人教版2023-2024七年级数学下册期末押题测试卷
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若点在第二象限，则点在（ ）．
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
2．下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（ ）
A． B． C． D．
3． 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段就是点P到直线l的距离；④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；⑤无理数都是无限小数.其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，若∠1=∠2，DE∥BC，则：①FG∥DC；②∠AED=∠ACB；③CD平分∠ACB；④∠1+∠B=90°；⑤∠BFG=∠BDC，⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥
5．下列各组实数中，互为相反数的一组是（ ）
A．-3与 B．-2与 C．与2 D．与4
6．如图所知，已知OA⊥BC，垂足为点A，联结OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离.其中错误的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．关于 的不等式组 恰有五个整数解，那么m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 次从原点运动到点 ，第 次接着运动到点 ，第 次接着运动到点 ……按这样的运动规律，经过第 次运动后，动点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．①如图1，AB∥CD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，AB∥CD，则∠E =∠A +∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，AB∥CD，则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是（ ）
A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按一定的规律移动，依次得到点A1（0，1）A2（1，1）、A3（1，3）、A4（3，3）、A5（3，6）、A6（6，6）、A7（6，10）、A8（10，10）、……，根据这个规律，则点A2019的坐标是（ ）
A．（510555，511565） B．（509545，511565）
C．（509545，510555） D．（51055，510555）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短.
理由是 .
12．如图，已知直线a∥b∥c，△ABC的顶点B、C分别在直线b、c上，如果∠ABC＝60°，边BC与直线b的夹角∠1＝25°，那么边AB与直线a的夹角∠2＝ 度．
13．一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为 元，才能避免亏本．
14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为 ．
15．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是 ．
16．如图，//，点是射线上一动点，且不与点重合．分别平分，，，在点运动的过程中，当时，= ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17． 2023年金华市共有60000余名学生参加初中毕业生体育学业考试．为了了解我市毕业生的排球成绩，随机抽取了50名考生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A，B，C，D表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表．请你根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
50名考生排球测试成绩统计表
等级 成绩（满分5分） 频数（人数） 频率
A 5分 19
B 4~5分（包括4分但不包括5分） a x
C 3~4分（包括3分但不包括4分） b y
D 3分以下（不包括3分） 3
合计 50
（1） ， ， ， ．
（2）在扇形图中，求C等级所对应的圆心角的度数．
（3）请你估计我市考生中，成绩等级达到优秀和良好的共有多少人（总人数按60000名计算）？
18．如图， AC平分∠MAE，交DB于点F.
（1）若AB∥CE，∠BAE=50°，求∠ACE的度数；
（2）若∠AFB=∠CAM，说明∠ACE=∠BDE的理由.
19．如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
20．
（1）解方程组：
（2）解不等式组：，将解集表示在下面的数轴上，并写出最小整数解．
21．
（1）计算：．
（2）本学期学习了一元一次不等式的解法，下面是甲同学的解题过程：
解不等式
解：去分母，得：……①
去括号，得：……②
移项，得：……③
合并同类项，得：……④
系数化为1，得：……⑤
不等式的解集在数轴上表示为：
上述甲同学的解题过程从第 步开始出现错误，不正确的原因是 ．
请帮甲同学改正错误，直接写出正确结果，并把正确解集在数轴上表示出来 ．
22．如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
23．如图，直线 直线 ，一块三角板的顶点 在直线 上，边 、 分别交直线 于 、 两点. ， ， .
（1）如图1， ，则
① ▲ °；
②若 与 的角平分线交于点 ，则 ▲ °.
（2）如图2，点 在 的平分线上，连 ，且 ，若 ，求 的度数.
（3）如图3，若 ， ，则 °（用含 的式子表示）.
24．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝ ，求 .
（3）如图③，若 ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出 的度数.（可用含x的代数式表示）.
25．如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=4cm，OA=5cm，DE=2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动。若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，则两点同时停止运动。
（1）直接写出OE，BC的长度；
（2）求P，Q两点从开始出发到停止运动用了多少秒钟？
（3）若P，Q两点出发3秒后立即同时停止．①请在备用图中画出此时的△PQC；②求△PQC的面积；
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
人教版2023-2024七年级数学下册期末押题测试卷
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若点在第二象限，则点在（ ）．
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由A（﹣5，y）在第二象限，得y＞0，
∵﹣5＜0，﹣y＜0，
∴B（﹣5，﹣y）在第三象限，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点坐标与象限的关系求解即可。
2．下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】A、将x=1，y=-1代入方程左边得：x-3y=1+3=4，右边为4，本选项符合题意；
B、将x=2，y=1代入方程左边得：x-3y=2-3=-1，右边为4，本选项不符合题意；
C、将x=-1，y=-2代入方程左边得：x-3y=-1+6=5，右边为4，本选项不符合题意；
D、将x=4，y=-1代入方程左边得：x-3y=4+3=7，右边为4，本选项不符合题意.
故答案为：A
【分析】将选项代入方程即可。
3． 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段就是点P到直线l的距离；④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；⑤无理数都是无限小数.其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；无理数的概念
【解析】【解答】解：①在同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，如正方体，过一点有两条直线与已知直线垂直，故原说法错误；
② 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ，故原说法错误；
③ 过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段的长度就是点P到直线l的距离，故原说法错误；
④ 两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补（如图两种情况），故原说法正确；
⑤无理数都是无限小数，故原说法正确.
故答案为：B.
【分析】①根据垂直的概念；②根据平行公理；③根据点到直线的距离的概念；④根据平行线的性质；⑤根据无理数的概念．
4．如图，若∠1=∠2，DE∥BC，则：①FG∥DC；②∠AED=∠ACB；③CD平分∠ACB；④∠1+∠B=90°；⑤∠BFG=∠BDC，⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，故②正确；
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DCB，
∴FG∥DC，故①正确；
∴∠BFG=∠BDC，故⑤正确；
∴∠FGC=∠DEC+∠DCE，故⑥正确；
而CD不一定平分∠ACB，∠1+∠B不一定等于90°，故③，④错误；
故答案为：B
【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出∠2=∠DCB，得出FG∥DC，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；进而得出⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE正确，即可得出结果．
5．下列各组实数中，互为相反数的一组是（ ）
A．-3与 B．-2与 C．与2 D．与4
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、与-3互为相反数，故A符合题意；
B、与-2相同，不是互为相反数，故B不符合题意；
C、与2，不是互为相反数，故C不符合题意；
D、与4相同，故D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】先利用二次根式的性质、立方根和绝对值的性质化简，再根据相反数的定义求解即可。
6．如图所知，已知OA⊥BC，垂足为点A，联结OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离.其中错误的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：②线段AB的长度为点B到OA上点的最短距离。
故答案为：A.
【分析】根据垂直的性质，点到直线的距离判断得到答案即可。
7．关于 的不等式组 恰有五个整数解，那么m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∵不等式组恰有五个整数解，
∴整数解分别为：3、2、1、0、 ；
∴ 的取值范围为 ；
故答案为：A．
【分析】先求出不等式组的解集为： ，再求其整数解，最后求m的取值范围即可。
8．如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 次从原点运动到点 ，第 次接着运动到点 ，第 次接着运动到点 ……按这样的运动规律，经过第 次运动后，动点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），
∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2019次运动后，动点P的横坐标为2019，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标为：2019÷4=504余3，
故纵坐标为四个数中第三个，即为2，
∴经过第2019次运动后，动点P的坐标是：（2019，2），
故答案为：A．
【分析】分析图形可知：点P的运动每4次循环一次，每循环一次向右移动四个单位，据此解答即可.
9．①如图1，AB∥CD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，AB∥CD，则∠E =∠A +∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，AB∥CD，则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是（ ）
A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：
①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①不符合题意；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②符合题意；
③如图3，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③符合题意；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④符合题意；
故答案为：C.
【分析】①过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
②如图2，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，据此判断即可；
④过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，根据三角形外角的性质及平行线的性质得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，据此判断即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按一定的规律移动，依次得到点A1（0，1）A2（1，1）、A3（1，3）、A4（3，3）、A5（3，6）、A6（6，6）、A7（6，10）、A8（10，10）、……，根据这个规律，则点A2019的坐标是（ ）
A．（510555，511565） B．（509545，511565）
C．（509545，510555） D．（51055，510555）
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题可知，A1（0，1）、A3（1，3）、A5（3，6）、A7（6，10）、A9（10，15）
横坐标分别为：0，0+1，0+1+2，0+1+2+3，0+1+2+3+4，
∴A2019的横坐标为：0+1+2+3+4+…+1009＝509545
纵坐标减横坐标依次为：1，2，3，4，5，
∴A2019的纵坐标减横坐标为1010；
∴A2019的纵坐标为509545+1010＝510555
故点A2019的坐标为（509545，510555）
故答案为：C．
【分析】先分别求出出A1、A3、A5、A7、A9，的坐标，从中得出规律即得A2019的横坐标为：0+1+2+3+4+…+1009＝509545，A2019的纵坐标减横坐标为1010，据此解答即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短.
理由是 .
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】点到直线的所有线段中垂线段最短.
【分析】根据“垂线段最短”进行解答即可.
12．如图，已知直线a∥b∥c，△ABC的顶点B、C分别在直线b、c上，如果∠ABC＝60°，边BC与直线b的夹角∠1＝25°，那么边AB与直线a的夹角∠2＝ 度．
【答案】35
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图，
∵ ，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，
∴∠ABC＝∠2+∠1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝25°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故答案为35．
【分析】根据a//b//c得到∠2＝∠3，∠1＝∠4，再利用∠ABC＝∠2+∠1，∠1＝25°，即可求出∠2的值。
13．一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为 元，才能避免亏本．
【答案】2
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，
根据题意得：x（1﹣5%）≥1.9，
解得，x≥2，
故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克2元．
故答案为：2．
【分析】根据一种苹果的进价是每千克1.9元，列不等式求解即可。
14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵点A平移后的对应点D的坐标为，
∴沿轴向右平移3个单位得到，
∵B（4，0），
∴E（4+3，0），即（7，0）；
故答案为：（7，0）.
【分析】由点A平移后的对应点D的坐标为，确定 平移的方向和距离，利用B的坐标，从而确定点E的坐标.
15．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是 ．
【答案】(2015，2)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察点的坐标变化可得：
第1次从原点运动到点（1，1） ，
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2） ，
第4次接着运动到点（4，0），
第5次从原点运动到点（5，1） ，
第6次从原点运动到点（6，0） ，
·······，
发现每个点的横坐标与次数相同，纵坐标是1、0、2、0，四数字一循环，
∴2015÷4=503······3，
∴ 经过第2015次运动后纵坐标为2，
∴ 动点P的坐标 (2015，2) ；
故答案为： (2015，2) .
【分析】先分别求出前6次运动后的坐标，可发现每个点的横坐标与次数相同，纵坐标是1、0、2、0，四数字一循环，据此解答即可.
16．如图，//，点是射线上一动点，且不与点重合．分别平分，，，在点运动的过程中，当时，= ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：∵AD//BC
∴∠BMA=∠DAM，∠B+∠BAD=180°
∵AM平分∠BAP，
∴∠BAM=∠MAP=∠BAP，
∵AN平分∠DAP，
∴∠DAN=∠NAP=∠DAP，
∵∠BAN=∠BMA
∴∠DAM=∠BAN
∵∠，∠
∴∠
∴∠
∵，
∴∠
∴∠
∴
∴
故答案为：90°．
【分析】根据AD与BC平行，可以得知 ∠ DAM= ∠ AMB= ∠ BAN，再根据角平分线可知 ∠ BAD=4 ∠ BAM=4β，而α+4β=180°，可知答案为90°
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17． 2023年金华市共有60000余名学生参加初中毕业生体育学业考试．为了了解我市毕业生的排球成绩，随机抽取了50名考生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A，B，C，D表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表．请你根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
50名考生排球测试成绩统计表
等级 成绩（满分5分） 频数（人数） 频率
A 5分 19
B 4~5分（包括4分但不包括5分） a x
C 3~4分（包括3分但不包括4分） b y
D 3分以下（不包括3分） 3
合计 50
（1） ， ， ， ．
（2）在扇形图中，求C等级所对应的圆心角的度数．
（3）请你估计我市考生中，成绩等级达到优秀和良好的共有多少人（总人数按60000名计算）？
【答案】（1）20；8；0.40；0.16
（2）解：解： ，
∴在扇形图中，C等级所对应的圆心角的度数为 ；
（3）解： 人，
∴估计我市考生中，成绩等级达到优秀和良好的共有 人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】（1）a=50×40%=20，b=50-19-20-3=8，，；
【分析】（1）等级B的人数a等于50乘以等级B所占的百分比；等级C的人数b等于50减去另外三个等级的人数；频率等于频数除以50；
（2）圆心角的度数等于该部分所占的百分比乘以360°；
（3）用样本估计总体，先计算样本中达到优秀和良好的百分比，再乘以总人数就得到总体中达到优秀和良好的人数.
18．如图， AC平分∠MAE，交DB于点F.
（1）若AB∥CE，∠BAE=50°，求∠ACE的度数；
（2）若∠AFB=∠CAM，说明∠ACE=∠BDE的理由.
【答案】（1）解：∵∠BAE=50°，
∴∠MAE=130°.
∵AC平分∠MAE，
∴∠MAC=∠EAC=65°.
∵ AB∥CE，
∴∠ACE=∠MAC=65°；
（2）解：∵∠AFB=∠CAM，∠MAC=∠EAC，
∴ ∠AFB=∠EAC，
∴ AC∥BD，
∴ ∠ACE=∠BDE.
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠MAC的度数，再根据平行线的性质求解即可；（2）先说明∠AFB=∠EAC，然后利用平行线的判定与性质求证即可.
19．如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：与相等，理由如下：
∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，，
，
即．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠1+∠CBE=180°，结合已知可证得∠2=∠CBE，利用内错角相等，两直线平行，可证得EF∥BC，然后利用平行线的性质，可得到∠AFE和∠ABC的大小关系.
（2）利用平行线的性质可证得∠D=∠AEB，结合已知条件可推出∠D=2∠2，再根据∠1+∠2=180°，可求出∠2的度数，据此可求出∠D的度数.
20．
（1）解方程组：
（2）解不等式组：，将解集表示在下面的数轴上，并写出最小整数解．
【答案】（1）解：化简原方程组得，
①②得，
解得，
把代入①，解得，
方程组的解是；
（2）解：，
由①得，，
由②得，，
此不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
最小整数解是-3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求出二元一次方程组即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再在数轴上画出解集即可。
21．
（1）计算：．
（2）本学期学习了一元一次不等式的解法，下面是甲同学的解题过程：
解不等式
解：去分母，得：……①
去括号，得：……②
移项，得：……③
合并同类项，得：……④
系数化为1，得：……⑤
不等式的解集在数轴上表示为：
上述甲同学的解题过程从第 步开始出现错误，不正确的原因是 ．
请帮甲同学改正错误，直接写出正确结果，并把正确解集在数轴上表示出来 ．
【答案】（1）解：原式＝﹣251
＝3﹣1
＝2；
（2）①；常数项漏乘各分母的最小公倍数；x≥﹣3
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】（2）解：上述甲同学的解题过程从第①步开始出现错误，不正确的原因是常数项漏乘各分母的最小公倍数．
解不等式．
解：去分母，得：2（x﹣2）﹣4≤5x+1……①，
去括号，得：2x﹣4﹣4≤5x+1……②，
移项，得：2x﹣5x≤1+4+4……③，
合并同类项，得：﹣3x≤9……④，
系数化为1，得：x≥﹣3……⑤，
正确结果是x≥﹣3，
正确解集在数轴上表示为
【分析】（1）先利用立方根、二次根式和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用不等式的性质及不等式的解法求解即可。
22．如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
23．如图，直线 直线 ，一块三角板的顶点 在直线 上，边 、 分别交直线 于 、 两点. ， ， .
（1）如图1， ，则
① ▲ °；
②若 与 的角平分线交于点 ，则 ▲ °.
（2）如图2，点 在 的平分线上，连 ，且 ，若 ，求 的度数.
（3）如图3，若 ， ，则 °（用含 的式子表示）.
【答案】（1）①50；②15
（2）解：由（1）中的② 得∠CAK=80°
∴∠CAI+∠KAI=80°
∵∠CAI：∠KAI=1：3
∴∠KAI=60°
则由（1）中②可以得到∠IGD=120°
∴∠IDG=180°-∠IGD-∠I=25°
∵DI是∠CDG的角平分线
∴∠CDG=2∠IDG=50°
∴∠FDB=∠CDG=50°
（3）
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵FG//HK
∴∠HAC=∠CEF
∵∠HAC=∠HAB+∠BAC
∴∠HAC=∠CEF=100°
又∵∠FDB=∠CDE，∠CDE+∠C+∠CEF=180°，∠C=30°
∴∠FDB=180°-∠C-∠CEF=50°
② 由① 得∠HAC=100°，∠FDB=∠CDE=50°
∴∠CAK=180°-∠HAC=80°
∵∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I
∴∠IDG= ∠CDG=25°，∠IAK= ∠CAK=40°
∵FG//HK
∴∠IAK=∠EGA=40°
∴∠IGD=180°-∠EGA=140°
∴∠I=180°-∠EGI-∠IDG=15°
（3）由（2）知∠CAI+∠KAI=80°，∠CAI：∠KAI=1： n
∴∠KAI=
∴∠IGD=
由（1）知∠CDE=50°，即∠CDI+∠GDI=50°
∵∠CDI：∠GDI=1： n
∴∠GDI=
∴∠I=180°-∠GDI -∠IGD=
【分析】（1）①利用平行线的性质可证得∠HAC=∠CEF，再根据∠HAC=∠HAB+∠BAC，可求出∠CEF的度数；然后根据∠FDB=180°-∠C-∠CEF求出∠FDB的度数；② 利用邻补角的定义可求出∠CAK的度数，利用角平分线的定义可求出∠IDG，∠IAK的度数，利用平行线的性质可求出∠EGA的度数，同时可求出∠IGD的度数；再根据∠I=180°-∠EGI-∠IDG，代入计算可求解；
（2）由（1）中的② 得∠CAK=80° ，结合已知条件可求出∠HAI的度数；则由（1）中②可以得到∠IGD=120°，再求出∠IDG的度数，利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，然后利用对顶角相等可求出∠FDB的度数.
（3）由（2）知∠CAI+∠KAI=80°，∠CAI：∠KAI=1： n，可表示出∠KAI和∠IGD的度数；由（1）知∠CDE=50°，即∠CDI+∠GDI=50°，由此可表示出∠GDI的度数.
24．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝ ，求 .
（3）如图③，若 ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出 的度数.（可用含x的代数式表示）.
【答案】（1）解：∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠APC=∠BPD，
∵∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠APC=45°；
（2）解：如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ+∠PQF=180°，
∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°，
∴∠GPQ+∠PQG=90°，
∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°，
∴∠PGQ=90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°，
∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°，
即α=90°.
（3）解：若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，
由（2）知，∠E=90°，
∵α=108°，
∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°，
∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°；
若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，
∵∠BHF=∠AHP=x，
∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x，
∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x，
∵a∥b，
∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，
∴∠FGb=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°，
则∠CGF=180°-∠FGQ=36°，
由∠CGF+∠CFG+β=180°，
得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-36°=72°+x，
综上，β角的度数为162°或72°+x.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，可得到∠APC=∠BPD，结合已知条件可得到∠APC+∠BPD=90°，即可求出∠APC的度数.
（2）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，利用平面镜成像原理入射角等于反射角，可证得∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，利用平行线的性质可推出∠EPQ+∠PQF=180°，从而可求出∠GPQ+∠PQG=90°，即可求出∠PGQ的度数；再利用垂直的定义及四边形的内角和定理可得到∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°；然后求出∠ABC的度数.
（3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，由（2）可知∠E=90°，再根据∠BCE=α-∠E，可求出∠BCE的度数；然后根据β=180°-∠BCE，可求出β的值；若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，利用平行线的性质可证得∠BHF=∠AHP=x，可表示出∠BFH，∠PHF，∠HFG，再证明∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，由此可求出∠FGB的度数，∠CGF的度数，然后根据∠CGF+∠CFG+β=180°，可得到β角的度数.
25．如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=4cm，OA=5cm，DE=2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动。若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，则两点同时停止运动。
（1）直接写出OE，BC的长度；
（2）求P，Q两点从开始出发到停止运动用了多少秒钟？
（3）若P，Q两点出发3秒后立即同时停止．①请在备用图中画出此时的△PQC；②求△PQC的面积；
【答案】（1）OE=8cm．BC=3cm
（2）解：点Q从O运动到点D的所用时间为 秒
点P从A运动到点C所用时间为 秒，
由于P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，
所以P，Q两点从开始出发到停止运动共用了5秒．
（3）解：①作ΔABC如图所示
②由于AB＝CD＝4cm，OE=8cm，DE＝2cm
∴C（4，2）
∵P，Q两点出发3秒后立即同时停止，此时点P、Q分
别在AB、OE上，且AP=3cm，OQ=6cm
∴P（3，5），Q（6，0）．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则点M的坐标为（3，0），
所以QM＝6-3=3cm，
∴△PQC的面积＝ ×3×5－ ×2×3－ ×5×1=2
【知识点】坐标与图形性质；平行线之间的距离
【解析】【解答】（1）观察图象得OE=8cm，
∵AB∥CD∥x轴，
∴BC=5cm-2cm=3cm.
【分析】（1）由点之间距离的计算公式即可求解；
（2）先计算点Q从O运动到点D的所用时间和点P从A运动到点C所用时间然后比较两个时间的长短即可求解；
（3）①结合题意画图即可求解；
②根据已知条件可以先求出点C的坐标，再结合题意求出点P、Q的坐标，过点P作PM⊥x轴，写出点M的坐标，进而求出QM的长，再根据△PQC的面积＝S△PQM-S△PCM-S△CMQ即可求解.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
