2024届天津四中高考数学热身试卷
一、选择填空：本题包括9个小题，每小题5分，满分45分。
1.设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.下面四个条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4.少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.样本的众数为65 B.样本的第80百分位数为72.5
C.样本的平均值为67.5 D.该校学生中低于的学生大约为1000人
5.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A.470 B.490 C.495 D.510
7.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂。1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破。今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ）
A. B. C. D.6
8.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为.
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、本题包括6个小题，每小题5分，满分30分.
10.已知是虚数单位，若复数满足，则______.
11.的展开式中含项的系数为______.（用数字作答）
12.直线经过点，与圆：相交截得的弦长为，则直线的方程为______.
13.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示）
14.在四边形中，，，，，为的中点，，则______；设点P为线段CD上的动点，则最小值为______.
15.已知函数若存在，，，，满足，且，则的取值范围为______.
三、本题包括5个小题，满分75分。
16.（本题满分14分）
在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求角B的大小；
（2）设，.
（i）求的值；
（ii）求的值.
17.（本题满分15分）
如图，在三棱锥中，底面，.点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.
（1）求证：平面BDE；
（2）求点到直线的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由.
18.（本题满分15分）
已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去.
（1）求操作1次后桶中的水量；
（2）求操作次后桶中的水量；
（3）至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，）
19.（本题满分15分）
已知椭圆.
（1）求椭圆的离心率和长轴长；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.
20.（本题满分16分）
已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项；
（3）证明：，.
2024届天津四中高考数学热身试卷
答案和解析
1.【答案】D
解：，
由，得，，所以，
故选：D.
2.【答案】B
【解析】解：，，反之不一定成立.例如取，.
使成立的必要而不充分条件是.故选：B.
3.【答案】C
解：由可得，，
因为，，所以函数不是奇函数，也不是偶函数，
所以函数的图象不关于轴对称，A，D错误，又，B错误；
选项C满足以上要求.故选：C.
4.【答案】B
解：由频率分布直方图可得众数为67.5，A错误；
平均数为，C错误；
因为体重位于，，，的频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，
因为，，所以第80百分位数位于区间内，
设第80百分位数为，则，所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；样本中低于的学生的频率为，
所以该校学生中低于的学生大约为，D错误.故选：B.
5.【答案】D
解：由对数函数单调性可知：，
由指数函数单调性可知：，由幂函数单调性可知：
，所以，
故选：D.
6.【答案】A
解：注意到，且函数的最小正周期是3，
因此当是正整数时，
，其中，
，
故选A.
7.【答案】A
解：由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，
则该球半径，如图：
可知为四面体的外接球球心，，作平面，则为底面等边的中心，
设正四面体的棱长为，则，
在中，则，即，
解得，即.故选：A.
8.【答案】B
解：依题意，可知是一个等腰三角形，
在直线的投影是其中点，由勾股定理可知
根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，所以
所以双曲线渐近线方程为，即，
抛物线的准线方程为，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，的面积.
所以双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为.故选：B.
9.【答案】C
解：根据函数的部分图象，
可得，，.结合五点法作图，可得，
.
令，求得，可得的图象关于点对称，故①正确；
令，求得，为最小值，可得的图象关于直线对称，故②正确；
把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，故③错误；
若方程，即在上有且只有两个极值点，
，，求得，的最大值为，故④正确.
故选：C.
10.【答案】
解：，，，故答案为.
11.【答案】
解：，
故含项的系数为.故答案为：.
12.【答案】；
解：圆：，即，圆心为，半径，
因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为3，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，
则，解得，所以直线方程为，即，
综上可得直线方程为或.故答案为：或.
13.【答案】；
解：设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则；
设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，
根据题意得，，，，
则，
所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为.
故答案为；.
14.【答案】；
【详解】为的中点，，
，，，，
，
设，，，
，
时，取得最小值为.
故答案为：；.
15.【答案】
解：作出函数的图象，
如图所示，
因为，
所以，由图象可知，，，且，
则，，
由于在上单调递增，故，
所以的取值范围为.
16.（本题满分14分）
【答案】解：（1）由，
根据正弦定理得，
可得，因为，
故，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，且，
（i）则，即，解得（舍），，故.
（ii）由，得，
解得，则，
则，，则
.
17.（本题满分15分）
【答案】证明：（1）因为底面，，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，，
所以，，设为平面BDE的法向量，
则，即，取，解得，
又，可得，
又因为平面，所以平面；
解：（2）因为，
所以点到直线的距离；
（3）设，，则，设平面MNE的法向量为，
则，令，则，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
18.（本题满分15分）
【答案】解：记桶中的水量为，桶中的水量为，
（1）；
（2）根据题意可得：，
所以，所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，所以；
（3），
令，得，两边取对数，得，
故至少经过5次操作，才能使桶中的水量与桶中的水量之差小于.
19.（本题满分15分）
【答案】解：（1）由题意：，，所以.
因为，所以，，所以.
所以椭圆离心率为，长轴长为4.
（2）联立消整理得：.
因为直线与椭圆交于，两点，故，解得.
设，，则，.
设中点，则，
故.
假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，故，
所以，解得，故.
又因为，所以.
所以，即.
整理得.
所以，
代入，整理得，即.
当时，点坐标为；当时，点坐标为.
此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形.
20.（本题满分16分）
【答案】（1）解：的定义域为，
当时，，在上单调递减；
当时，令，又因为，可解得，
，，单调递增，
，，单调递减；
（2）证明：因为函数有两个零点，由（1）知，，
所以曲线在和处的切线分别是：，：，
联立两条切线得，
由题意得，
要证小于和的等差中项，即证，整理得，
即证，
令，即证，
令，
，所以在单调递减，所以，
所以得证.
综上：小于和的等差中项.
（3）证明：由（1）知当时，，
所以即，即当时，，
……
上述不等式相加得
即，.
