2024北京数学一模第28题汇编
1.（2024平谷一模） 平面直角坐标系xOy中,已知⊙M和平面上一点P，若PA切⊙M于点A，PB切⊙M于点B，且90°≤∠APB＜180°则称点P为⊙M的伴随双切点.
（1）如果⊙O的半径为2
① 下列各点
是⊙O的伴随双切点的是 ；
② 直线上存在点P为⊙O的伴随双切点，则b的取值 范围 ；
已知：点E（1，2）、F（0，-2），过点F作y轴的垂线l，点C（m，0）是x轴上一点，若直线l上存在以CE为直径的圆伴随双切点，直接写出m的取值范围.
2．（2024 石景山一模）对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”.
特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．
在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）如图2，在点中，是线段的“关
联点”的是 ；
（2）点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的
“强关联点”．
①直接写出点的坐标；
②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线
段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
3．（2024燕山一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在
点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”．
(1) 如图，⊙O的半径为2，点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，0)．
① 在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 ；
② 点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围；
(2) 已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T(0，)，半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出的取值范围．
4．（2024北京汇文中学）（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM＝MN＝NQ
（1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，CB，CD中 AB、CD ；
（2）⊙O的“倍弦线”PQ与直线x＝2交于点E，求点E纵坐标yE的取值范围；
（3）若⊙O的“倍弦线”PQ过点（1，0），直线y＝x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．
5．（2024人大附一模）（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．
（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）；
（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；
（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．
6．（2024北京陈经纶一模）（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）．对于一个角α（0°＜α≤180°），将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．
（1）点R在线段ST上，则在点A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是 ；
（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．
①当α＝60°时，PQ＝ ；
②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；
（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在⊙O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．
7．（2024北京四中一模）（本题9分）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为、、，过点A作交于D点，交y轴正半轴于点E．
(1)如图，当时，求E点的坐标；
(2)如图，连接OD，求的度数；
(3)如图，已知点，若，，直接写出Q的坐标（用含t的式子表示）．
8. （2024北京西城一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．
（1）当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ；
（2）为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；
（3）当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．
9.（2024北京朝阳一模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦”
（1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ；
（2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；
10．（2024北京顺义一模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P，y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的关联图形．
（1）如图，点A(-3，2)，B(0，-1)，C(3，2)，D(-1，6) ．
①在点B，C，D中，点A的关联图形是_______；
②若⊙O不是点A的关联图形，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）已知点(m，0)，E(m-3，0)，G(m-2，1)，⊙的半径为1，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若⊙是正方形EFGH的关联图形，直接写出m的最小值和最大值．
11．（2024北京丰台一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，对于的弦AB和外一点C，给出如下定义：若直线CA，CB都是的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）已知点．
①如图1，若的弦，在点，，中，弦AB的“关联点”是______；
②如图2，若点，点C是的弦AB的“关联点”，直接写出OC长；
图1 图2
（2）已知点，线段EF是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦AB，使得点S是弦AB的“关联点”．当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦AB长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．
备用图
12. （2024北京大兴一模）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”．
（1）当时，
①在，，，中，的“伴随点”是______．
②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求的值；
（2）已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围．
13. （2024北京房山一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．
（1）如图，等边三角形的顶点分别为点，，．
①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ；
②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；
（2） 已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的
两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．
14.（2024北京门头沟一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在⊙O上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”.
（1）已知如图28-1点，
①如图28-1，在点、、中，⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”的是_______；
②如图28-2，点，⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是___；
（2）如图28-3，已知点，点P在的图象上，若⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围.
15.（2024北京延庆一模）我们规定：将图形M先向右平移a（a＞0）个单位，得到图形，再作出图形关于直线x=b的对称图形，则称图形是图形M的a，b平对图形.
（1）已知点B（1,2），若a=3，b=1，则点的坐标是 ；点的坐标是 ；
（2）已知点C（0,3），它的平对图形（4,3），求出a与b的数量关系；
（3）已知⊙O的半径为1，其中a≥1，若存在实数b，使⊙O的平对图形与直线y=ax+b有公共点，直接写出b的最小值及相应的a的值.
16．（2024北京人朝分校一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．
（1）若点P在直线y＝2x上；
①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是 ；
②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标xP的取值范围；
（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．
28题答案解析
1．解：（1）①P2，P4；·························2
②····················4
（2）···············7
2．解：（1）； ………………………… 2分
（2）①； ………………………… 4分
②或或；． … 7分
3．解：(1) ① BC； …………………………………………… 1分
② 如图，设直线OB与⊙O交于点M1，M2，⊙O与x轴交于点N3，N4．
过M1，M2分别作M1N1⊥x轴，M2N2⊥x轴，垂足为N1，N2，
过点N3，N4分别作M3N3⊥x轴，M4N4⊥x轴，交直线OB于点M3，M4．
∵MN是⊙O的“交割线段”，
∴点M位于线段M1M3或M2M4上(不含端点)．
∵B(2，2)，
∴∠BON2＝∠N1OM1＝45°．
∵OM1＝OM2＝2，
∴ON1＝ON2＝，
∴点M的横坐标m的取值范围是
＜m＜，或＜m＜2．
…………………………………… 3分
(2) ＜t≤1，或≤t＜5． …………………………………… 7分
4．【解答】解：（1）如图1，
∵AF＝FH＝BH＝2，CG＝GF＝DF＝，
∴AB，CD是⊙O的“倍弦线”，
∵BC与⊙O不相交，，
∴BC和AD不是⊙O的“倍弦线”，
故答案为：AB、CD；
（2）如图2，
以O为圆心，3 为半径画圆交直线x＝2于E和E′，
∵EF＝＝＝，
∴﹣≤yE≤；
（3）如图8，
以O′（﹣1，0）为圆心，直线y＝x+b4与⊙相切，
此时b1＝2+1，
以O″（2，3）为圆心，直线y＝x+b2与⊙O″线切，
此时b2＝﹣8﹣，
∴﹣2≤b≤1+2．=
5．【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；
（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2，建立方程，解方程，即可求解；
（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS＝＝2，结合图形，即可求解．
【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，
∴∠AOP＝90°，
∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（﹣，﹣1），P3（﹣2，1）中，
∴AO＝，OP1＝，AP1＝，则＝，
∴∠AOP1＝90°，
∴OP2＝，AP2＝，则＝，
∴∠AOP2＝90°，
如图1，∠AOP3≠90°，
∴O关于点A的“联络点”是P1，P2；
故答案为：P1，P2；
（2）如图2，依题意，点C关于点D的“联络点”P在CD的垂线上且过点C，
∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，
∴C（2，0），D（1，0），
∴OD＝1，OC＝2，
∴tan∠COD＝＝，CD＝＝，
∵tan∠CPD＝，
∴CP1＝2，
∴DP1＝5，
则P1（0，﹣4），
设直线CP的解析式为y＝kx﹣4，
则0＝2k﹣4，
解得：k＝2，
∴直线CP的解析式为y＝2x﹣4；
设P（p，2p﹣4），
∵tan∠CPD＝，
∴＝，
∴CP＝2CD＝2，
∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2＝，
解得：p＝4或p＝0，
∴P（4，4）或P（0，﹣4）；
（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，
过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，∠PMN＝90°，
∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，
∴∠PMQ＝∠ONM，
∴△PQM≌△MON（AAS），
∴ON＝QM，OM＝QP，
设M（0，m），
∵N（4，0），
∴OQ＝4+m，PQ＝m，
∴P（m，4+m），
即点P在直线y＝x+4上，
设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），
依题意可知，P在⊙T上，
如图4，当PS与⊙T相切时，TS＝＝2，
∴T（0，2）或T（0，6），
结合图形可得2≤t≤6；
如图5，根据对称性可得﹣2≤t≤﹣6也符合题意，
综上所述，2≤t≤6或﹣2≤t≤﹣6．
【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直线与圆的位置关系，已知正切求边长，勾股定理，等腰直角三角形的性质，理解新定义是解题的关键．
6．【分析】（1）根据“α对称旋转”新定义即可判断；
（2）①由旋转可得△SPP′和△TQP′均为等边三角形，进而推出△P′ST≌△P′PQ（SAS），即可证得结论；
②根据“α对称旋转”新定义得点Q的坐标为Q（1，﹣1），P′T＝QT＝1，∠P′TQ＝30°，进而得出∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，再利用勾股定理即可求得答案；
（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，M′关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，若满足题意，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，且O′T＝O″T，则⊙O″与x轴相切，再证得△O″TR≌△TO′S（SSS），即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，当点R与点O重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R′，点R′绕点T逆时针旋转90°得到点C；
当点R与点T重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R″，点R″绕点T逆时针旋转90°得到点B；
故答案为：B，C；
（2）①当α＝60°时，如图，
∵x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，
∴△SPP′和△TQP′均为等边三角形，
∴SP′＝PP′，TP′＝QP′，∠SP′P＝∠TP′Q＝60°，
∴∠SP′T+∠TP′P＝∠TP′P+∠PP′Q，
∴∠SP′T＝∠PP′Q，
∴△P′ST≌△P′PQ（SAS），
∴PQ＝ST＝2，
故答案为：2；
②当α＝30°时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点P′，则SP′＝SP，
如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线y＝﹣1，
∵QT⊥x轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，
∴点Q的坐标为Q（1，﹣1），
∵点P′绕点T逆时针旋转30°得到点Q，
∴P′T＝QT＝1，∠P′TQ＝30°，
∴∠STP′＝90°﹣∠P′TQ＝60°，
∵∠TSP′＝30°，
∴∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，
∵ST＝2，
∴SP′＝＝，
∴SP＝SP′＝，
∴点P的坐标为P（﹣1+，0）．
（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，M′关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，若满足题意，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，且O′T＝O″T，
如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，
″
∴HR＝，
∴∠O″RH＝30°，TR＝O′S＝1，O″R＝ST＝2，O″T＝O′T，
∴△O″TR≌△TO′S（SSS），
∴∠TSO′＝∠O″RT＝30°，
故0°＜α≤30°；
如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，
∴∠HRO″＝30°，ST＝O″R，
∴∠TRO″＝150°，
∵∠SO′T+∠STO′＝∠STO′+∠RTO″，
∴∠SO′T＝∠RTO″，
∵O′T＝TO″，
∴△O′ST≌△TRO″（SAS），
∴∠O′ST＝∠TRO″＝150°，
∴α＝150°，
∴150°≤α≤180°；
综上所述，0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．
【点评】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，圆的性质等，理解并熟练运用“α对称旋转”新定义是解题关键．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据得即可求出点坐标．
（2）如图，先过点作于点，作于点，根据，得到，底边，得出，根据角平分线的逆定理进而得到平分，可得；
（3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，可得，，又知在第二象限，从而得．
【详解】（1）解：如图，
当时，点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点坐标．
（2）解：如图，过点作于点，作于点，
，
，且，
，，
，
平分；
；
（3）解：如图，过作轴，过作于，过作于，交轴于，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形．
8. 【答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；
（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；
（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．
【小问1详解】
解：∵当时，直线为，即轴，
∵
∴
∴，，
∵，
∴，，，，
∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：依题意，，
由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，
∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，．
∴，
∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，
当时，如图所示，
当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则
则（除端点外）上所有的点到的距离都，
∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，
∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，
∴，
当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，
∴；
根据对称性，当时，可得；
综上所述，或
【小问3详解】
∵时
∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，
如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，
①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，
根据新定义可得，
∴，
②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，
则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．
当在轴上时，两条边界线的正中间，则的最小值为，
∴即
综上所述，．
【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．
9. 【答案】（1）
（2）或
（3）或
【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；
（2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标；
（3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，结合三角形的面积求得的值，根据锐角三角函数可求得点的坐标，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
∴关于直线的“对称弦”的是线段；
【小问2详解】
解：设点，关于直线的对称点为,，
∴直线垂直平分，，
∵是关于直线的“对称弦”，
∴,在上，
∵点的坐标为，
即点在上，
∵直线经过圆心，
∴点也在上，
∵，
故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点；
∵，
即是等边三角形，
故点的横坐标为，点的纵坐标为，
同理，点的横坐标为，点的纵坐标为，
综上，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：设点关于直线的对称点为,
∴直线垂直平分，
∵线段是关于直线的“对称弦”，
∴在上，
由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上，
又∵，
即；
令直线与，轴交于点，，过点作直线交于点，点作轴交于点，如图：
令，则，即点，,
令，则，即点，，
则，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
即点的坐标为，
∵，；
∴，
整理得：，
解得：或，
故的值为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．
10.（1）①B，C. ………………………………………………………………………………2分
②设直线BC的表达式是y=kx+b(k≠0)，则
，解得
∴直线BC的表达式是y=x-1. …………………………………………………………..3分
∴直线BC与x轴的交点坐标为B’（1，0）
∴BB’=.
作OP’⊥BB’于点P’，
∴OP’=.………………………………………………………………………………4分
由①问的探索可知，点A以y轴上点T为旋转中心，逆时针旋转90°，得到的点Q落在直线BC上，证明略.
若 O不是点A的“关联图形”，
∴0
11．解：（1）①，；
②OC长为．
（2）．
12.【答案】（1）①，；②
（2）或
【分析】（1）①设射线与相切于点M，连接，根据题目中的定义得出，分别求出四个点与间的距离，然后进行判断即可；
②根据直线上有且只有一个的“伴随点”，得出直线与以为圆心，为半径的圆相切，设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，求出，得出，即可求出结果；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可．
【小问1详解】
解：①如图1，设射线与相切于点M，连接，
∴，
当时，为等腰直角三角形，
∴，
，
∴当点P在外，时，，
当时，点，
∵，，，，
∴在，，，中，的“伴随点”是，；
故答案为：，
②∵当点P在外，时，，
∴点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，
如图2：
∵直线上有且只有一个的“伴随点”，
∴直线与以为圆心，为半径的圆相切，
∴，
设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，
∴，
令，，令，，
∴，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵正方形的对角线的交点，点，
∴点，，，
当时，如图所示：
此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为，
∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，
∴，，
∵，
，
∴，
解得：；
当时，如图所示：
此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为，
∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，
∴，，
∵，
，
∴，
解得：；
综上分析可知：的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，两点间距离公式，等腰直角三角形的性质，解不等式组，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
13.（1）①，；
②解:依题意可知，点，点为等边三角形边上的点，
则.
∵与以为半径的⊙相切于点，
∴，.
∴.
∴点在以为直径的⊙上，
且，其中点.
∴符合条件的点组成的图形为
（点除外），其中点，，
如图，当直线与⊙相切时，设切点为，与轴交点为
，则与直线垂直时,.
由,可得.
∴.
当直线过时，
代入中，可得.
当直线过点时，
代入中, 可得.
∵直线上存在“相关切点”，
∴的取值范围是.
（2）或.
14．（本小题满分7分）
解：（1）①，.……………………………………………………………………………2分
② ……………………………………………………………………4分
（2）.…………………………………………………………7分
说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
15.解：（1）点的坐标是（4,2）；点的坐标是 （-2,2） ；
（2）∵ 点C（0,3），它的平对图形（4,3），
∴设C（0,3）向右平移a个单位长度，得到，关于直线x=b的对称图形，
∴4-b=b-a.
∴2b-a=4.
（3）b的最小值为，相应的a的值为1.
16．【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；
②设y＝2x与⊙O交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出 x2+y2＝1，联立直线解析式，得出交点坐标，进而 根据平行线分线段成比例得出
p＝，同理可得p的最小值为﹣ 即可求解；
（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN的最值，即可求解．
【解答】解：（1）解：如图所示，
PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，
故答案为：Q2，Q3．
②如图所示，点P在线段RS和UW上，
设R（m，2m），
在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，
解得m＝或m＝﹣（舍），
∴xR＝；
同理xS＝，xU＝﹣，xW＝﹣，
∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；
（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，
∵AM≤1，
则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，
∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，
如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，
∴OA＝＝，
设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，
∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，
∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，
∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，
解得x＝，
∴≤MN≤4．
【点评】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最 值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
