2.2.3 直线的一般式方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]过点(2,1),斜率k=-2的直线的一般式方程为( )
A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0
C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0
2.[探究点二][2024浙江杭州高二校联考期末]过点A(2,3)且与直线l:2x-4y+7=0平行的直线方程是( )
A.x-2y+4=0
B.2x+y-7=0
C.2x-y-1=0
D.x+2y-8=0
3.[探究点二][2024澳门模拟]已知点A(3,-8)和B(-7,4).通过线段AB的中点并且垂直于3x-4y+14=0的直线方程为( )
A.4x+3y+14=0
B.3x+4y+14=0
C.3x-4y-14=0
D.4x-3y+14=0
4.[探究点二]已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为( )
A.-1或2 B.0或2
C.2 D.-1
5.[探究点二]若直线mx+4y-2=0与直线2x-y+n=0垂直,垂足为(1,p),则实数n的值为( )
A.-2 B.-4
C.10 D.8
6.[探究点二]已知直线Ax+By+C=0在x轴上的截距大于在y轴上的截距,则A,B,C应满足条件( )
A.A>B B.A
7.[探究点一]已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为 .
8.[探究点二][2024重庆云阳校级期末]已知直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x-ay+1=0,a∈R,若l1⊥l2,则a的值为 .
9.[探究点一]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
10.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为( )
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(-2,-2) D.(2,2)
11.已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为( )
A.0 B.2
C.4 D.
12.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则( )
A.AB>0,BC<0
B.AB<0,BC>0
C.AB>0,BC>0
D.AB<0,BC<0
13.(多选题)[2024福建莆田高二校考期末]已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:x-by+2=0,( )
A.若l1⊥l2,则=-3
B.若l1∥l2,则ab=3
C.若直线l1与坐标轴围成的三角形面积为1,则a=±
D.当b<0时,直线l2不经过第一象限
14.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为 .
15.直线l过原点,且与x-3y+2 022=0平行.若角α的终边落在直线l上,求.
C级 学科素养创新练
16.[2024湖南常德校考期末]已知直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R),直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A,B,当△AOB面积最小时,求直线l的方程.
答案：
1.D 由题可得,y-1=-2(x-2),即直线的一般式方程为2x+y-5=0.
2.A 设过点A(2,3)且与直线l:2x-4y+7=0平行的直线方程是2x-4y+C=0,将A(2,3)代入直线方程2x-4y+C=0,得2×2-4×3+C=0,解得C=8,故所求直线方程为2x-4y+8=0,即x-2y+4=0.故选A.
3.A 因为A(3,-8)和B(-7,4),所以线段AB的中点D,即D(-2,-2).
设与3x-4y+14=0垂直的直线方程为4x+3y+a=0,
将D点的坐标代入,可得4×(-2)+3×(-2)+a=0,
解得a=14,所以所求的直线的方程为4x+3y+14=0.
故选A.
4.D 由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0,
∴a=2或a=-1.
当a=2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去;
当a=-1时,l1∥l2.∴a=-1.
5.A 由已知得解得n=-2.
6.D 由已知得,A≠0,B≠0,C≠0,
令x=0,得直线在y轴上的截距为y=-;
令y=0,得直线在x轴上的截距为x=-.
因为直线Ax+By+C=0在x轴上的截距大于在y轴上的截距,则->-,即<0.故选D.
7.- 把(3,0)代入已知方程,得(a+2)×3-2a=0,
∴a=-6,∴直线方程为-4x+45y+12=0.
令x=0,得y=-.
8.-1 若l1⊥l2,
则(a-1)×1+2×(-a)=0,解得a=-1.
9.解 (1)当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距均为0,
∴a=2,此时直线l的方程为3x+y=0;
当直线l不过原点时,a≠2,直线l在x轴和y轴上的截距分别为,a-2,
∴=a-2,解得a=0或a=2(舍去),
∴直线l的方程为x+y+2=0.
综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
∵l不经过第二象限,
∴解得a≤-1.
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-1].
10.A 设B的坐标为(a,b),
由题意可知
解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A.
11.B 由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0,
∴a2+b2=4.
又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,
当且仅当a=b=±时,等号成立.
∴ab的最大值为2.故选B.
12.B 由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=->0,于是AB<0;
直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-<0,于是BC>0.
13.BCD 对于A,当l1⊥l2时,a+3b=0,解得=-3或a=b=0,故A错误;
对于B,当l1∥l2时,-ab+3=0,解得ab=3,故B正确;
对于C,在直线l1:ax-3y+1=0中,当x=0时,y=,当y=0时,x=-,所以直线l1与坐标轴围成的三角形面积为S==1,解得a=±,故C正确;
对于D,由题知当b<0时,l2:y=x+的大致图象如图所示,
故直线l2不经过第一象限,故D正确.
故选BCD.
14.4x+3y-12=0或4x+3y+12=0 由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0),
令y=0,得x=-,令x=0,得y=-,
则S==6,得c2=122,c=±12,
∴直线l的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0.
15.解 因为直线l过原点,且与x-3y+2 022=0平行,所以直线l的方程为x-3y=0,
当x>0时,取终边上的点(3,1),可得tan α=,
当x<0时,取终边上的点(-3,-1),可得tan α=,
所以若角α的终边落在直线l上,则tan α=,
=-.
16.解 由题意得5+2a≠0,则直线l的方程可化为=1,
则当x=0时,y=5+2a,当y=0时,x=,故
∴a+1>0,∴S△ABC=.
令a+1=t>0,则S△ABC=(4t++12)≥(2×+12)=12,
当且仅当4t=,即t=时,等号成立,则a=,此时直线l的方程为x+y-6=0,即3x+2y-12=0.
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