3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法正确的是( )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
2.[探究点二][2024四川青羊校级月考]椭圆=1的焦距为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
3.[探究点二]已知椭圆x2+ky2=2的焦点在y轴上,若椭圆的焦距为4,则k的值为( )
A. B.
C.3 D.4
4.[探究点一][2024江苏泰州月考]已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0)和(2,0),且椭圆经过点(4,0),则该椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
5.[探究点一]已知椭圆过点P(,-4)和点Q(-,-3),则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1
B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1
D.以上均不正确
6.[探究点二]如果方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.(3,4) B.
C. D.
7.[探究点一](多选题)已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则椭圆C的标准方程可以是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
8.[探究点二][2024陕西宝鸡高二统考期末]已知F1,F2是椭圆C:+y2=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 .
9.[探究点一]过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为 .
10.[探究点三]已知椭圆=1的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2= .
11.[探究点一]求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);
(2)经过两点(2,-),.
12.[探究点三][2024陕西西安高二校考期末]已知点P在椭圆=1上,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且PF1⊥PF2,求:
(1)|PF1|·|PF2|;
(2)△PF1F2的面积.
B级 关键能力提升练
13.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为( )
A.=1(y≠0) B.=1(y≠0)
C.=1(y≠0) D.=1(y≠0)
14.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
15.[2024四川翠屏校级期末]已知P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则△PF1F2的面积为( )
A.6 B.12
C. D.2
16.[2024山东临淄校级期末]椭圆=1上任意一点P到点Q(1,0)的距离的最小值为( )
A. B.
C.2 D.
17.[2024重庆沙坪坝校级月考]椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上且在第一象限.如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是( )
A. B.
C. D.
18.[2024甘肃白银高二校考期末]已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,P是椭圆C在第一象限内的一点,若PF1⊥PF2,则tan∠PF1F2=.
19.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为(0,).
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.
C级 学科素养创新练
20.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上,则= .
答案：
1.AC 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,故A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,故B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,故D错误.
2.C 由题意可得a=3,b=,又c==2,∴焦距2c=4.故选C.
3.A 椭圆x2+ky2=2,即=1,
因为焦点在y轴上,所以a2=,b2=2,所以c=.
又椭圆的焦距为4,所以=2,解得k=.故选A.
4.C 因为椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0)和(2,0),所以c=2.
又椭圆经过点(4,0),所以a=4.
所以b==2,故椭圆的标准方程为=1.故选C.
5.A 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),根据题意得解得
∴椭圆的标准方程是+x2=1.故选A.
6.D 由题意可得,方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,
所以4-m>0,m-3>0,并且m-3>4-m,解得
因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,所以a=2.
所以b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是=1或=1.故选BC.
8.4 因为点M在椭圆C上,所以|MF1|+|MF2|=2×2=4.
|MF1|·|MF2|≤()2=()2=4,当且仅当|MF1|=|MF2|=2时,等号成立.
故|MF1|·|MF2|的最大值为4.
9.=1 椭圆=1的焦点为(0,±4),
设椭圆方程为=1(a>b>0),
则有a2-b2=16,①
再代入点(,-),得=1,②
由①②解得a2=20,b2=4.
则所求椭圆方程为=1.
10.2 120° ∵a2=9,b2=2,
∴c=,∴|F1F2|=2.
又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2.
由余弦定理,得cos∠F1PF2==-,
∴∠F1PF2=120°.
11.解 (1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义知2a==12,所以a=6.
又c=2,所以b==4.
所以椭圆的标准方程为=1.
(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设其标准方程为=1(a>b>0).
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为=1.
(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,
设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为=1.
同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.
综上,所求椭圆的标准方程为=1.
(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
将两点(2,-),代入,得解得
所以所求椭圆的标准方程为=1.
12.解 (1)因为椭圆的方程为=1,
所以a2=49,b2=24,c2=49-24=25,即a=7,b=2,c=5.
可得|F1F2|=2c=10,|PF1|+|PF2|=2a=14.
因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2,
即142-2|PF1|·|PF2|=102,所以|PF1|·|PF2|=48.
(2)由(1)得|PF1|·|PF2|=48,因为PF1⊥PF2,所以|PF1|·|PF2|=24.
13.A 依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
设其标准方程为=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.
又A,B,C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为=1(y≠0).故选A.
14.C 由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',
由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',
∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',
∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',
在Rt△PFF'中,由勾股定理,
得|PF'|==8,
由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,
从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,
∴椭圆C的方程为=1.
15.C 由椭圆=1,得a=5,b=3,c=4.
设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=10.
在△PF1F2中,由余弦定理可得(2c)2=m2+n2-2mn·cos∠F1PF2=(m+n)2-2mn-2mn·,
可得64=100-mn,得mn=.
故mn·sin∠F1PF2=.故选C.
16.B 设点P的坐标为(m,n),-3≤m≤3,有n2=5-,
|PQ|=.
故选B.
17.A ∵椭圆的方程为=1,
∴a=2,b=,c=3.
又点P在椭圆上且在第一象限,且线段PF1的中点M在y轴上,
∴点P的横坐标为c=3,将x=c代入椭圆方程=1中,
可得点P的纵坐标为.
∴点M的纵坐标为.故选A.
18. 由椭圆方程得a=3,b=2,
∴c=,∴|F1F2|=2c=2.
设|PF1|=x,由椭圆定义知|PF2|=2a-x=6-x.
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即x2+(6-x)2=20,解得x=2或x=4.
∵P为椭圆C在第一象限内的点,
∴|PF1|>|PF2|,即x>6-x,∴x>3.∴x=4.
∴tan∠PF1F2=.
19.解 (1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R,①
|CC2|=2+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
解得x=2,
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部,C2的外部),其轨迹方程为=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(x1,y1-),=(x2,y2-).
由=5可得,(x1,y1-)=5(x2,y2-),所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,
由P,Q是轨迹E上的两点,得解得
所以x1=0,y1=-3.
所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.
20. 由椭圆的方程得a=5,b=4,c=3.
∵△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上,∴|BC|+|AB|=2a=10,
∴由正弦定理可知.
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