【期末备考——浙教版七年级第二学期期末数学专题复习】
专题5：分式
班级：________ 姓名：________ 得分：________
说明：本卷共120分，考试时间为100分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题主要考查了分式有意义的条件，理解分母不能等于0是解题的关键．
根据分式的分母不等于零列不等式求解即可．
解：∵分式有意义，
∴，解得：．
故选A．
2．下列各式：，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】本题考查了分式的定义；判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：所给式子中，和是分式，共有2个，
故选：B．
3．进入冬季，由于气温下降，呼吸系统感染进入高发期．细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染．今年支原体感染较为突出，及时补充水分，勤洗手，出行戴口罩是有效的防范措施．支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，先进行单位换算，再用科学记数法表示．
解：，
故选：B．
4．若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案．
解：
∵运算的结果为不是分式，
∴“（ ）”内的式子一定有a的单项式，
∴只有A项符合，
故选：A．
5．化简，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果．
解：
；
故选：D．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0.
解：A. 故该选项不正确，不符合题意；
B. 故该选项不正确，不符合题意；
C. 故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
7．如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查分式的混合运算．用结果除以，再加上1即为“”代表的式子．
解：由题意，得：“”代表的是；
故选：C．
8．将分式中的a，b都扩大为原来的5倍，则得到的分式的值（ ）
A．保持不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的 D．不能确定
【答案】B
【解析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
解：根据题意得：，
则得到的分式的值扩大为原来的5倍，
故选：B．
9．若关于的分式方程无解，则实数的取值是（ ）
A．0或2 B．2或4 C．2 D．4或8
【答案】D
【解析】本题考查了分式方程无解问题，去分母，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
先用a表示方程的解，再把方程无解时的取值代入运算即可．
解：
整理得：
去分母得：
解得：
∵，
∴当或时，此方程无解，
∴或，
解得：或，
故选：D．
10．在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分钟比小季多跳下，设小季每分钟跳下，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．如果设小季每分钟跳下，那么小范每分钟跳，根据：“相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下”，据此可列出方程．
解：设小季每分钟跳下，那么小范每分钟跳，
根据题意得：，
故选：B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）。
11．已知代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【解析】本题主要考查了相反数的性质，解分式方程，先根据两个分式互为相反数列出方程，再求出解即可．
解：∵代数式与互为相反数，
∴，
解得．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
12．已知，用“”连接为 ．
【答案】
【解析】本题考查了乘方的运算，负整数指数幂，零指数幂，有理数大小比较，掌握（），（）是解题的关键．
解：由题意得，，，
，
；
故答案为：．
13．已知，，则 ．
【答案】1
【解析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．
解：
；
当，时，原式．
故答案为：1．
14．如果分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【解析】本题考查分式的值为0的条件，掌握分子为0，而分母不为0是解题的关键．
解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故答案为：．
15．若关于的分式方程无解，则 ．
【答案】1或2
【解析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解．
解：
当时，即时，原分式方程无解；
当时，
∵原分式方程无解
∴
解得
综上，或
故答案为：1或2．
16．某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程 ．
【答案】
【解析】本题主要考查了列分式方程，理清各量之间的数量关系、找到两厂产品总数的等量关系是解决本题的关键．
根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”即可列出分式方程．
解：设甲厂的合格率是x，则乙厂的合格率为，甲厂的产品总数为，乙厂的产品总数为：，
根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”可列出方程：．
故答案为：．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据分式的乘方以及分式的乘法运算进行计算即可求解；
（2）根据分式的加减与除法进行计算即可求解．
解：（1）
（2）
18．（8分）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)无解
【解析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
解：（1）
方程两边同乘，去分母得，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的增根，原分式方程无解．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】本题考查了分式化简求值；先对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，再进行加减运算，结果化为最简分式或整式，然后计算出的值，代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
解：原式
，
当时，
原式
．
20．（8分）无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速．
【答案】“信鸽”仿生飞行器的时速为30千米/小时
【解析】本题主要考查了分式方程的应用，根据“云鸮”仿生飞行器所用的时间减去“信鸽”仿生飞行器所用的时间等于列出方程，再求出解即可．
解：设“云鸮”仿生飞行器的时速为x千米/小时，则“信鸽”仿生飞行器的时速为千米/小时．根据题意，得
，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴．
答：“信鸽”仿生飞行器的时速为30千米/小时．
21．（12分）下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程．
(1)小红同学解法的依据是 ；小逸同学解法的依据是 ．（填序号）
①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；④分式的基本性质．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)④；②
(2)解答过程见解析；
【解析】（1）小红同学的解法两个分式先通分，依据是分式的基本性质；小逸同学根据乘法分配律先算乘法，后算减法；
（2）选择小红同学的解法，先通分，再约分化简即可；选择小逸同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行减法运算即可．
解：（1）小红同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相减，再进行乘法运算，通分的依据是分式的基本性质．
小逸同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算减法．
（2）小逸同学的解法：
．
小红同学的解法：
．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务
设计购买欲兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．
素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同
问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式
【答案】任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭 30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券 10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋
【解析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解；
任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答；
任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答．
解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，
根据素材1可列方程；，解得
经检验，是原方程的解，
∴（元/个）
答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个．
任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，
根提素材2可列方程：，
∴，
∵，都不少于20，且是10的倍数，
∴，，．
答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭 30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；
任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，
设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，
即：，
结合任务2可知，
对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，
可列方程：，
即：，
∵，，，m、t均为正整数，
∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，
可列方程：，
即，
∵，，，，m、t均为正整数，
∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，
可列方程：，
即，不符合题意舍去；
综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券 10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋．
23．（12分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
【答案】(1)，；
(2)这的水不能倒完，理由见解析；
(3)经过次操作之后能达到．
【解析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；
（3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．
解：（1）∵
∴，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）∵
，
∴这的水不能倒完；
（3）由题意可得，倒了次后剩余的水量为
，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴经过次操作之后能达到．
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【期末备考——浙教版七年级第二学期期末数学专题复习】
专题5：分式
班级：________ 姓名：________ 得分：________
说明：本卷共120分，考试时间为100分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式：，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．进入冬季，由于气温下降，呼吸系统感染进入高发期．细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染．今年支原体感染较为突出，及时补充水分，勤洗手，出行戴口罩是有效的防范措施．支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
5．化简，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（ ）
A． B． C． D．
8．将分式中的a，b都扩大为原来的5倍，则得到的分式的值（ ）
A．保持不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的 D．不能确定
9．若关于的分式方程无解，则实数的取值是（ ）
A．0或2 B．2或4 C．2 D．4或8
10．在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分钟比小季多跳下，设小季每分钟跳下，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）。
11．已知代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
12．已知，用“”连接为 ．
13．已知，，则 ．
14．如果分式的值为0，则x的值为 ．
15．若关于的分式方程无解，则 ．
16．某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)； (2)．
18．（8分）解方程：
(1)； (2)．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速．
21．（12分）下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程．
(1)小红同学解法的依据是 ；小逸同学解法的依据是 ．（填序号）
①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；④分式的基本性质．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务
设计购买欲兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．
素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同
问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式
23．（12分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
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