北师大版2023-2024数学七年级下册期末综合提升测试卷
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠A＝∠5
C．∠A+∠ADC＝180° D．∠3＝∠4
2．计算a6÷a2的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a6
3．若的结果中不含项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在不借助任何工具的情况下，人的眼睛可以看到的最小物体的长度约为0.00003米，将0.00003用科学记数法表示为( )
A．3×10－5 B．0.3×10－4 C．30×10－6 D．3×105
6．如图，，OE平分，OF平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
9．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
12．我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算 .
14．如图，要测量小金河两岸相对的A、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点A、、在一条直线上．若测量的长为28米，则A、两点之间的距离为 米．
15．如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4= 。
16．若a-b=7，ab=-12，则（a+b）2=
17．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
18．观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，梯形上底长是，下底长是，高是
（1）写出梯形面积与下底长之间的关系式．
（2）当时，等于多少．
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）
CD与EF平行吗？为什么？
（3）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数.
21．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝70°，求∠BAD的度数．
22．已知直线，直线分别交，于点，，．
（1）如图①，直线，与线段交于点，平分，交于点，求的度数；
（2）如图②，点在直线上（不与点，点，点重合），过点作直线，交于点．补全正确的图形，并求的度数．
23．（1）从图1-3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系是 ；
（2）尝试解决：
①已知：，，则= ▲ ；
②已知：，，求的值；
③已知：，求的值；
（3）填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记、、，已知 .如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x、y、x+y，求xy的值 .
24．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
25．如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 .
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 .
②计算：
③计算：
26．如图
（1）问题情境：
如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°。求∠PAB+∠PCD的度数。
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD= 。
（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β。
当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由。
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系。
（4）问题拓展：
如图4，MA1∥NAn，A1-B1-A2-…-Bn-1-An，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2023-2024数学七年级下册期末综合提升测试卷
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠A＝∠5
C．∠A+∠ADC＝180° D．∠3＝∠4
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠1＝∠2，∴BC∥AD，故本选项正确；
B.∵∠A＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误；
C.∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误；
D.∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误.
故答案为：A.
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判断.
2．计算a6÷a2的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a6
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a6÷a2=a4，
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算，然后即可作出判断.
3．若的结果中不含项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
∵的结果中不含项，
∴2a-4=0，a=2。
故答案为：B。
【分析】先利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项；根据题意可得出含x 项的系数为0，算出答案即可。
4．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. =x2-y2，故能用平方差公式计算；
B. =(-x)2-y2= x2-y2，故能用平方差公式计算；
C. =-(x＋y)2=- x2－2xy-y2，故不能用平方差公式计算；
D. =y2-x2，故能用平方差公式计算；
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式逐项判定即可。
5．在不借助任何工具的情况下，人的眼睛可以看到的最小物体的长度约为0.00003米，将0.00003用科学记数法表示为( )
A．3×10－5 B．0.3×10－4 C．30×10－6 D．3×105
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00003＝3×10－5．
故答案为：A．
【分析】 将一个数表示成 a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义进行求解即可。
6．如图，，OE平分，OF平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；
由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， ∴，由可得，，∴，，∴，故③正确；
∵，∴，平分，∴
，故④正确．
故正确结论为②③④⑤
故答案为：D
【分析】由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， 所以，由可得，，，故③正确；由，平分，所以，故④正确．
7．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ.
8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质可证得AD∥BC，由此可得到∠DEG＝α，∠AFH＝β，可推出α+β＝119°；利用折叠的性质可证得∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，即可求出∠DEM+∠AFM的值；然后求出∠FEM+∠EFM的值.
9．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】根据图示，
∵黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是：．
故答案为：D．
【分析】利用几何概率公式求解即可。
10．如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 如图，延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，
∵∠ABE=150°，∠ABE+∠EBG=180°，
∴150°+∠EBG=180°，
解得∠EBG=30°，
∵BE⊥EF，
∴∠EBG+∠EGB=90°，
∴30°+∠EGB=90°，
解得∠EGB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠EGB=60°，
∵∠CDF=2∠DFE，
∴∠DFH=180°-∠DFE，∠FDH=180°-∠CDF=180°-2∠DFE，
∵∠DFH+∠FDH+∠H=180°，
∴180°-∠DFE+180°-2∠DFE+∠H=180°，
解得∠DFN=80°．
故答案为：B.
【分析】延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，利用平角的意义、直角三角形角的性质、三角形的内角和求解.
11．如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设右下角的等边三角形它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，设右下角的等边三角形它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而可得b=x+3a，b=3x，整理可得 与 的关系.
12．我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算 .
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：.
【分析】 单项式除以单项式，把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式。根据法则计算即可.
14．如图，要测量小金河两岸相对的A、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点A、、在一条直线上．若测量的长为28米，则A、两点之间的距离为 米．
【答案】28
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
的长为28米，
米.
故答案为：28.
【分析】先利用垂直的定义得到∠ABC=∠CDE=90°，再通过ASA判定△ABC≌△EDC，得AB=DE=28，从而求得A、B两点之间的距离.
15．如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4= 。
【答案】180°
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：对图中的点进行标注，如图所示，设正方形网格的单位长度为1.
∵ 如图是一个3×3的正方形网格
∴
∵正方形网格的单位长度为1
∴BC=AE=1，AB=ED=MN=3，BF=AN=2
∵BC=AE=1，，AB=ED
∴ABC≌DEA（SAS）
∴
∵在AED中，
∴
∴
同理可得：
∴∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
故答案为：180°.
【分析】根据全等三角形的判定可以得到ABC≌DEA，从而得知，结合直角三角形的性质得到 ，继而得到了，同理可以得到，即可以求出∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
16．若a-b=7，ab=-12，则（a+b）2=
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： （a+b）2
=（a-b）2+4ab
=49+4×(-12)
=49-48
=1.
故答案为：1.
【分析】根据完全公式，把原式转化为（a-b）2+4ab，再代值计算，即可求出结果.
17．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
18．观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
【答案】 （316﹣1）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）
=（38-1）（38+1）
=（316-1）
故答案为：（316-1）
【分析】将原式恒等变形，使第一项和第二项能用平方差公式计算，平方差的结果正好和后一项又能运用平方差公式继续计算，这样反复计算，一直到最后一项即可。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，梯形上底长是，下底长是，高是
（1）写出梯形面积与下底长之间的关系式．
（2）当时，等于多少．
【答案】（1）解：由题意得：
（2）解：当时，
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】 （1）根据求解即可得出答案；
（2）把x=15代入（1）求出的关系式中，即可求出y.
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）
CD与EF平行吗？为什么？
（3）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）解：CD与EF平行.理由如下：
CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°
∴EF∥CD
（2）解：CD与EF平行.理由如下：
CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°
∴EF∥CD
（3）解：如图：
EF∥CD，
∴∠2＝∠BCD
又 ∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD
∴DG∥BC，
∴∠ACB＝∠3＝115°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)先根据垂直的定义得到∠CDB＝∠EFB＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EF∥CD；(2)由EF∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，所以∠1＝∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DG∥BC，所以∠ACB＝∠3=115°.
21．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝70°，求∠BAD的度数．
【答案】（1）解：ACEF．理由如下：
∵∠1＝∠BCE，
∴ADCE，
∴∠2＝∠4，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°，
∴EFAC；
（2）解：∵ADEC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2，
∵∠1＝70°，∠1＝∠2+∠ACD，
∴∠2＝35°，
∵EFAC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠F＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC-∠2＝55°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由平行线的判定得出ADCE，由平行线的性质得出 ∠2＝∠4 ，由题干中的已知通过等量代换得出 ∠4+∠3＝180° 从而得出答案；
（2）由平行线的性质和角平分线的性质得出 ∠ACD＝∠4＝∠2 ，由已知得出 ∠2＝35° ，由（1）中的结论和已知即可求出∠BAD的度数。
22．已知直线，直线分别交，于点，，．
（1）如图①，直线，与线段交于点，平分，交于点，求的度数；
（2）如图②，点在直线上（不与点，点，点重合），过点作直线，交于点．补全正确的图形，并求的度数．
【答案】（1）解： ，
平分，
（2）解：如图，当在的右边时，
如图，当在的左边时，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及判定和角的运算求解即可；
（2）分两种情况，分别画出图形并求解即可。
23．（1）从图1-3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系是 ；
（2）尝试解决：
①已知：，，则= ▲ ；
②已知：，，求的值；
③已知：，求的值；
（3）填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记、、，已知 .如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x、y、x+y，求xy的值 .
【答案】（1）
（2）①；
② ，，
=9-8 =1 ；
③∵，
∴ .
∵，
∴；
（3）解：数字1~9的数字和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 .
∵各边上的四个数字的和都等于21，
∴21×3-45=18 .
∴ .即 .
又∵每边四个数字的平方和、、满足，
且，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）利用图1可得： ；
利用图2可得： ；
利用图3可得：； （写一个即可）
（2）① ，，
；
【分析】（1）①对于图1，根据大正方形的面积=两个小正方形的面积与两个矩形的面积之和可得等式；对于图2，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个矩形的面积+边长为b的正方形的面积可得等式；对于图3，根据4个矩形的面积之和=大正方形的面积-小正方形的面积可得等式；
（2）①根据完全平方公式可得2mn=(m+n)2-(m2+n2)，据此计算；
②同理可得(2a-b)2=(2a+b)2-8ab，据此计算；
③易得[(4-x)-(5-x)]2=(4-x)2+(5-x)2-2(4-x)(5-x)=1，据此计算；
（3）由题意可得x+y+(x+y)=18，根据A+B+C=411可得x2+y2+(x+y)2=411-285，联立可得x2+y2的值，然后根据(x+y)2-2xy=45进行计算.
24．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：由题意得：，，
；
（3）解：由题意得，图中阴影部分的面积为：，
，，
图中阴影部分的面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据所给的图形判断求解即可；
（2）根据图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为， 求出 ，， 再求解即可；
（3）先求出 ，， 再求阴影部分的面积即可。
25．如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 .
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 .
②计算：
③计算：
【答案】（1）
（2）a-b；a+b；(a+b)(a-b)
（3） 或
（4）3； ；
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图1可知：阴影部分的面积为
故答案为： ；
（ 2 ）由图2可知：长方形的宽为：a-b；长为a+b；面积为：
故答案为：a-b；a+b； ；
（ 3 ）由（1）（2）可得： 或 ；
故答案为： 或
（4）①∵ ， ， ∴∴，
故答案为：3；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用a、b表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出公式；
（4）①将 因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可；③利用平方差公式进行简便运算即可.
26．如图
（1）问题情境：
如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°。求∠PAB+∠PCD的度数。
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD= 。
（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β。
当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由。
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系。
（4）问题拓展：
如图4，MA1∥NAn，A1-B1-A2-…-Bn-1-An，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 。
【答案】（1）252°
（2）解：结论： .
理由如下：
如图1，过P作PQ∥AD.
∵AD∥BC，∴AD∥PQ ， PQ∥BC .
∵PQ∥AD，∴ .同理， .
∴
（3）解：当点P在B、O两点之间时，如图2，则有 ；
当点P在射线AM上时，如图3，则有 .
（4）
【知识点】平行线的判定与性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）过P作PE∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°
∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°即∠PAB+∠PCD+∠APC=360°
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.
故答案为：252°.
（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H，
∵A1H∥A3F
∴A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G，
∴∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3，
∴∠A1+∠2+∠4+∠A3=∠1+∠3+∠5+∠6
∴∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3.
由此规律可得：
∠A1+∠A2++∠An=∠B1+∠B2++∠Bn.
【分析】（1）过P作PE∥AB，结合已知可证得AB∥CD∥PE；再利用两直线平行，同旁内角互补可得到∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，然后将∠APC=108°代入计算可求出∠PAB+∠PCD的度数。
（2）如图1，过P作PQ∥AD，结合已知条件可证得AD∥PQ ， PQ∥BC，利用平行线的性质可证得∠α=∠1，∠β=∠2，由此可证得结论.
（3）分情况讨论： 当点P在B、O两点之间时；当点P在射线AM上时， 分别利用平行线的性质，可证得结论。
（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H，结合已知条件可证得A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3，由此可推出∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3，根据此规律可推出结论。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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