姓名____________________ 准考证号____________________
2024年山西省初中学业水平考试
数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算的结果是（ ）
A．6 B．1 C． D．
2．下图是一个创意水杯，其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．中国高速磁悬浮列车亮相于2023年世界制造大会，该列车车头修长，与子弹头相似，时速可达，数据可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正确的是（ ）
A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”
B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短”
C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”
D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．反比例函数的图象过点，下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C落在半圆上，点A，B对应的读数分别为，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．或
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：__________．
12．标志（logo）代表的是一个企业或是产品的文化精髓，小明模仿Windows95的logo设计思路，自己设计了一个logo．他将图①中的正方形剪开得到图②，再将图②中右上角的正方形剪开得到图③，继续将图③中右上角的正方形剪开得到图④，……；如此下去．他用正方形代表窗口，一直按照这样的规律剪下去代表窗口可以根据需要一直增加．按照小明的设计思路，图中共有__________个正方形．
13．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，平分別以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若，则__________．
14．全国各地文旅集团为了带火本地经济，都推出了极具本地特色的文旅项目，比如：A．哈尔滨冰雪游，B．山东乡村文化游，C．承德冰雪温泉游，D．云南纯玩游，等等．某公司为了奖励员工，决定从上面四个旅游项目中选择两个旅游点，则选出的结果恰好是A和D的概率是__________．
A．哈尔滨冰雪游 B．山东乡村文化游
C．承德冰雪温泉游 D．云南纯玩游
15．如图，在中，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，将沿DE折叠得到，DF交AB于点G．若，，则__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：；
（2）计筫：．
17．（本题7分）解方程：．
18．（本题9分）所谓“开门杀”，就是在马路上突然打开汽车车门，致使行人或车辆经过时来不及反应，发生碰撞，对于“开门杀”行为，即使有交通安全规则约束，有驾驶员培训要求，可现实中“开门杀”却屡“刹”不止，究其原因，是很多人并没有意识到这类交通事故的严重后果．为了改善这种现象，某市专门针对在校中学生开展了交通安全专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分中学生，就“打开汽车车门前是否观察车后情况”进行问卷调查，并将收集到的数据绘制成统计图表．
打开汽车车门前是否观察车后情况（只能单选）
A．每次 B．经常 C．偶尔 D．从不
活动前的数据统计表
类别 人数
A 68
B a
C 510
D 177
合计 1000
（1）“活动前的数据统计表”中，B类别对应的人数a被不小心污损，请计算a的值；
（2）①为了更直观地反映A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是__________；（填“扇形统计图”“条形统计图”或“折线统计图”）
②宣传活动前，抽取的中学生中哪一类别的人数占比最大？求其在扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数；
（3）若该市有4万名中学生，请估计活动前，就“打开汽车车门前是否观察车后情况”，选择“D．从不”的总人数；
（4）根据此次宣传活动前后的统计数据，请你选择一个角度，写出一条此次宣传活动的效果．
19．（本题9分）小明在初中的学习中，笔换了一支又一支，这些笔见证了他的刻苦和努力．新的学期即将开始，小明准备去文具店购买A，B两种笔，若购买3支A种笔和2支B种笔共需34元，购买2支A种笔和5支B种笔共需41元．
（1）求购买一支A种笔、一支B种笔各需多少元；
（2）这学期小明计划购买这两种笔共20支（两种都要），要求购买A种笔和B种笔的总费用不超过140元，求小明最多可以购买多少支A种笔．
20．（本题8分）电脑是现在工作中的必备工具，与电脑相关的一些衍生产品也应运而生．某公司生产了一种可以在床上使用的电脑桌，下面图①至图④是该公司对这种电脑桌的介绍，图⑤是这种电脑桌调到五挡时的侧面示意图，通过图片信息介绍，小明得到电脑桌面可以调节的角度范围为，桌面宽，调节至0挡时，桌面距床面，连接杆DE与桌面的连接处点D到桌面点A的距离为，当调节到五挡时连接杆DE与水平面EB的夹角为，那么连接杆DE的长度为多少？
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
21．（本题7分）阅读与思考
物理现象中的一次函数
实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大．
例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？
解：设该物品浸入水中的深度为．
由题意，得．解得．
该物品浸入水中的深度为．
实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为．
（1）请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________；
（2）根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式；
（3）若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值．
22．（本题12分）综合与实践
项目背景：折纸几何学是现代几何学的一个分支，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究．数学课上老师给每位同学发了一张长为、宽为的矩形纸片，引导同学们探索矩形纸片中的几何问题，如图①，在矩形ABCD中，，，E为BC边上一点．
（1）实践探究一：如图①，沿AE折叠，使点B的对应点落在矩形内部的点G处，延长EG恰好经过点D，求BE的长；
（2）实践探究二：如图②，对折矩形ABCD，使点A与点B重合，点D与点C重合，得到折痕MN后展开；沿AE折叠，使点B的对应点落在MN上的点G处；延长EG交AD于点H，试判断的形状，并说明理由；
（3）实践探究三：如图③，当点E在BC边上运动时，沿AE折叠，使点B的对应点落在点G处；连接DG，取DG的中点P，连接CP，请直接写出CP的最小值：__________．
23．（本题13分）综合与探究
已知二次函数的图象经过的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接CP和BP，当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若N是x轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
数学参考答案及评分标准
一、选择题
1．D 2．B 3．D 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B
二、填空题
11． 12． 13．8
14． 15．
三、解答题
16．解：（1）．
（2）．
17．解：，．
去分母，得，去括号，得，
移项，得，合并同类项，得，
系数化为1，得．
检验，当时，，原方程的解为．
18．解：（1）．的值为245．
（2）①扇形统计图
②宣传活动前，抽取的中学生中选择“C．偶尔”的人数占比最大，
其在扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数为．
（3）（人）．
估计该市活动前选择“D．从不”的中学生有7080人．
（4）宣传活动前选择“D．从不”的百分比为，
而宣传活动后选择“D．从不”的百分比为，
开展宣传活动前后，选择“D．从不”的百分比从下降到，
因此开展的宣传活动有效果．（答案不唯一，合理即可）
19．解：（1）设A种笔一支x元，B种笔一支y元．
由题意，得解得
答：购买一支A种笔、一支B种笔分别需8元和5元．
（2）设小明购买A种笔a支，则购买B种笔支．
由题意，得，解得．
为正整数，的最大值为13．小明最多可以购买13支A种笔．
20．解：如图，过点D作于点H，则．
在中，，，．
在中，，，．
答：连接杆DE的长度约为．
21．（1）空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为．
（2）设此一次函数的解析式为．
当时，，，．．
（3）该食品盒完全浸入水中时，．
由（2）知，，，解得．
答：a的值为1.8．
22．解：（1）四边形ABCD是矩形，，．
由折叠可知，，，，
，．
在中，根据勾股定理，得．
，，，．
，．
（2）为等边三角形．
理由：由折叠可知，，，．
又，，，．
由折叠可知，．
，垂直平分EH，，
，，，，．
为等边三角形．
（3）．
23．解：（1）二次函数的图象过点，．
二次函数的图象过点，，
解得
此二次函数的解析式为．
（2）如图，过点P作轴于点H，交BC于点F，过点C作于点Q．
设直线BC的解析式为．
，，解得
直线BC的解析式为．
设，则．
，，．
．
，当时，取得最大值．
把代入中，得．．
（3）存在．或或．
