等于即可得出 ，，，，根据面积列出方程解出的面积即可解答．
解：如图所示，连接 ，
，
，
，
，
的面积等于，
，，
，，
设，，
则，
∴ ，
解得 ，
∴四边形的面积为．
故选：A．
13．C
【分析】根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；又，易求的长度．
解：是边上的中线，
为的中点，．
的周长比的周长多5cm，
．
又，
．
故选：C．
14．A
【分析】根据，，可得，再由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，即可得到结果．
解：如图，∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
15．B
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．
解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴AH⊥EF，故①正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠EFB，故②正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴∠E＝∠ABE，故④正确．
故选：B．
16．31
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：为的中线，
，
的周长，
，
，
，即，
，
的周长，
故答案为：．
17．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
解：∵D为的边的中点，，
∴，
故答案为；．
18．1．
【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点得出AD＝DC，即可得出
解：∵点G是△ABC的重心，
∴AD＝DC，
即＝1，
故答案为1
19．
【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A.
解：∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=120°
又∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠A=∠ACD-∠B=85°
故答案为85°.
20．3
【分析】根据三角形高，中线，三角形角平分线的定义逐一判断即可．
解：∵为的中点，
∴是中边上的中线，故①正确；
∵，
∴既是中的平分线，也是中的平分线，故②正确；
∵，
∴既是中边上的高，也是中边上的高，故③正确；
故答案为：3．
21．4
【分析】根据中线的性质可得，则，设中边上的高为h，再根据三角形的面积公式求解即可．
解：∵为的中线，，
∴，
∵为的中线，
∴，
设中边上的高为h，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：4．
22．
【分析】根据三角形重心的性质即可求解．
解：、是的中线，、相交于，
，
厘米，
厘米，
解得厘米，
故答案为：．
23．20
【分析】因为是的中线，得到，由因为是的中线，得到，即可求出的面积．
解：是的中线，
，
，
，
是的中线，
，
，
故答案为：20．
24．
【分析】根据题意，过点分别向两边作垂线，垂足为，由角平分线的性质定理可以得到，那么：=：=2：5，所以求出的面积便可以得到的面积；
解：过点分别向两边作垂线，垂足为
是的角平分线
又 ，
：=：=2：5
又
故答案是：.
25．
【分析】阴影部分的面积等于大长方形的面积去掉三个直角三角形的面积．
解：
=4ab．
故答案为：4ab．
26．AE
【分析】根据三角形的高的概念即可得答案．
解：∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，
∴BE⊥AC，即AE⊥BH，
∴△BHA中边BH上的高是AE，
故答案为：AE
27．
【分析】连接CF，根据CE=2AE，△ABC的面积为6可知S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，设S△AEF=S，则S△CEF=2S，故S△ABF=2﹣S，则S△BCF=4﹣2S，设S△ABF=x=2﹣S，则S△BDF=S△CDF=3-x，由AD是BC边上的中线可知S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，则有3=3-x+3S，即x=3S，所以，由此可得出结论．
解：连接CF，
∵CE=2AE，△ABC的面积为6，
∴S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，
∵AD是BC边上的中线，
∴，，
设S△AEF=S，则S△CEF=2S，
∴S△ABF=2﹣S，则S△BCF=4﹣2S，
设S△ABF=x=2-S，则S△BDF=S△CDF=3-x，
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，
即3=3-x+3S，即x=3S，
∴，
∴，
∴S四边形EFDC=．
故答案为．
28．20°或60°．
【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
解：如图所示，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，
∴∠BFD=∠BCE=50°，
∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，
综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
29．4
【分析】△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，即可求解．
解：△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，（证明见备注）
△BEC的面积＝S＝6，
BP＝BE，
则△BPC的面积＝△BEC的面积＝4，
故答案为：4．
备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G．
求证：EG＝CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H．
∵AE＝BE，EH∥BF，
∴AH＝HF＝AF，
又∵AF＝CF，
∴HF＝CF，
∴HF：CF＝，
∵EH∥BF，
∴EG：CG＝HF：CF＝，
∴EG＝CG．
30．5
【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可．
解：如图：连接，过点C作于点H，
∵点D、E分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：5．
三、解答题
31．
解：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴，
即，
解得：AD=3cm．
32．
解：（1）如图，线段即为所求．
（2），
的周长的周长
．
33．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，，，把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，
∴，，；
的面积；
故答案为：；；；6．
（3）解：设点，则有，
∵的面积是面积的一半，
∴，
解得或，
点坐标或．
34．
（1）解：的面积；
（2）∵的面积，，
∴；
（3）∵为的中线，
∴，
∵的边上的高为，
∴．
即：和的面积相等．
35．
解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）∵分别是的高，
∴，
∵，
∴，
即．
36．
（1）解：∵，，，
∴，，
，，
点，点，
，，
∴；
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴；
点到的距离为；
（3）解：设运动时间为秒，则，，其中，
∴，
∵，
，
，
，
解得：，，
，
运动时间为秒或秒．
当时，，
，
；
当时，，
，
．
综上所述，或．
