【期末备考——浙教版七年级第二学期期末数学专题复习】
专题2：二元一次方程组
班级：________ 姓名：________ 得分：________
说明：本卷共120分，考试时间为100分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据定义进行判断即可．
解：A、，是二元一次方程，故本选项符合题意；
B、，属于三元一次方程，故本选项不符合题意；
C、，是分式方程，故本选项不合题意；
D、，是二元二次方程，故本选项不合题意；
故选：A．
2．二元一次方程的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】C
【解析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个字母看做已知数求出另一个字母．把x看做已知数表示出y，确定出方程的非负整数解即可．
解：原方程可变形为，
原方程的非负整数解有共有5组．
故选C．
3．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意求出的值是解题的关键．将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案．
解：将代入二元一次方程组可得：，
解得：，
，
故选：D．
4．解以下两个方程组：①，②较为简便方法的是（ ）
A．①②均用代入法 B．①②均用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
【答案】D
【解析】本题考查了解二元一次方程组，熟悉解方程是解题的关键．根据解二元一次方程组的基本方法代入消元法和加减消元法的特点，选择恰当的方法即可．
解：①中的方程中含y的项互为相反数，用加减消元法比较合适；
②是用t表示s的形式，用代入消元法解答合适；
故选：D．
5．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果．
解：方程组可变为：，
∵关于x．y的方程组的解为，
∴，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴方程组的解是，
故选：B．
6．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【答案】C
【解析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
解：∵和有相同的解，
∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组，
∵解方程组，得，
∴的解也为，
把代入，
得：，
两个方程相加，得，
整理，得，
∴
故选：C.
7．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【答案】C
【解析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．根据“加密规则为：明文，，，对应密文，，”，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可得出结论．
解：依题意得：，
解得：．
故选：C．
8．天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“ ”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （ ）
A．△最重 B． 最重 C．□最重 D．无法比较
【答案】C
【解析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据两个托盘的质量相等列出方程组是解题的关键．设“□”“ ”“△”质量的大小分别为x，y，z，通过理解题意，可知本题的等量关系为．即，根据等量关系求解即可．
解：设“□”“ ”“△”质量的大小分别为x，y，z，
根据题意可得，
解得，
∴
即“□”最重，
故选：C．
9．某食品厂要配制含蛋白质的食品，需要含蛋白质分别为和的两种配料各多少千克？若设需要含蛋白质和的配料分别为、，则所列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列二元一次方程组是解题的关键．
由食品厂要配制含蛋白质的食品可得，，进而可得方程组．
解：设需要含蛋白质和的配料分别为、，
依题意得，，
故选：C．
10．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午，则当箭尺读数为时，时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每小时上升，开始高度为，根据供水2小时和供水6小时箭尺的高度列方程组求解即可．
解：设每小时上升，开始高度为，根据题意，得
解得
设当箭尺读数为时，时间为t，则，
解得．
时间是．
故选D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）。
11．已知是二元一次方程，则 ；
【答案】
【解析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
解：∵是二元一次方程，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
12．小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ．
【答案】8
【解析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
将代入原方程组，解出和即可．
解：由题意得，
解得：，．
∴．
故答案为：8．
13．已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如下表所示，则p的值是 ．
x m
y n
t 8 p
【答案】13
【解析】本题考查了解二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．由表格得，求解即可．
解：将表中数据代入方程，得，
由②，得，
将①代入③，得，即，
故答案为：13．
14．甲、乙、丙三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则丙得分为 ．
【答案】
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，设掷中外环区、内区一次的得分分别为，分，根据等量关系列出方程组，再解方程组，然后代入即可求解，理解题意，列出方程组是解题关键．
解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为，分，
根据题意得：，解得：，
∴丙得分：，
故答案为：．
15．已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ．
【答案】
【解析】本题考查了三元一次方程组的应用，设中有个，个0，个2，
根据题意列方程组，即可求解．
解：设中有个，个0，个2，
则：，
解得：
∴
故答案为：
16．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．
【答案】
【解析】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次方程的应用，设秤盘的质量为，秤砣的质量为，根据题意列出二元一次方程组，求解即可得出秤盘的质量为，秤砣的质量为，设这把杆秤的秤星对应的刻度是克，再列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组以及方程是解此题的关键．
解：设秤盘的质量为，秤砣的质量为，
由题意得：，
解得：，
秤盘的质量为，秤砣的质量为，
设这把杆秤的秤星E对应的刻度是克，
由题意得：，
解得：，
这把杆秤的秤星对应的刻度是克，
故答案为：，．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程组
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）用代入法求解即可；
（2）用加减法求解即可．
解：（1），
把②代入①，得，
解得：，
把代入②，得，
∴；
（2）化简整理，得，
由得，解得：，
把代入②，得，
∴．
18．（6分）已知关于的二元一次方程组的解是，求的值．
【答案】
【解析】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把代入方程组求得a、b的值，即可求得的值．
解：把代入二元一次方程组得，，
解得，
∴．
19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)用含有m的式子表示上述方程组的解；
(2)若x与y互为相反数，求m的值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据（1）的结论以及相反数的定义列方程求解即可．
解：（1），
得：，
∴，
把代入②得，
∴，
故方程组的解为；
（2）∵x与y互为相反数，
∴，
解得：．
20．（10分）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知x、y满足x+2y＝5，且，求m的值．
小璐同学说：先解关于x、y的方程组，再求m的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但x+2y＝5中不含母……请你用一利比较简单的方法，求出m的值．
【答案】m的值为4
【解析】先由不含m的两个方程组成的方程组解得x、y的值，再把x、y的值代入包含x、y、m的方程，即可得到m的值．
解：解方程组：
由②得③
代入①得
解得
代入③中得
∴方程组的解为
把代入中
得
解得
∴m的值为4
21．（10分）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形，
(1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
(2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？
【答案】(1)7厘米和2厘米
(2)53平方厘米
【解析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可．
（2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积．
解：（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有
BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x
∵AB=CD
∴2x+y =9+x
即x+y=9
故有二元一次方程组
将y=9-x代入4x+y=15有
4x+9-x =15
解得x=2
将x=2代入y=9-x
解得y=7
故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米．
（2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2
小长方形的面积为2×7=14cm2
由题干知长方形中有8个小长方形
故
即
22．（12分）天府七中组织初中年级共名学生到广元剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
【答案】(1)每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生
(2)①共有2种租车方案，方案1：租小客车3辆，大客车10辆；方案2：租小客车12辆，大客车4辆；最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车10辆，最少租金为元
【解析】本题主要考查了二元一次方程组的应用,二元一次方程的应用：
（1）设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐人，根据题意可得等量关系：辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（）①根据题意可得小客车辆运的人数大客车辆运的人数，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金元，大客车每辆租金元分别计算出租金即可．
解：（1）设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，
依题意得：，
解得：.
答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生．
（2）①依题意得：，
∴，
又∵，均为正整数，
∴或，
∴共有2种租车方案，
方案1：租小客车3辆，大客车10辆；
方案2：租小客车12辆，大客车4辆．
②方案1所需租金为（元）；
方案2所需租金为（元）．
∵，
∴最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车10辆，最少租金为元．
23．（12分）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券．
素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元．
任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？
任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案．
【答案】任务一：4，1011；任务二：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券；任务三：付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券，见详解
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（任务一）利用使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数），可求出使用型的消费券的张数，再利用此时减券前的消费金额最少使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数，即可求出此时减券前的最少消费金额；
（任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券，根据“小明一家用13张、、型的消费券消费，且消费金额减了390元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券，可得，当仅用A型和B型时，不符合题意； 当仅用A型和C型时，， 符合题意的为，付款为：；当仅用B型和C型时，，符合题意的为，付款为：，故付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券．
解：（任务一）根据题意得：
（张，
此时减券前的消费金额最少为
（元．
故答案为：4，1011；
（任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券，
根据题意得：，
解得：，
（张．
答：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券；
（任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券，
由于小观一家4人，
∴，
当仅用A型和B型时，，即，
没有符合题意的整数a，b，故舍去；
当仅用A型和C型时，，则
符合题意的为，付款为：；
当仅用B型和C型时，
符合题意的为，付款为：；
由于，
∴付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券．
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【期末备考——浙教版七年级第二学期期末数学专题复习】
专题2：二元一次方程组
班级：________ 姓名：________ 得分：________
说明：本卷共120分，考试时间为100分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．二元一次方程的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
3．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．解以下两个方程组：①，②较为简便方法的是（ ）
A．①②均用代入法 B．①②均用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
5．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
7．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
8．天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“ ”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （ ）
A．△最重 B． 最重 C．□最重 D．无法比较
9．某食品厂要配制含蛋白质的食品，需要含蛋白质分别为和的两种配料各多少千克？若设需要含蛋白质和的配料分别为、，则所列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午，则当箭尺读数为时，时间是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）。
11．已知是二元一次方程，则 ；
12．小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ．
13．已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如下表所示，则p的值是 ．
x m
y n
t 8 p
14．甲、乙、丙三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则丙得分为 ．
15．已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ．
16．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程组
(1)； (2)．
18．（6分）已知关于的二元一次方程组的解是，求的值．
19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)用含有m的式子表示上述方程组的解；
(2)若x与y互为相反数，求m的值．
20．（10分）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知x、y满足x+2y＝5，且，求m的值．
小璐同学说：先解关于x、y的方程组，再求m的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但x+2y＝5中不含母……请你用一利比较简单的方法，求出m的值．
21．（10分）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形，
(1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
(2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？
22．（12分）天府七中组织初中年级共名学生到广元剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
23．（12分）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券．
素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元．
任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？
任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案．
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