【北师大版九上同步练习】
第二章一元二次方程（基础知识）检测题
一、单选题
1．由于新能源汽车的崛起和国家对新能源汽车销售公司减税政策的支持，原价23万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商6月至8月份统计，该品牌新能源汽车6月份销售120辆，8月份销售144辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形四个顶点坐标．分别是，其中为正整数．已知正方形内部（不包含边）的整点比边上的整点多37个，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ．
7． 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，则小路的宽为 ．
8．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 ，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
三、计算题
9． 解方程：
（1）；
（2）．
10．用一元二次方程的判别式判断下列方程根的情况（不要求解方程）．
（1）．
（2）．
四、解答题
11．已知关于x的方程：有两个不相等的实数根，
（1）求实数k的取值范围、
（2）已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．
12． 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（盈利＝销售利润+返利）
（1）若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
13． 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）．
素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为．
素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：．
问题解决
任务1 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．
任务2 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系．
任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值．
五、综合题
14．解方程：
（1）9x2+6x+1=8
（2）3(5-x)2=2(x-5)
15．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．2 B．10 C．8 D．6
16．商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
六、实践探究题
17． 综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1，有一块矩形纸板，长为30cm，宽为16cm，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计）
（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕）；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
18． 在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：与有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为他们的“密接点”．
（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在横线上记“”，不是“亲密函数”的在横线上记“”；
与；
与；
与．
（2）一次函数与反比例函数（其中为常数，)，且他们的“密接点”到原点的距离等于，求的值．
（3）两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为．记直线与的交点的纵坐标为，直线与轴的交点的纵坐标为．试判断与的关系，并证明你的判断．
19．（换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程 的两根为 、 ，则 ， .
材料2 已知实数m、n满足 ， ，且 ，求 的值.
解：由题知m、n是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ， .
∴ .
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程 的两根为x1，x2，则 ， ；
（2）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值；
（3）已知实数p，q满足 ， ，且 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；正方形的性质；探索图形规律
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
6．【答案】；
【知识点】完全平方公式的几何背景；公式法解一元二次方程
7．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
8．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
9．【答案】（1）解：，
，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
10．【答案】（1）解：∵a=2，b=-4，c=2，
∴b2-4ac=（-4）2-4×2×2=16-16=0，
∴方程2x2-4x+2=0有两个相等的实数根.
（2）解：∵a=1，b=3，c=4，
∴b2-4ac=32-4×1×4=9-16=-7＜0，
∴方程x2+3x+4=0有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
11．【答案】（1）
（2）-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
12．【答案】（1）26.6
（2）解：设需要售出x部汽车，
①当销售10部以内（含10部）时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：（不合题意，舍去），
当销售6部汽车时，当月可盈利12万元；
②当销售10部以上时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：，均不合题意，应舍去
答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
13．【答案】解：任务1：．
任务2：由题意可知，原方程可化为：，
展开整理得：，
与原方程比较可得：
⑤任务3：利用上题结论可知：，……2分
【知识点】一元二次方程的其他应用
14．【答案】（1）解：9x2+6x+1=8，
9x2+6x-7=0，
a=9，b=6，c=-7，
△=36+252=288＞0，
x= ，
∴x1= ,x2=
（2）解：3(5-x)2=2(x-5)，
3(x-5)2-2(x-5)=0，
（x-5）[3(x-5)-2]=0，
（x-5）(3x-17) =0，
x-5=0或3x-17=0，
∴x1=5,x2= .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
15．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
16．【答案】（1）解：设每个背包的售价为 元，则月均销量为 个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每个背包售价应不高于55元．
（2）解：依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， 不合题意，舍去 ．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）解：依题意，得： ，
整理，得： ．
，
该方程无解，
这种书包的销售利润不能达到3700元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
17．【答案】（1）解：设剪去的正方形的边长为
根据题意列方程为
解，得，
当时，，，
所以不符合题意舍去
答：剪去正方形的边长为3cm.
（2）解：①画出的图形如图所示.
②设剪去的正方形的边长为.
根据题意可列方程为
解得（舍），
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
18．【答案】（1）；；
（2）解：∵一次函数与反比例函数(其中为常数，)是“亲密函数”，
∴方程有且只有一个实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，
∴或，
当时，，
解得，
∴，
∵“密接点”到原点的距离等于，
∴，
解得或(不合，舍去)，
∴；
当时，，
解得，
∴，
∵“密接点”到原点的距离等于，
∴ ，
解得或(不合，舍去)，
∴；
综上，的值为或
（3）解：．
证明：设直线，直线，
∵两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为，
∴，
即 有两个相等的实数根，
∴，
∴，，
∴，
同理可得，，
设直线的解析式为，
∴，，
得，
，
∴，
令，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算
19．【答案】（1）
（2）解：∵ ， 满足 ， ，
∴ ， 可看作方程 的两实数根．∴ ， ．
∴ ．
（3）解：设 ，代入 化简为 ，
则 与 （即 ）为方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
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精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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