江苏省无锡市2024年初中学业水平考试终极模拟试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数是
A． B． C． D．3
2．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是
A． B． C． D．
3．为进一步推动书香校园建设，不断提升学生的人文素养，营造“以书育人”的良好氛围，育才中学举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：
人数 6 7 10 7
课外书数量（本） 6 7 9 12
请根据这30名同学阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是
A．样本为30名同学 B．众数是12本
C．中位数是9本 D．平均数是8.5本
4．分式方程的解为
A． B． C． D．
5．若一个圆锥的底面半径为1cm，圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B．4πcm2 C．16πcm2 D．14πcm2
6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．正方形 D．正五边形
7．如图，是的直径，是弦，延长交的延长线于点，连接，若，，则的度数是
A． B． C． D．
8．菱形具有而矩形不具有的性质是
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
9．已知二次函数的图象经过点，，，，，下列结论：①；②；③关于的方程的解为，；④对于任意实数，总有．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．②③ C．③④ D．③
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．的立方根是 ．
12．分解因式： ．
13．写出一个同时经过第一象限和第四象限的函数的解析式 ．
14．已知一元二次方程的两根为，，则的值为 ．
15．长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是 ．
16．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，平分，若则菱形的面积为的长为 ．
17．如图，在矩形中，，点为的中点，连接，交于点，过点作于点，若，则线段的长为 ．
18．如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与轴正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（9分）计算：
（1）；
（2）．
20．（9分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
21．（9分）如图，在四边形中，，，点为的中点，连接并延长，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
22．（9分）如图，在的正方形网格中，点、、、、、都是格点．
（1）从、、、四点中任意取一点，以这点及点、为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
（2）从、、、四点中任意取两点，以这两点及点、为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
23．（10分）新一轮巴以冲突持续六个多月，反对美国政府巴以政策的抗议活动在美国高校校园时有发生，哥伦比亚大学上百名学生18日被逮捕，引发全美更多学生反战抗议活动．众议长约翰逊24日前往哥伦比亚大学，在图书馆台阶上发表讲话．他给抗议学生贴上了“反犹”标签，认为他们是“暴民”、“激进分子”、“煽动者”．小希为了调查美国大学生对美国政府在“巴以冲突”中的政策的满意度，随机抽取了某大学部分大学生作问卷调查：用“”表示“非常不满意”，“ ”表示“不满意”，“ ”表示“可以接受”，“ ”表示“相当满意”，如图是小希根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 人；图（1）中的“”所对的圆心角是 ；
（2）将图（2）中“”部分的图形补充完整．
（3）如果该大学有学生2000人，请你估计该大学学生对政府在“巴以冲突”中的政策感到“不满意”和“非常不满意”的共约有多少人？
24．（10分）如图，在中，点是边上一点且满足，是的外接圆，过点作交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的半径．
25．（10分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高．
26．（10分）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度（千米时）是车流密度（辆千米）的函数，其图象近似的如图所示．
（1）求关于的函数表达式；
（2）求车流量和车流密度之间的函数表达式并求出车流量（辆时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
27．（10分）如图，在矩形中，，，点在上，连接、，相交于点，作，交于点，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
，且① ， ， ，即：， 又， ② ， ， ， 在矩形中，， ， ③ ，即度数不变．
【尝试应用】
（2）若，求的长；
【思维拓展】
（3）将绕着点顺时针旋转得到△，是否存在这样的，使得△有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
28．（10分）定义：当，为常数，时，函数最大值与最小值之差恰好为，我们称函数是在上的“雅正函数”，“ ”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）试判断下列函数是在上的“雅正函数”为 （填序号）
①；②；③．
【尝试应用】
（2）若一次函数，为常数，和反比例函数为常数，都是在上的“雅正函数”，求的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函数是在，为常数，上的“雅正函数”，雅正值是3．
①求、的值；
②若该二次函数图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为二次函数图象上一点，且点的横坐标为，点、点是线段上的两个动点（点在点的左侧），分别过点、点作轴的平行线交抛物线于点、点，如果，其中为常数．试探究：是否存在常数，使得为定值．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【参考公式：】
()
江苏省无锡市2024年初中学业水平考试终极模拟试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数是
A． B． C． D．3
【详解】解：，
的倒数是．
故本题选：．
2．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
且，解得：．
故本题选：．
3．为进一步推动书香校园建设，不断提升学生的人文素养，营造“以书育人”的良好氛围，育才中学举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：
人数 6 7 10 7
课外书数量（本） 6 7 9 12
请根据这30名同学阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是
A．样本为30名同学 B．众数是12本
C．中位数是9本 D．平均数是8.5本
【详解】解：．样本为本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，故不合题意；
．样本数据的众数为9，故不合题意；
．样本数据的中位数是，故符合题意；
．平均数为（本），故不合题意．
故本题选：．
4．分式方程的解为
A． B． C． D．
【详解】解：去分母得：，解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
故本题选：．
5．若一个圆锥的底面半径为1cm，圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B．4πcm2 C．16πcm2 D．14πcm2
【详解】解：圆锥的母线长＝＝4（cm），
这个圆锥的侧面积＝×4×2π×1＝4π（cm2）．
故本题选：B．
6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．正方形 D．正五边形
【详解】解：．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；
．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故本题选：．
7．如图，是的直径，是弦，延长交的延长线于点，连接，若，，则的度数是
A． B． C． D．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，，
，
，
，
．
故本题选：．
8．菱形具有而矩形不具有的性质是
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【详解】解：、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质；
、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质；
、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质；
、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质．
故本题选：．
9．已知二次函数的图象经过点，，，，，下列结论：①；②；③关于的方程的解为，；④对于任意实数，总有．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【详解】解：，
抛物线开口向上，
二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，故①不正确；
二次函数的图象经过点，
，
，
，故②正确；
令，则，
二次函数的图象经过点，
关于的方程的一个解为，
抛物线的对称轴为直线，
关于的方程的另一个解为，
方程的解为，，故③正确；
，
，
二次函数的解析式为：，
，，
当时，有最小值为，
对于任意实数，总有，故④不正确．
故本题选：．
10．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．②③ C．③④ D．③
【详解】解：①如图1，取的中点，连接，，
，四边形是正方形，
，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，故①不正确；
②如图2，将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；故②不正确；
③如图3，连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③正确；
④如图4，延长至，使，连接，取的中点，连接，，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
是的中点，
，
，，，四点共圆，
，
由②得：，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，故④正确．
故本题选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．的立方根是 ．
【详解】解：，
的立方根是．
故本题答案为：．
12．分解因式： ．
【详解】解：
．
故本题答案为：．
13．写出一个同时经过第一象限和第四象限的函数的解析式 ．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
函数图象经过第一象限和第四象限，
，，
函数解析式可以为．
故本题答案为：（答案不唯一）．
14．已知一元二次方程的两根为，，则的值为 ．
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
，，
．
故本题答案为：．
15．长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是 ．
【详解】解：由主视图可知：这个长方体的长和高分别为4和3，
由俯视图可知：这个长方体的长和宽分别为4和2，
这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，
这个长方体的体积为．
故本题答案为：24．
16．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，平分，若则菱形的面积为的长为 ．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，，，，
是等边三角形，
，
平分，
，
，
设，则，
，
，
，，
，解得：，（舍去），
．
故本题答案为：2．
17．如图，在矩形中，，点为的中点，连接，交于点，过点作于点，若，则线段的长为 ．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
18．如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与轴正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为 ．
【详解】解：如图，过点作轴于点，作交于点，
直线与轴平行，
，
当的值最大时，的值最大，最小，
即最大时，的值最大，的值最大，
设，
则，，，
，，
，
，
，即，
，
，
当时，取得最大值，
当的值最大时，．
故本题答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（9分）计算：
（1）；
（2）．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（9分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【详解】解：（1），
，
或，
解得：，；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
21．（9分）如图，在四边形中，，，点为的中点，连接并延长，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【详解】（1）证明：，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，
由（1）得：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
22．（9分）如图，在的正方形网格中，点、、、、、都是格点．
（1）从、、、四点中任意取一点，以这点及点、为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
（2）从、、、四点中任意取两点，以这两点及点、为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
【详解】解：（1）从、、、四个点中任意取一点，一共有4种可能，
且只有选取点时，所画三角形是等腰三角形，
（所画三角形是等腰三角形）；
（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
以点、、、为顶点及以、、、为顶点所画的四边形是平行四边形，
所画的四边形是平行四边形的概率．
23．（10分）新一轮巴以冲突持续六个多月，反对美国政府巴以政策的抗议活动在美国高校校园时有发生，哥伦比亚大学上百名学生18日被逮捕，引发全美更多学生反战抗议活动．众议长约翰逊24日前往哥伦比亚大学，在图书馆台阶上发表讲话．他给抗议学生贴上了“反犹”标签，认为他们是“暴民”、“激进分子”、“煽动者”．小希为了调查美国大学生对美国政府在“巴以冲突”中的政策的满意度，随机抽取了某大学部分大学生作问卷调查：用“”表示“非常不满意”，“ ”表示“不满意”，“ ”表示“可以接受”，“ ”表示“相当满意”，如图是小希根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 人；图（1）中的“”所对的圆心角是 ；
（2）将图（2）中“”部分的图形补充完整．
（3）如果该大学有学生2000人，请你估计该大学学生对政府在“巴以冲突”中的政策感到“不满意”和“非常不满意”的共约有多少人？
【详解】解：（1）（人），
，
故本题答案为：500，144；
（2）样本中“等级”的人数为（人），补全的统计图如下：
；
（3）（人），
答：该大学2000名学生中对政府在“巴以冲突”中的政策感到“不满意”和“非常不满意”的共约有1400人．
24．（10分）如图，在中，点是边上一点且满足，是的外接圆，过点作交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，
，
，
垂直平分，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：如图，连接，则，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
的半径长为．
25．（10分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高．
【详解】解：（1），
，
该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
，，
，
答：屋顶到横梁的距离为；
（2）如图，过点作于点，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，解得：，
，
答：房屋的高为．
26．（10分）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度（千米时）是车流密度（辆千米）的函数，其图象近似的如图所示．
（1）求关于的函数表达式；
（2）求车流量和车流密度之间的函数表达式并求出车流量（辆时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
【详解】解：（1）由图象可知：当时，，
当时，设该段一次函数表达式是，
将两点坐标，分别代入得：，解得：，
关于的一次函数表达式是，
；
（2）由题意可得：当时，，不合题意，
当时，，
当时，车流量有最大值4418辆时；
（3）由题意可得：，解得：，
，
当时，，当时，，
，
答：上下班高峰时段车速应控制在44千米时~50千米时才能确保快速路安全畅通．
27．（10分）如图，在矩形中，，，点在上，连接、，相交于点，作，交于点，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
，且① ， ， ，即：， 又， ② ， ， ， 在矩形中，， ， ③ ，即度数不变．
【尝试应用】
（2）若，求的长；
【思维拓展】
（3）将绕着点顺时针旋转得到△，是否存在这样的，使得△有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1），且；
，
，即，
又，
，
，
，
在矩形中，，
，
，即度数不变，
故本题答案为：，，90；
（2）矩形中，，，
，，，
，
，
由（1）可知：，，
，
，即，解得：；
（3）存在，①当点与点重合时，点都在直线上，此时；
②当点落在直线上时，由旋转可得：，，
如图，过点作交、分别为，，
四边形为矩形，
，
，
，，，
，
由勾股定理可得：，
同理可得：，
在中，，即，
整理得：，解得：或，
，
不合题意，舍去，
；
③当点落在直线上时，过点作交、分别为，，
同理可知：四边形为矩形，
，
由旋转可得：，，
同理可得：，
，
，
，
，
，即，
整理得：，解得：（舍去负值），
；
综上，或或．
28．（10分）定义：当，为常数，时，函数最大值与最小值之差恰好为，我们称函数是在上的“雅正函数”，“ ”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）试判断下列函数是在上的“雅正函数”为 （填序号）
①；②；③．
【尝试应用】
（2）若一次函数，为常数，和反比例函数为常数，都是在上的“雅正函数”，求的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函数是在，为常数，上的“雅正函数”，雅正值是3．
①求、的值；
②若该二次函数图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为二次函数图象上一点，且点的横坐标为，点、点是线段上的两个动点（点在点的左侧），分别过点、点作轴的平行线交抛物线于点、点，如果，其中为常数．试探究：是否存在常数，使得为定值．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【参考公式：】
【详解】解：（1）由题意可得：，
对于①，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
则最大值与最小值之差为，不合题意，
对于②，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为3，
则最大值与最小值之差为，符合题意，
对于③，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为2023，则最大值与最小值之差为，符合题意，
故本题答案为：②③；
（2），
对于反比例函数，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
则，解得：，
对于一次函数，同理可得：，解得：，
；
（3）①由抛物线的表达式可知：其对称轴为直线，
当时，取得最大值为：，
当时，取得最小值为：，
则，解得：，；
②由题意可知：，，，，，
，，
，
，
则
，
为常数，
为常数，
，
．
()
