（16）平面解析几何（B卷）
1.已知点F是抛物线的焦点，A是抛物线C上的一点，若，，则点A的纵坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.吹奏乐器“埙”（如图）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线G如图所示，曲线G交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点C，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
6.伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
7.已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线过点F，且与C在第一象限的交点为A，若，则p=( )
A.2 B.4 C.8 D.12
8.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过点的直线交E于A，B两点，直线AF，BF分别交E于C，D，则( )
A.的准线方程为 B.
C.的最小值为4 D.的最小值为
9.（多选）下列四个命题中，假命题的是( )
A.要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点
B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点
C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
10.（多选）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A.C的虚轴长为 B.C的离心率为
C.的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于
11.（多选）椭圆的两个焦点分别为，，则下列说法正确的是( )
A.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
B.若C上存在点P，使得，则m的取值范围为
C.若直线与C恒有公共点，则m的取值范围为
D.若，P为C上一点，，则的最小值为
12.（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点A在椭圆上，直线，则( )
A.直线l与蒙日圆相切
B.椭圆C的蒙日圆方程为
C.若点P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆C的两条切线，，分别交蒙日圆于M，N两点，则的长恒为4
D.记点A到直线l的距离为d，则的最小值为
13.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线l与C交于A，B两点.若的面积是面积的2倍，则C的离心率为______.
14.已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为__________________.
15.若曲线是双曲线，则其焦距为_____________.
16.已知抛物线，经过焦点F斜率为的直线交抛物线于A，B两点，线段的垂直平分线交y轴于点C，则的值为______________.
17.已知O为坐标原点，过点的动直线l与抛物线相交于A，B两点.
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点P的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
18.已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的右顶点为A，，过坐标原点的直线l与C交于E，F两点，与直线AB交于点M，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的5倍，求直线l的斜率．
19.已知抛物线C：，准线l与x轴交于点M，为抛物线C上一点，交y轴于点D.当时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线AM与抛物线C的另一交点为B（点B在点A，M之间），过点F且垂直于x轴的直线交AM于点N.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20.已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率为2，点B为，直线与圆相切.
（1）求双曲线E方程；
（2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点，
①若，求的面积取值范围：
②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设点A的坐标为，由题意，得，所以，
根据抛物线的定义，知，所以，代入抛物线方程得，，
则，故选：C.
2.答案：B
解析：因为直线，可得，
由，解得，，所以直线恒过点，
可得点在圆内部，
又由圆，可得圆心，半径为，
当直线l过圆心时，截得弦长最长，此时，
当直线l与垂直时，此时弦长最短，又由，
可得，所以弦长的取值范围是.故选：B.
3.答案：D
解析：由点在半圆上，所以，，，
要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时，M到直线AG的距离最大，此时，即，
又，，，，
所以半椭圆的方程为故选：D
4.答案：D
解析：设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则，
故选：D
5.答案：A
解析：因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为，又点在双曲线上，
所以，解得，则双曲线方程为，故选：B.
6.答案：C
解析：依题意，双曲线的离心率为，
则，解得，
所以双曲线方程为，
则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图，
根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即，
又点P为双曲线上支上动点，则，
过点P作，垂足为Q，过点作，垂足为M，
则，
所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5.故选：C.
7.答案：B
解析：过点A作x轴的垂线，垂足为H，
因为直线AF的斜率为，所以，
则，，
所以，点A坐标为，代入得，
整理得，解得或（舍去）.
故选：B
8.答案：ABD
解析：对于A.由题意，所以E的准线方程为，故A正确；
对于B.设，设直线，与抛物线联立可得
，，，，
所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，设直线，与抛物线联立可得，，，
同理，，
由，
当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.
9.答案：CD
解析：A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；
B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；
C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；
D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确．故选：CD．
10.答案：AD
解析：双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，
对于A，C的虚轴长，A正确；
对于B，C的离心率，B错误；
对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；
对于D，直线的斜率为，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于，D正确.故选：AD
11.答案：BD
解析：对于A，由椭圆定义可得的周长为，但焦点不一定在x轴上，故A错误；
对于B，若，则，当P位于短轴顶点时，最大，此时，即.当时，由，解得；当时，由，解得，故B正确；
对于C，直线过定点，所以，即，又，所以m的取值范围为，故C错误；
对于D，设，所以，当时，，故D正确.故选BD.
12.答案：AC
解析：当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
又由题意可得，，结合解得，，
对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为，
所以，直线l与蒙日圆相切，故A正确；
对于B选项，C的蒙日圆的方程为，故B错误；
对于C选项，由题意可知，，所以为蒙日圆的直径，，故C正确；
对于D选项，由椭圆的定义可得，，所以，，
直线l的方程为，点到直线l的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故D错误；故选：AC.
13.答案：
解析：如图，由的面积是面积的2倍，可得，
不妨设，，，则，.
在中，，由，
得，整理得①.
在中，，由，
得，整理得②，
①+②得，将该式代入②，整理得，即，故C的离心率为，故答案为：
14.答案：
解析：设关于直线的对称点为，则，解得，故.要使的值最大，则P，A，（其中为B关于直线的对称点）三点共线，且该直线过C，两点，如图，其最大值为.
15.答案：
解析：表示双曲线，则，
，，因此，，，，故答案为：.
16.答案：2
解析：抛物线的焦点F的坐标为，故.
设，，的中点为M，
则由可得，，
又，
所以，
又，所以，
故的中垂线的方程为：，
令，则，故，所以.故答案为：2.
17.答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，，，
由消去x并整理得，显然，于是，
所以.
（2）由（1）知，，
假定存在不同于点P的定点Q，使得恒成立，由抛物线对称性知，点Q在x轴上，设，
则直线，的斜率互为相反数，即，即，
整理得，即，亦即，而t不恒为0，则，
所以存在不同于点P的定点Q，使得恒成立，点Q的坐标为.
18.答案：（1）；
（2）
解析：（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为，
所以，
又焦点到渐近线的距离为1，即，所以，
又，所以，，则双曲线C的方程为；
（2）由（1）可得，，
则直线AB的方程为，
设，，，，由题意可知，，
由的面积是面积的倍，可得，即，
所以，
由，消去y，可得，解得，
由，消去y，可得，解得，
由，可得，解得或（舍去），
当时，，，符合题意，所以直线l的斜率为.
19.答案：（1）C：；
（2）存在实数，使得成立.
解析：（1）因为当时，，所以四边形为平行四边形，
所以，即，所以，
将代入，得，
解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）如图，由题意，得.设直线的方程为，，则.
由，得，，
所以，.
假设存在实数，使得，即.
由题意，知，，
所以.
又，，
所以，
即存在实数，使得成立.
20.答案：（1）
（2）①；②不存在，理由见解析
解析：（1），圆：，因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离为，
即，即，又，且，
所以，，，所以双曲线E的标准方程为；
（2）①设直线l的方程为，
代入，得，
设，，所以，，
则，
因为，所以，所以
即，所以，
令，所以，
又因为在上递减，所以：
②假设存在P，Q两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为，
联立，得，
所以，
由题，设MN的中点为，
，
所以PQ的直线方程：，
所以，，因为Q在双曲线上，
所以，即，
令，即，即，
即，所以，即，与题意不符，
因此不存在P、Q两点，使得四边形PMQN为菱形.（15）平面解析几何（A卷）
1.过点且平行于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.的最小值为( )
A. B.5 C. D.6
3.椭圆上的点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆，，，若圆C上存在点P使得，则r的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设为优美椭圆，F、A分别为它的左焦点和右顶点，B是短轴的一个端点，则等于( )
A. B. C. D.
7.等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2 C.4 D.
8.已知抛物线的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为M，N，若和的面积分别为8和4，则的面积为( )
A.32 B.16 C. D.8
9.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程为，双曲线上一点P满足，下列说法正确的是( )
A.双曲线的实轴长为8B.双曲线的离心率为
C.的面积为D.的面积为
10.（多选）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，.A，B，两点都在C上，A，O，B三点共线，P（不与A，B重合）为上顶点，则( )
A.的最小值为4 B.为定值
C.存在点A，使得 D.
11.（多选）已知直线与圆，则( )
A.直线l必过定点
B.当时，l被圆C截得的弦长为
C.直线l与圆C可能相切
D.直线l与圆C不可能相离
12.（多选）已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则两条平行直线之间的距离为
C.若，则
D.若，则直线，一定相交
13.若两条直线，与圆的四个交点能构成矩形，则________.
14.求过点且与圆相切的直线方程为______.
15.设，是椭圆的左，右焦点，O为坐标原点，M为C上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为______.
16.若曲线和曲线有三个不同的交点，则的取值范围是________.
17.已知：双曲线.
（1）求双曲线C的焦点坐标，顶点坐标，离心率；
（2）若一条双曲线与已知双曲线C有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程.
18.设抛物线的焦点为F，已知点F到圆上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线C的方程.
（2）设O是坐标原点，点，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线，与y轴分别相交于M，N两点（异于点O），且O是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19.已知圆C的方程为．
（1）求过点且与圆C相切的直线方程；
（2）若直线与圆C相交于A，B，求弦长的值．
20.已知和为椭圆上两点.
（1）求C的率心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为9，求l的方程.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设与直线平行的直线是，代入点得，得，所以直线方程是.故选：A.
2.答案：B
解析：设，，，易知点P的轨迹是抛物线的上半部分.
.因为F为抛物线的焦点，
所以等于P到抛物线的准线的距离，所以的最小值等于A到准线的距离，所以的最小值为5.
3.答案：A
解析：由，则椭圆上的点为，，
由点到直线的距离公式可得，（其中），所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：A.
4.答案：B
解析：变形为，
圆心为，半径为4，
过定点，当CD与AB垂直时，最小，
由垂径定理得，最小值为.故选：B
5.答案：B
解析：如图，由可知点P的轨迹是以为直径的圆，设为圆M，
因，，故圆.
依题意知圆M与圆C必至少有一个公共点.
因，，则，
由，解得：.
故选：B.
6.答案：A
解析：，，在椭圆中，，，，，，，，.故选A.
7.答案：A
解析：因为该曲线为等轴双曲线，
不妨设该双曲线的方程为，
因为等轴双曲线经过点，所以，
解得，
则，所以该双曲线的一个焦点坐标为，易知该双曲线的一条渐近线方程为，则点到直线的距离.故选：A.
8.答案：C
解析：设直线，
代入抛物线方程，消元可得，
设，，则，，
，
，
，
于是，即，
.故选：C.
9.答案：AD
解析：由题意得，，可求得a=4，b=1，所以双曲线的标准方程为，实轴长为8，A正确；
离心率，B错误；
设，，中，由余弦定理得又，故，故，C错误，D正确，故选：AD.
10.答案：BCD
解析：对于A，由椭圆的方程可知，，，
所以焦点，，设，则，，
因为在椭圆上，所以，
，
即，A错误；
对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确；
对于C，因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A，
使得，故C正确；
对于D，设，则，，
则，
故D正确.
故选：BCD.
11.答案：ABD
解析：，联立得所以直线过点（-2，2）.故A正确.当时，，圆心（0，2）到直线l的距离，弦长为，故B正确.直线所过定点（-2，2）在圆上，过点（-2，2）与圆C相切的直线是，但直线，表示斜率存在的直线，表示不了直线，故不存在直线与圆C相切，故C错误.直线所过定点（-2，2）在圆上，所以直线l与圆C总有公共点，不可能相离，故D正确.
12.答案：ACD
解析：对于A，两条直线，的方程分别为与，
当，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，所以平行线间的距离，故B错误；
对于C，当，则，解得，故C正确；
对于D，由选项A得：当，则直线，一定相交，故D正确，
故选：ACD.
13.答案：8
解析：由题意直线，平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：，
圆心到的距离为：，
所以，
由题意，
所以，
故答案为：8.
14.答案：或
解析：当直线的斜率存在时，可设直线方程为，即，
由题意得，解得，此时直线方程为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为
此时圆心到直线的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
故答案为：或.
15.答案：
解析：椭圆的半焦距为c，O为的中点，
，显然，于是，
因此，即，解得，，，即，
所以椭圆C的长轴长为.
故答案为：
16.答案：
解析：由题意可得，当时，，
当时，，渐近线方程为，如图所示，
由可得
，
解得，又过，
结合图象可得实数k的取值范围是.
故答案为：
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）双曲线，所以，，，
双曲线C的焦点坐标，，顶点坐标，，离心率.
（2）设所求双曲线的方程为：，
将代入上式得：，解得：
所求双曲线的方程为：.
18.答案：（1）
（2）过定点，定点坐标为
解析：（1）点F到圆E上点的最大距离为，即，得，
故抛物线C的方程为.
（2）设，，则方程为，方程为，
联立与抛物线C的方程可得，即，
因此A点纵坐标为，代入抛物线方程可得A点横坐标为，
则A点坐标为，同理可得B点坐标为，
因此直线的斜率为，
代入B点坐标可以得到方程为，
整理可以得到，因此经过定点.
19.答案：（1）或；
（2）.
解析：（1）圆的标准方程为，圆心为，半径，
①当直线斜率不存在时，由过点得直线方程为，与的距离为2，与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为，即，
圆心到直线的距离，解得．
直线方程为．
综上，所求直线方程为或．
（2）圆心到直线与的距离，
又半径，弦长．
20.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）将、代入椭圆，则
，.
（2）①当L的斜率不存在时，，，，A到PB距离，
此时不满足条件.
②当L的斜率存在时，设，令、，
，消y可得
，.
