第八章二元一次方程组4大知识点汇总与过关练习2023-2024学年数学七年级下册人教版
4大知识点汇总
知识点一:二元一次方程组基础题型
知识点二:二元一次方程组的解法
知识点三:实际问题与二元一次方程组
知识点四:三元一次方程组的解法
过关练习
知识点一:二元一次方程组基础题型
1．下列4组数中，是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
3．青少年辩论社团共有40名学生，为方便开展活动，计划分成若干个小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知关于x、y的方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
5．若方程是关于的二元一次方程，则点在平面直角坐标系中的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
知识点二:二元一次方程组的解法
7．解方程组：
(1)；
(2)．
8．解方程组
(1)；
(2)．
9．已知关于x，y的方程组．
(1)若，求这个方程组的解．
(2)若这个方程组的解满足，求的值．
10．在《二元一次方程组》的单元复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．
小丽和小华解方程组的部分过程如下表：
小丽：②①，得
小华：由②得③，把①代入③，得
(1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程______，小华的过程______．（在横线处填写“正确”或“不正确”）
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组：．
11．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目．
12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
得：，所以，
得：，
得：，从而得，
所以原方程组的解是．
(1)请你仿照上述方法，解方程组；
(2)请你直接写出方程组的解是_____________；
(3)猜测关于的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证．
知识点三:实际问题与二元一次方程组
13．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？
14．河南是一个茶叶种植大省，除了被列为中国十大名茶之一的信阳毛尖外，有名的还有太白银毫、清淮绿梭、固始皇姑山茶、震雷春、赛山玉莲等．两位朋友到茶馆品味河南名茶，经问询知2杯A款茶和3杯B款茶共需46元；1杯A款茶和1杯B款茶共需18元．
(1)问A款茶和B款茶的销售单价各是多少元
(2)若购买A、B两款茶 （两种都要）刚好共花90元，问有几种购买方案
15．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
16．2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”．某健身器材店，为配合全市“全民健身日”活动，决定八折出售甲、乙两种型号的健身器材，已知一台甲种型号健身器材的原价比一台乙种型号健身器材的原价少50元，优惠后购买3台甲种型号健身器材和2台乙种型号健身器材共需费用480元，求两种型号健身器材的原价分别为多少元？
17．社区为了居民做好垃圾分类，准备增加，两种型号的垃圾箱．通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费多少元？
18．干佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元．
(1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决）
(2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案．
知识点四:三元一次方程组的解法
19．解方程组：
(1)
(2)
20．解方程组：．
21．已知与互余，与互补，与的和等于周角的，求的度数．
22．已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？
23．甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变．如果他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米，并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次．求甲的速度和环形道路的长度．
24．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
(1)已知二元一次方程组则______，______．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意；
B．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故B不符合题意；
C．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故C符合题意；
D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，根据题意可得，进行求解即可．
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解，
，
，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题关键是根据题目意思列出含x和y的方程．
设5人一组的有x个，6人一组的有y个，列出方程，再令x为大于等于1的整数，逐一进行计算，即可得出答案．
【详解】设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：
，
当，则（不合题意）；
当，则；
当，则（不合题意）；
当，则（不合题意）；
当，则（不合题意）；
当，则（不合题意）；
当，则（不合题意）；
当，则；
故有2种分组方案．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得，的指数都是，从而可得关于，的值，代入式子即可求解，理解二元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，判断点所在的象限，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求出m、n的值，再根据每个象限内点的横纵坐标的符号特点进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，即在第二象限，
故选；B．
6．C
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
∴，
∴，，，．
故☆表示的方程可能是．
故选C．
7．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组：
（1）运用加减消元法求解：得，将代入①可解得，从而得出方程组的解；
（2）运用加减消元法求解：得，将代入②可解得，从而得出方程组的解．
【详解】（1）解：
得：，
解得：，
将代入①得：
解得，，
所以，方程组的解为：；
（2）解：
得：，
解得：，
将代入②得：
解得，，
所以，方程组的解为：．
8．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解此题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由②得：，
将③代入①得：，
解得：，
将代入③得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：整理得：，
由得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（1）把代入方程组，然后用加减消元法求解即可；
（2）把两个方程相加得，结合即可求出的值．
【详解】（1）当时，这个方程组可化为
，得③，
，得④，
由得，
解得，
将代入②，得，
解得，
所以当时，这个方程组的解为
（2）
由，得，
，，
解得．
10．(1)正确；不正确
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）根据小丽和小华的解法分析即可；
（2）用加减消元法求解即可．
【详解】（1）小丽：②①，得，正确；
小华：由②得③，把①代入③，得，不正确，
应为：由②得③，把①代入③，得．
故答案为：正确；不正确；
（2），
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴．
∴．
11．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决．
【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得：
，①
根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，②
由①②得：，解得：．
原方程组的解为：．
12．(1)；
(2)；
(3)，验证见解析．
【分析】（）根据题干给定的方法求解即可；
（）根据题干给定的方法求解即可；
（）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可；
本题考查了解二元一次方程组，掌握题干给定的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
得，，
∴，
得，，
得，，
把代入得，，
解得，
∴原方程组的解是；
（3）猜测：．
当时，
第一个方程：左边右边，
第二个方程：左边右边，
是原方程组的解．
13．参加此次研学活动的师生共有600人
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆，
根据题意得，
解得，
答：参加此次研学活动的师生共有600人．
14．(1)A款茶和B款茶的销售单价各是元和元
(2)有种购买方案
【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的解的应用．
（1）设A款茶和B款茶的销售单价各是元和元，根据“2杯A款茶和3杯B款茶共需46元；1杯A款茶和1杯B款茶共需18元”列方程组解题即可；
（2）设A款茶购买杯，B款茶购买杯，列方程，求出方程的整数解即可．
【详解】（1）解：设A款茶和B款茶的销售单价各是元和元，
，解得，
答：A款茶和B款茶的销售单价各是元和元．
（2）解设A款茶购买杯，B款茶购买杯，
则，即，
整数解为，，
故共种购买方案，
答：有种购买方案．
15．
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
每个小长方形的面积为，
阴影部分的面积．
16．甲、乙两种型号健身器材的原价分别为100元、150元
【分析】设甲、乙两种型号健身器材的原价分别为元，元
依题意，得，解方程组即可．
本题考查了方程组的应用，正确审题，确定等量关系是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙两种型号健身器材的原价分别为元，元
依题意，得
解得
答：甲、乙两种型号健身器材的原价分别为100元、150元．
17．元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型垃圾箱的单价是元，型垃圾箱的单价是元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：设型垃圾箱的单价是元，型垃圾箱的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
元．
答：该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费元．
18．(1)参与活动的教师有 4 人，学生有 46 人
(2)购买A种奖品5件，购买B种奖品2件
【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，
（1）设参与活动的教师有人，学生有人，根据某班教师与学生一共去了50人，门票共需810元建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买种奖品件，种奖品件，则，根据均为正整数进行分析即可得．
【详解】（1）解：设这个班参与活动的教师人，学生人，
由题意得：，
解得，
答：这个班参与活动的教师4人，学生46人．
（2）解：设购买种奖品件，种奖品件，
由题意得：，
则，
均为正整数，
，
答：购买种奖品5件，种奖品2件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解三元一次方程组，利用消元法解方程组即可；
（1）加减消元法解方程组即可
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得：；
，得：；
，得：，解得：，
把代入⑤，得：，解得：，
把，代入③，得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）
，得：，
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
把代入②，得：，解得：，
∴方程组的解集为：．
20．
【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可．
【详解】解：
①②得：④，
④③得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
把，代入②得：，
解得：，
则方程组的解为．
21．
【分析】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为，解题的关键是根据的数量关系列出方程组，从而计算出结果．
【详解】解：由题意，得，三式相加，得，故，
的度数为．
22．甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人．
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组，进而根据①②确定的取值，作为突破口，致使最终得解．
首先假设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，，根据选手中甲乙两校共16名；乙丙两校共20名；丙丁两校共34名．列出方程组，通过各校选手人数的多少是按甲、乙、丙、丁中学的顺序选派的，得到．进而判断出的取值，根据方程组依次得到、、的值．
【详解】解：设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，．据题意有，
甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出，
，
由①与得，所以，
由②与得，所以，
于是，所以（因为人数是整数），
将代入①，②可知，，
再由③有．
答：甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人．
23．甲的速度为220米分，环形道路的长度为4000米．
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设甲的速度为米分，乙的速度为米分，环形道路的长度为米，利用路程速度时间，结合给定条件，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲的速度为米分，乙的速度为米分，环形道路的长度为米，
依题意得：，
解得：．
答：甲的速度为220米分，环形道路的长度为4000米．
24．(1)4，2
(2)45元
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
（1）用整体的思想求解即可；
（2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解．
【详解】（1），
得：，
得：，
∴，
故答案为：4，2；
（2）购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元，
由题意得：，
得：，
∴．
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需45元．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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