2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]如图,直线l的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
2.[探究点一]若经过A(3,m),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=( )
A.6 B.-6
C.4 D.-4
3.[探究点二][2024江苏连云港期末]设a为实数,已知过两点A(a,3),B(5,a)的直线的斜率为1,则a的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
4.[探究点三](多选题)已知直线斜率的绝对值为,则直线的倾斜角可以为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
5.[探究点三](多选题)[2024辽宁期末]如图,设直线l,m,n的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k2>k3
B.k2
6.[探究点三](多选题)[2024江苏如东期末]若经过点A(1-a,1+a)和点B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值不可能为( )
A.-3 B.-2
C.1 D.2
7.[探究点二][2024河北宣化校级月考]经过点A(-3,1)和点B(4,-2)的直线l的斜率是
.
8.[探究点三][2024江苏泰州月考]已知过点P(0,-1)的直线l与以点A(4,2),B(-3,1)为端点的线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为 .
9.[探究点二] [苏教版教材例题]如图,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),试计算直线l1,l2,l3的斜率.
10.[探究点三]如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率.
B级 关键能力提升练
11.[2024山东东昌府校级月考]已知两点A(-1,2),B(1,0),直线AB的方向向量为(2,k),则k=( )
A.1 B.-1
C.-2 D.2
12.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于( )
A. B.-
C.2 D.-2
13.(多选题)下列命题中,错误的是( )
A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
B.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
C.直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α
D.直线的倾斜角α∈或α∈(,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
14.已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为 .
15.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求:
(1)直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)直线l的斜率k的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.直线l的方向向量为(-1,2),直线l的倾斜角为α,则tan 2α的值是( )
A. B.-
C. D.-
答案：
1.C 由题图可知,直线l的倾斜角为.故选C.
2.C 由题意可得tan 45°=,即=1,解得m=4,故选C.
3.C 因为过两点A(a,3),B(5,a)的直线的斜率为1,
所以=1,解得a=4.故选C.
4.BC 由题意得直线的斜率为或-,故直线的倾斜角为60°或120°.
5.BCD 因为直线l,m,n的斜率分别为k1,k2,k3,
由图可得,直线l的斜率为正值,即k1>0,倾斜角为锐角;
而直线m,n的斜率为负值,倾斜角为钝角,且直线n的倾斜角大于直线m的倾斜角,则0>k3>k2,
故k1>k3>k2,故B,C正确,A错误.
由于直线m的倾斜角为钝角,直线l的倾斜角为锐角,
π减去直线m的倾斜角大于直线l的倾斜角,可得-k2>k1>0,故|k2|>k1,故D正确.
故选BCD.
6.AB 经过点A(1-a,1+a)和点B(3,a)的直线的斜率k=.
若倾斜角为钝角,则k<0,即<0,解得a>-2.
故实数a的值不可能为-3,-2.故选AB.
7.- 由斜率公式可得kAB==-.
8. 已知P(0,-1),A(4,2),B(-3,1),
可得kPA=,kPB==-.
要使得直线l与以点A(4,2),B(-3,1)为端点的线段AB相交,
则直线l的斜率k≤kPB或k≥kPA,
即k≤-或k≥,所以直线l的斜率k的取值范围为.
9.解 设k1,k2,k3分别表示直线l1,l2,l3的斜率,则k1=,k2==-4,k3==0.
10.解 l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=.
∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,
∴l2的斜率k2=tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=-.
11.C 因为A(-1,2),B(1,0),
所以直线AB的斜率为kAB==-1.
又直线AB的方向向量为(2,k),
所以=-1,解得k=-2.故选C.
12.A ∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,即ab=2a+2b,两边同除以ab,得1=,即.
13.ABC 直线的倾斜角α∈或α∈(,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=90°时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈[0,π)时,直线的倾斜角才是α,故C错误,故选ABC.
14.-2, 设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为α,则tan α=3,由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为α+45°,α-45°,
因为tan(α+45°)==-2,tan(α-45°)=,
所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为-2,.
15.解 (1)kPN==-,kPM==1,所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图,
所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°.
(2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
16.A ∵直线l的方向向量为(-1,2),
∴直线l的斜率等于-2,∴tan α=-2,tan 2α=.
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