2024北京初三二模数学汇编
选择压轴（第8题）
一、单选题
1．（2024北京朝阳初三二模）如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（ ）
A． B．4 C． D．2
2．（2024北京燕山初三二模）如图，是半圆O的直径，C是半圆周上的动点(与A，B不重合），于点D，连接．设，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2024北京东城初三二模）如图，在中，于点，点是的中点．设，，，，，，且，有以下三个结论：
①；
②点，，在以点为圆心，为半径的圆上；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2024北京海淀初三二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024北京房山初三二模）如图，，，分别是直径为的的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下而四个结论：①的直径为4；②；③；④连接，则的面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
6．（2024北京顺义初三二模）如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论：
① ② ③
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．② D．①②③
7．（2024北京昌平初三二模）如图，为半圆O的直径，C，D是直径上两点，且，过点D作的垂线交半圆于点E，．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2024北京门头沟初三二模）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（ ）
B．
C． D．
9．（2024北京北师大附属实验中学初三二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．8 C．10 D．
10．（2024北京人大附中朝阳学校初三二模）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024北京广渠门中学初三二模）如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
12．（2024北京十一中学初三二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为米，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
13．（2024北京一零一中学初三二模）如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
14．（2024北京丰台初三二模）如图，在平面直角坐标系xOy中 ，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为（-3，0），（-1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下：
①当y>0时，-3
③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后
得到的函数图象经过原点；
④点P（m，-m-1）是该函数图象上一点，则符合
要求的点P只有两个．
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2024北京大兴初三二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
16．（2024北京石景山初三二模）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：
①当时，；
②当时，y随x的增大而增大；
③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；
④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
参考答案
1．C
【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线上，，，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，
由图象可得，
当x从0到4时，
∴
∵四边形是菱形
∴点P在对角线上
∴由图象可得，，
∴
∵在菱形中，，
∴，
∴设，则
∴
∴
∴在中，
∴
解得，负值舍去
∴
∴菱形的边长是．
故选：C．
【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P在对角线上．
2．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了圆周角定理，直角三角形的性质．
根据是半圆O的直径，得出，根据直角三角形的性质得出，根据C是半圆周上的动点(与A，B不重合），即可判断①；根据点C的运动轨迹确定，即可判定②；证明，根据相似三角形的性质得出，结合①中结论即可判断③．
【详解】解：∵是半圆O的直径，
∴，
∵点O是中点，
∴，
∵，，
∴，，
即，故①正确；
∵C是半圆周上的动点(与A，B不重合），
∴，，
∴，
∴，故②错误；
，，
，
，，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，完全平方公式的应用，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理可判断①结论；利用线段中点以及直角三角形斜边中线等于斜边一半可判断②结论；利用勾股定理以及完全平方公式可判断③结论．
【详解】解：，
，
，
，，，且，
，①结论正确；
，，，
即，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，则，
此时点，，在以点为圆心，为半径的圆上，②结论正确；
在中，，即，
，
，
，
，即，③结论正确，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键．
根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为，
∴个杯子叠在一起的总高度为，
故选：D ．
5．C
【分析】根据正多边形的性质以及圆心角定理即可判断③；再利用即可判断①；借助勾股定理可求出，即可判断②；过点A作交延长线于点F，过点D作交于点E，根据等腰三角形的性质先求出，再利用特殊三角函数值，可求得，，由勾股定理得，再求出即可求解．
【详解】解：连接，，
∵，，分别是直径为的的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边
∴，，
∴，
∴，
即
故③正确；
∵
∴是等边三角形，是等腰直角三角形
∴
故①正确；
由勾股定理可得，
故②正确；
过点A作交延长线于点F，过点D作交于点E
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
即为等腰直角三角形
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴
∴
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，圆心角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆心角定理以及作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．B
【分析】连接，当平分，即时，即证明，可得出，当不平分，若时，，若时，，可判定①错误；根据，又由，可得，可判定②正确；证明，得出，又根据，则可得出，可判定③正确．
【详解】解：连接，
当平分，即时，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴即；
若时，，即，
若时，，即，
故①错误；
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
故正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形是解题的关键．
由题意知，，，由，可得，可判断①的正误；如图，连接，则，证明，则，即，可判断②的正误；由，可得，可判断③的正误．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
如图，连接，
∵为半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，②正确，故符合要求；
∴，
∴，
∴，③正确，故不符合要求；
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别．探究大水杯中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象．
【详解】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢．
观察四个图象，选项C符合题意．
故选：C．
9．D
【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值．
【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴,
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴,
∴,
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴,
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解．
10．C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【详解】
如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．
11．D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．如图1中，过点作于，证明即可判断①；过点作于，于，于．证明即可判断②；如图2中，过点作于，交于．先证明，再证明即可判断③；利用勾股定理计算，即可判断④．
【详解】解：如图1中，过点作于．
，关于对称，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，故①正确，
，
过点作于，于，于．
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，交于．
，关于对称，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③错误，
，，
，，，
，故④正确，
故选：D．
12．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用．连结，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】解：连接交于，
由题意得：米，，
∴（米），，
由勾股定理得，（米），
∴米，
即点到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
13．C
【分析】如图所示，连接交于H，取中点O，连接，先证明点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线，即点E运动到点H时， 当三点共线时，有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当与相切时有最大值，证明，得到，，则，再证明，得到，即可判断③④．
【详解】解：如图所示，连接交于H，取中点O，连接，
∵四边形是正方形，
∴；
∵，
∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∵，
∴点H在圆O上，
∵，
∴当三点共线，即点E运动到点H时，，故①正确；
∵点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∴当三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，故②错误；
如下图所示，当与相切时有最大值，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数最大值不是，故③错误；
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹是解题的关键．
14B
解析略
15．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意，
则①②符合题意，
故选：A．
16．C
【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．
结合函数图象逐个分析即可．
【详解】由图象可得，
当时，或，故①错误；
当时，y随x的增大而增大；故②正确；
∵
∴点M在一次函数的图象上，
如图所示，
由图象可得，有3个交点
∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误；
∵函数经过点
∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确．
综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④．
故选：C．
