（3）函数与导数（A卷）
1.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
2.若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
5.下列各组中的两个函数，表示同一个函数的是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
6.已知函数的定义域为R，，若函数为奇函数，为偶函数，且，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是( )
A.函数的两个零点可以分别在区间和内
B.函数的两个零点可以分别在区间和内
C.函数的两个零点可以分别在区间和内
D.函数的两个零点不可能同时在区间内
10.下列函数是奇函数的是( )
A. B.
C.， D.
11.已知函数，则( )
A.的最小值为2 B.，
C. D.
12.已知函数，的定义域均为R，的图象关于点对称，，，则( )
A.为偶函数 B.为偶函数 C. D.
13.已知奇函数的定义域为R，，且，则在上的零点个数的最小值为___________.
14.有下列说法：
①若函数的定义域是，则它的值域是.
②若函数的定义域是，则它的值域是.
③若函数的值域是，则它的定义域一定是.
其中不正确的说法有__________.(填序号)
15.已知函数的图象经过定点，若k为正整数，那么使得不等式在区间上有解的k的最大值是_______________.
16.已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数___________．
17.已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数的最小值为-2，求实数a的值.
18.已知幂函数，
（1）求m的值；
（2）若_________写出函数的单调区间（不需证明单调性），并利用的单调性解不等式．
①函数为奇函数；
②函数为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．
19.已知函数，.
（1）当，时，求函数的值域；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
20.已知函数，函数.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）求函数值域.
答案以及解析
1.答案：A
解析：有意义，，即，所以函数的定义域是，
故选：A.
2.答案：C
解析：的图象开口向上，对称轴为直线，.
令，解得，，.故选C.
3.答案：A
解析：对于B，当时，，易知，，
则，不满足图象，故B错误；
对于C，，定义域为，
又，则的图象关于y轴对称，故C错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.
4.答案：B
解析：在R上↗，，，选B.
5.答案：B
解析：A选项：定义域为，的定义域为R，故A选项错误；
B选项：与的定义域均为，且，故B选项正确；
C选项：与的定义域均为R，但，故C选项错误；
D选项：的定义域为，的定义域为R，故D选项错误；故选：B.
6.答案：B
解析：为奇函数，，为偶函数，，即，即，为周期函数，且一个周期为4.，，，，，，，，故选B.
7.答案：B
解析：，，
当时，，在R上是增函数，
故存在唯一的零点，符合题意；
当时，当或时，；当时，，
在上是增函数，上是减函数，在上是增函数，
当x趋向于负无穷时，由于的变化幅度远大于的变化幅度，故趋向于负无穷，
而且，存在唯一的零点，符合题意；
当时，在上是增函数，上是减函数，在上是增函数；当x趋向于负无穷时，趋向于负无穷，而且，在有一个零点，
故结合题意只需使，解得，；
综上所述，实数a的取值范围是，故选：B.
8.答案：B
解析：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以.
故选：B.
9.答案：ABD
解析：对于A，由，，可令，，，如图1所示：
得函数的两个零点分别在区间和内，A正确；
对于B，由，，可令，，，如图2所示：
得函数的两个零点分别在区间和内，B正确；
对于C，若函数的两个零点分别在区间和内，且，则，，所以，不满足题意，C错误；
对于D，如果函数的两个零点都在区间内，如图3所示：
则，，，这与矛盾，
所以函数的两个零点不可能同时在区间内，D正确.故选ABD.
10.答案：BD
解析：对于A选项，定义域为R，关于原点对称，，为偶函数，不满足题意.
对于B选项，定义域为，关于原点对称，当时，，
当时，，故为奇函数，满足题意.
对于C选项，定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不满足题意.
对于D选项，，定义域为R，关于原点对称，
且，故为奇函数，满足题意.故选：BD
11.答案：AC
解析：，在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
，函数关于对称，
对选项A：的最小值为，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，故，，正确；
对选项D：，故，错误.故选：AC.
12.答案：ACD
解析：令，则，注意到不恒为0，
故，故A正确；
因为的图象关于点对称，所以，
令，得，
故，故B错误；
令，得，
令，得，故，
从而，故，
令，得，化简得，故C正确；
令，得，而，故D正确.故选：ACD.
13.答案：9
解析：由，可得的图象关于点对称，又是奇函数，所以，则的周期为3，所以，，，则.
故在上的零点个数的最小值为9.取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点.
14.答案：①②③
解析：①不正确.由得，值域是.
②不正确.由得，值域是.
③不正确.由得，所以若函数的值域是，
则它的定义域是.
15.答案：1
解析：由已知可得，则，解得，故，
由得，
因为，则，可得，
令，，则函数在上单调递减，
所以，，.
因此，正整数k的最大值为1.故答案为：1.
16.答案：2
解析：因为是幂函数，
所以，即，
解得或，
当时，为奇函数，不满足题意；
当时，的图象关于y轴对称，满足题意.
所以，.故答案为：2.
17.答案：（1）偶函数
（2）
解析：（1）要使函数有意义，则有
解得.
因为，
所以是偶函数.
（2）由已知得，
因为，所以.
令，又，
所以在上为减函数，
所以，
所以，所以（舍去）.
故实数a的值为.
18.答案：（1）或
（2）答案见解析
解析：（1）因为为幂函数，
所以，解得或.
（2）选①，若函数为奇函数，则，即函数，
此时函数单调递增区间为，
所以，解得，
即不等式的解集为．
选②，若函数为偶函数，则，即函数，
此时函数单调递减区间为，单调递增区间为，
由偶函数性质可知，
由单调性可知，即，解得，
即不等式的解集为．
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，令，由，得，
则，
当时，；当时，.
函数的值域为.
（2）令，则当时，，
在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，
，当且仅当，即时等号成立.
，
，
即实数a的取值范围是.
20.答案：（1）
（2）在区间上单调递增，证明见解析
（3）
解析：（1）令，则，
，
，即，
.
（2）函数在区间上单调递增.
证明：任取，
则，
又，，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（3）当时，，
当且仅当时，等号成立.
当时，，
当且仅当时，等号成立.
的值域为.（4）函数与导数（B卷）
1.如图，函数的图象在点处的切线是l，则( )
A. B. C.2 D.1
2.设函数的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
4.已知a，b，c，d分别满足下列关系：，，，，则a，b，c，d的大小关系为( )
A. B.
C. D.
5.已知是函数导数，且，，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知0是函数的极大值点，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知函数，则( )
A.函数在区间上单调递减
B.函数在区间上的最大值为1
C.函数在点处的切线方程为
D.若关于x的方程在区间上有两解，则
10.（多选）下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.（多选）已知，，则( )
A.函数在上的最大值为3 B.，
C.函数在上没有零点 D.函数的极值点有2个
12.（多选）设函数，则( ).
A.是的极小值点 B.当时，
C.当时， D.当时，
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.
14.已知是函数的导函数，若，则______．
15.若函数在区间上单调递减，则k的取值范围是__________.
16.若函数存在唯一极值点，则实数m的取值范围是_______________.
17.已知函数，.
（1）求的单调区间及最值
（2）令，若在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.
18.已如曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求a的值；
（2）若恒成立，求b的取值范围.
19.已知函数，在点处的切线斜率为1.
（1）求实数的值并求函数的极值；
（2）若，证明：.
20.已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当，探究在上的极值点个数.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题可得函数的图象在点P处的切线与x轴交于点，与y轴交于点，则切线，即.所以，，，.故选：D.
2.答案：B
解析：函数，由，得，则点，
由，求导得，则，于是，
所以该曲线在点P处的切线方程为.故选：B.
3.答案：A
解析：因为，所以，
所以，故，所以，所以，故选：A.
4.答案：B
解析：因为，，，，，，所以即，，所以，故有.故选：B.
5.答案：D
解析：设，因为，所以，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的增函数，因此由.故选：D.
6.答案：A
解析：，令，可得或.因为0是函数的极大值点，所以，解得.故a的取值范围为.
7.答案：C
解析：设容器的高为x，则容器底面正三角形的边长为，
则三棱柱形容器容积，
求导得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，.故选：C.
8.答案：A
解析：函数的定义域为，，
函数在上恰有2个极值点，即在上恰有2个变号零点，令，则，由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，
要使得在上恰有2个变号零点，
需与函数的图象在上恰有2个交点，故，即a得取值范围为，故选：A
9.答案：AC
解析：因为，，所以，
令，即；令，即，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，所以函数在点处的切线方程为，即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，则，故D错误.故选：AC.
10.答案：BC
解析：，，，
，故AD错误，BC正确.故选：BC.
11.答案：AC
解析：对A，B，因为，.
所以，.
设，，则，因为，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，
且，，
所以，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
，因为，
所以，
因为，所以.故A正确，B错误；
对D，又，.
所以，.
设，则，，所以在恒成立.
所以在上单调递增，
所以至多一个解，故D错误；
对C，又因为，，
所以只有一解，在区间内.
所以在上单调递增，且，
所以在上无零点.故C正确.故选：AC.
12.答案：ACD
解析：A对，因为；
B错，因为当时且，所以；
C对，因为，，，时，，，D对.
13.答案：
解析：由，得，因为切点为，所以，从而.设与曲线相切于点，由，得，得.因为是与曲线的公共点，所以消去，解得.
14.答案：
解析：因为，所以，令，则，解得：.所以，所以.故答案为：.
15.答案：
解析：函数，求导得，由在上单调递减，
得，，即，令，，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
则，解得，所以k的取值范围是.故答案为：.
16.答案：
解析：，，则，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，
所以由可得，则有唯一的根，
直线与函数的图象有一个交点（非切点），
又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，当时，，
则函数得图象如下图所示：
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），因此，实数m的取值范围是.故答案为：.
17.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为，无最小值
（2）
解析：的定义域为，
，
令，解得，即的单调递增区间为；
令，解得，即的单调递减区间为.
故，无最小值；
（2）因为，
所以，
令，则，
令，得；令，得；又，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，.
若在上存在极值点，则或，
解得或，
所以实数a的取值范围为.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）由于的斜率为，所以，
又，故，解得.
（2）由（1）知，所以，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故b的取值范围为.
19.答案：（1），的极小值为，无极大值
（2）证明见解析
解析：（1）由已知，，
因为函数，在点处的切线斜率为1，
所以，，
则，定义域为，
，令，解得，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
在时取得极小值，无极大值.
（2）由已知，令，
则，即，，即，
两式相减可得，，两式相加可得，，
消去m，得，即，
由于，
因此只需证明即可，
而，
不妨设，，则由可知，
，
令，，
，令，则，
在上递减，故，
在上递增，，
则原命题得证.
20.答案：（1）时，在上单调递增.理由见解析
（2）当时，在上的极值点个数为0；当时，在上的极值点个数为1
解析：（1）时，，，，，所以在上单调递增.
（2）由，得，
依题意，只要探究在上的变号零点个数即可，
令，，则，
①当，即时，，此时在上恒成立，
则即单调递增，，在上无零点，
在上的极值点个数为0.
②当，即时，
，使得，即，
当，；当，，
所以即在上单调递增，在上单调递减，
由于，，
若，即时，在上无零点，在上的极值点个数为0.
若，即时，在上有1个变号零点，在上的极值点个数为1.
综上所述，当时，在上的极值点个数为0；
当时，在上的极值点个数为1.
