第十七章《一元二次方程》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的一元二次方程的解为，，则代数式的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ）
A． B． C． D．
4．方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．已知是方程的一个根，则代数式的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
7．为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少 设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知关于x的一元二次方程：，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．已知是一元二次方程的两个实数根，则使的值为整数的实数k的整数值为 .
13．一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为 ．
14．关于的一元二次方程的两实数根分别为，且，则的值为 ．
15．已知为实数，若，那么的值为 ．
16．对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程：
(1) (2)
(3) (4)
18．（6分）已知关于的一元二次方程．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于1，求的取值范围．
19．（8分）如图为年月的日历表，在其中用一个方框圈出个数（如图中虚框所示），设这个数从小到大依次为，，，．
(1)若用含有的式子分别表示出，，，其结果应为：______；______；____；
(2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为_______________；
(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为．”
淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数与最大数的乘积为．”
请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
20．（8分）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是倍根方程，则___________．
21．（8分）第届世界杯足球赛已于年月日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在年月份售出个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到了个．
(1)求“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率；
(2)若每个“拉伊卜”的进价为元，原售价为元，该超市计划在年月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价元，销售量可在月份的基础上增加个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元？
22．（8分）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为几秒时，的长度等于？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，
23．（8分）阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_________， _________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，求的值．
(3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的值．
答案
一．选择题
1．C
【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】解：A.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C.在中，，所以该方程有两个相等的实数根，故C符合题意；
D.将整理得：，，所以该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，
故选：C．
2．C
【分析】把代入方程求得，再解方程求得，将、的值代入求值即可．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
的一元二次方程，
解得：，即，
将，代入，
得：，
故选：C．
3．C
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是．
【详解】关于的一元二次方程有一个根是，
，
在等式的两边同时除以得：，
方程有一个根是．
故选：C．
4．B
【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
令，则方程可转化为，
由题意得：，
即，
解得，
故选：B．
5．B
【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
6．C
【分析】将a代入方程得，然后整体代入得结果，最后根据得范围确定结果的范围即可；
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴将a代入方程，得：，
即：，
将上式代入中得：，
∵，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】根据要使草坪的面积为，列一元二次方程，进一步判断即可．
【详解】解：可列方程，
故C选项不符合题意，
变形后，可得或，
故A选项不符合题意，D选项不符合题意，
不能得到，
故B选项符合题意，
故选：B．
8．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式对每个选项进行一一判断即可．
【详解】解：∵，
∴Δ＝4+4a，
∴①当时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x＝，
∵，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故选：C．
9．A
【分析】先利用根判别式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上， EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝，
∴PQ的最小值为．
故选：A．
10．A
【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．
【详解】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2 (cd)2012，
又x1x2=（cd）2012-2012，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2 (cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
故选：A．
二．填空题
11．-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k 1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k 1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝ 1，
故答案为： 1．
12．或或
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
由一元二次方程根与系数的关系可得：，，
∴，
∴或或2或或4或，
∴或或1或3或或，
∵，
∴或或；
故答案为或或．
13．13
【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案．
【详解】解：解方程可得或，
当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13；
当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去．
则此三角形的周长为13．
故答案为：13．
14．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知求出，然后代入一元二次方程即可求出的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
故答案为：．
15．2或3
【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴,
∴,
∴,
∴，
解解，，
故答案为：2或3．
16．
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为：
当时，即时，有，
即：，其根为：是负数，
当时，即，时，有，
即：，
要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解，
∴，
∴，
（1）当时，即时，方程只有一个根，
∵当时，，
∴，，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∴不符合题意；
（2）当时，方程的两个根都符合题题意，
∵当时，，
∴，，
∴方程只有一个根符合题意，
∴当时，恰好有三个不相等的实数根；
（3）∵当时，方程的一个根，另外一个根，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∵，，
∴当时，方程最多有一个根符合题意，
∴当时不可能有三个不相等的实根；
综上分析可知，的取值范围是．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
∵，，，
∴，
，
（2）解：
∴
移项得：
∴
即
∴，
解得：，．
（3）解：
将原方程化为一般形式，得
这里，，．
，
（4）解：
原方程可变形为，
∴
∴或
解得：，．
18．（1）解：根据题意得：
，
∵无论取何值时，，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：∵，
； ，
∵该方程有一个根小于1，
∴，
∴．
19．（1）解：同一行，左右相差，同列，上下相差，
∴，，，
∴答案是：，，．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即的最大值为．
（3）解：由（1）可知，，，
∴嘉嘉的说法是：，使得的值为，
∴，解方程得，，（舍去）
则虚框圈出的四个数应为 ，它在日历表中不存在，所以嘉嘉的说法不正确；
淇淇的说法是：，即，解方程得，，（舍去），
则虚线圈出的四个数为 ，在日历表中存在，所以淇淇的说法正确．
20．（1）解：方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程；
（2）解：由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或，
故答案为：4或16．
21．（1）解：设“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为．
根据照意，得．
解得，（舍去）．
．
答：“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为．
（2）设“拉伊卜”降价元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元．
根据题意，得，
整理，得．
解得，（舍去）．
答：当每个“拉伊卜”降价元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利元．
22．（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
， ，
，
故答案为：，；
（2）由题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，的长等于；
（3）存在，理由如下：
若四边形的面积等于面积的，
的面积等于面积的，
，
，
解得：或，
当时，
当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2．
23．（1）解：一元二次方程的两个根为，
，，
故答案为：，．
（2）解：一元二次方程的两根分别为、，
，，
．
（3）解：实数、满足，，
∴，看作是方程的两个实数根，
，，
．
