（7）平面向量（A卷）
1.已知向量，，，若B，C，D三点共线，则( )
A.-16 B.16 C. D.
2.设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不共线的向量，且，，，则( )
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
4.已知向量，，若，则m的值为( )
A.－1 B.1 C. D.
5.已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，，O是的外心，M为的中点，，N是直线上异于M、O的任意一点，则( )
A.3 B.6 C.7 D.9
7.已知向量，.若，则( )
A. B. C. D.
8.在矩形ABCD中，，，圆M为矩形内恒与AB，BC相切的动圆，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则( )
A. B.
C. D.
10.（多选）设，都是非零向量，则下列命题中正确的是( )
A.若，的夹角为钝角，则
B.若，则
C.若，则，的夹角为锐角
D.若，则与同向
11.（多选）已知平面直角坐标系中四点，，，，为坐标原点，则下列叙述正确的是( )
A.
B.若，则
C.当时，A，B，D三点共线
D.若与的夹角为锐角，则
12.（多选）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若.则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
13.已知向量，满足，且，，则与的夹角为_________.
14.在中，已知向量与满足，且，则角__________.
15.已知平面向量，，，满足：，，若，则的最小值为_________.
16.向量在向量上的投影向量为___________．
17.已知向量，，
(1)求；
(2)求满足的实数m，n的值；
(3)若，求实数k的值.
18.已知向量，，设.
（1），求当取最小值时实数t的值；
（2）若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为 若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.
19.设向量，满足，且.
（1）求向量与的夹角；
（2）求的大小
20.如图，在中，已知P为线段上一点，.
（1）若，求实数x，y的值；
（2）若，，，且与的夹角为，求的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意得，，因为B，C，D三点共线，所以，则，得.故选：A.
2.答案：D
解析：根据相等向量的概念可得，即A错误；
由向量的三角形法则可得，即B错误；
易知，所以可得，即C错误；
由向量的减法法则可得，所以D正确；故选：D
3.答案：A
解析：，故，则，又因为两向量有公共点B，故A，B，D三点共线.故选：A.
4.答案：D
解析：因为，所以，解得：.故选：D
5.答案：B
解析：由知：，可得，所以在方向上的投影向量为.故选：B.
6.答案：B
解析：因为O是的外心，M为的中点，设的中点为D，连接，
所以，，设，
则
，
又O是的外心，所以
，
所以.故选：B.
7.答案：D
解析：因为，，所以，，
由可得，，即，整理得：．故选：D．
8.答案：D
解析：建立以B为原点，为正交基底平面直角坐标系，设，，，，，
，，，，
所以，
又，所以其最小值在时取得，即为.故选：D.
9.答案：ABD
解析：因为，且E，F分别为BC，CD的中点，所以，A正确；易知，.所以，B正确；又，，所以，C错误；，D正确.
故选ABD.
10.答案：AB
解析：对A，，的夹角为钝角，则，所以，
对，对，当时，以，为邻边的平行四边形是矩形，所以，B对.
对，当，同向时，有，所以错.对D，，，所以与反向，错.故选
11.答案：AB
解析：对于A选项，，A对；
对于B选项，，，由题意可得，B对；
对于C选项，当时，，
而，显然与不是共线向量，此时，A，B，D三点不共线，C错；
对于D选项，，，
由已知且，不共线，则，解得且，D错.故选：AB.
12.答案：ACD
解析：由，得，
，即，
得，又，故，
∴，即所以A正确；
，所以B错误；
，所以C正确；
由，可知
得解得：，，故，所以D正确．故选：ACD.
13.答案：/
解析：由，得，解得，
设与的夹角为，则，
因为，所以.所以与的夹角为.故答案为：.
14.答案：/
解析：设角A的平分线交于D，因为，故，即，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
设，（如图所示），，因为，
故四边形为正方形，所以为角A的平分线，故G在上.
因为，故，故.综上，为等腰直角三角形且，所以.故答案为：.
15.答案：2
解析：由于，
且，
故有
，
所以，记，则有，从而或，即或.
总之有，故，即.
存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2.
故答案为：2.
16.答案：
解析：向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
17.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）.
（2）由，得，解得.
（3），，
因为，所以，解得.
18.答案：（1）时
（2）或
解析：（1）当时，，
所以
所以，所以当时
（2）依题意，
若，则，又，，
所以，
又因为，
所以，，
，
则有，且，整理得，解得或，所以存在或满足条件.
19.答案：（1）；
（2）
解析：（1）设与的夹角为，
，则，
将代入得，，故；
（2）
将代入得，故.
20.答案：（1），
（2）
解析：（1）由得：，
，，，.
（2）由得：，，
又，，且与的夹角为，
则
，
所以.（8）平面向量（B卷）
1.如图，在中，E是AC的中点，F是线段BC上的一点，且，若，其中m，，则的值为( )
A.1 B. C. D.
2.中，D为中点，，交于P点，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，则向量与共线时，实数( )
A. B. C. D.
4.对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
5.如图，在中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
6.已知向量，将向量绕原点O逆时针旋转得到向量，将向量绕原点O顺时针旋转得到向量，则下列选项错误的是( )
A. B.
C. D.
7.已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
8.在矩形中，，，E为线段的中点，F为线段上靠近C的四等分点，则的值为( )
A.4 B.8 C. D.5
9.（多选）已知向量，，若在上的投影向量为，则( )
A. B.
C. D.与的夹角为
10.（多选）已知向量，，，若为锐角，则实数m的值可能是( )
A.-1 B.0 C. D.1
11.（多选）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点P在上（含端点），连结交扇形的弧于点Q，且，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C. D.
12.（多选）是边长为1的等边三角形，已知向量，，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.若，则
13.已知，，，则______.
14.已知正六边形ABCDEF的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________.
15.在平行四边形ABCD中，，，，，线段AE与BF相交于点G，则____________.
16.如图，已知正方形的边长为3，且，连接交于F，则________________.
17.已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求k的值.
18.已知矩形中，，，E为中点，P为边上的动点（不包括端点）.
（1）求的最小值；
（2）设线段与的交点为G，求的最小值.
19.已知，.
（1）若，，且A，B，C三点共线，求m的值.
（2）当实数k为何值时，与垂直？
20.设平面内三点，，.
（1）求；
（2）设向量与的夹角为，求.
答案以及解析
1.答案：C
解析：在平行四边形中，，，
因为E是AC中点，，，
，，，
，，
，解得，.故选C.
2.答案：C
解析：因为D为BC中点，所以，因为，所以，
因为B，P，E三点共线，所以设，即，整理得：，
令，，则，则，其中，
因为，所以，故，
因为，所以，，又，解得：
3.答案：B
解析：由向量，不共线，得向量，
由向量与共线，得，，
于是，所以.故选：B.
4.答案：B
解析： 如图，过点M作，交直线，于点P，Q，
则，.
设，.则.
，.由图可知，当与半圆相切时，k最大，易求得，
即k最大为.的最大值为.故选：B.
5.答案：A
解析：因为G是AD的中点，且，，
所以.
因M，G，N三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.故选：A.
6.答案：A
解析：已知向量，将向量绕原点O逆时针旋转得到向量，则，将向量绕原点O顺时针旋转得到向量，则，
对于A选项，所以，故A错误；
对于B选项，，
，
所以，，，
所以，，故B正确；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，
则，故D正确，
故选A.
7.答案：B
解析：因为向量在向量上的投影向量为，，是两个单位向量，
所以，所以，又，所以，
所以，
又，，所以，又，所以向量与向量的夹角为，即.故选：B.
8.答案：B
解析：依题意，以点A为原点，直线，分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以.故选：B.
9.答案：ACD
解析：对于A，因为在上的投影向量为，即，
所以，即，解得，故A正确；
对于B，，，所以，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ACD.
10.答案：BD
解析：由题意得，.
因为为锐角，所以，解得.
当时，，解得.
故当为锐角时，实数m的取值范围是.
结合选项知，实数m的值可能是0，1.故选BD.
11.答案：ABD
解析：如图，作，
分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，设，则，由，可得，且，若，则，解得，（负值舍去），
故，A正确；若，则，，所以，
所以，故B正确；
，由于，故，故，故C错误；
由于，，故，
而，所以，
所以，故D正确，故选：ABD.
12.答案：AC
解析：A.，，A正确，
B.，B错误，
C.，，C正确，
D.，C正确，设，，，D错误故选：AC.
13.答案：
解析：因为，，所以，，由，得，得.故答案为：.
14.答案：
解析：如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点，以EC为x轴，过点O作EC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，，设点，
则，，，
故
，
故当，，即P点坐标为时，
取到最小值为，故答案为：
15.答案：
解析：如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，
过C作轴于M点，由题意可得，，，
，，则，，，，，
得，，
所以.故答案为：.
16.答案：
解析：以为坐标原点，为轴正方向，为y轴正方向，建立直角坐标系，则，，
设，可得，，
因为，则，可得，
即，解得，即E的坐标为，
设，则，，
由可得，解得，
则，，可得，
所以.故答案为：.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）由得，，.
（2）由已知，
又，，解得.
18.答案：（1）0；
（2）
解析：（1）设，如图建立直角坐标系：
，，，，
，
当时，有最小值，最小值为0；
（2）由图可得：
则
，，
，
当且仅当即时取等号，
的最小值为.
19.答案：（1）；
（2）.
解析：（1）因为，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，
所以，
所以，解得.
（2）因为，，
又与垂直，
，解得.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意，三点，，得：，，
则，故；
（2）根据题意，，，
则，，故.
