2025华师版九年级数学上册
期末综合能力测评卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.用公式法解一元二次方程3x2-4x=8时，化方程为一般式，其中的a，b，c依次为（ ）
A.3，-4，8 B.3，4，8 C.3，4，-8 D.3，-4，-8
2.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知=，则的值是（ ）
A. B. C.3 D.
4.已知△ABC的面积为12 cm2，底边为2 cm，则底边上的高为（ ）
A.3 cm B.6 cm C. cm D.12 cm
5.若关于x的方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A.2 B.1 C. D.-2
6.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，若（-tan A）2+=0，则△ABC是（ ）
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
8.如图，管中放置着三根同样的绳子AA1，BB1，CC1，小明先从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1，B1，C1三个绳头中随机选两个打一个结，则这三根绳子能连接成一根长绳的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地.已知BC=500 m，CD=50 m，∠A=45°，∠B=30°，则AB的长是（ ）
A.（300+250）m B.250（+）m C.250（1+）m D.500 m
10.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35为例说明，记载的方法是：如图，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5.则在下面四个构图中，能正确说明方程x2-5x-6=0解法的构图是（ ）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.从一副扑克牌中任意抽一张扑克牌，是红桃2，此事件是 事件. （填“必然”“随机”或“不可能”）
12.已知关于x的一元二次方程x2-8x-c=0有一个根为2，则c= .
13.若实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：+的结果为 .
14.我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角.如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且=，则tan A= .
15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E在线段BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE交线段CD于点F.以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，当点E从点B运动到点C时，点H运动的路径长为 .
三、解答题（共75分）
16.（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2的过程如下：
你认为她们的解法是否正确 若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
17.（8分）某校为积极响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率.
18.（9分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在方格纸的格点上.
（1）求证：△ABC与△DFE相似；
（2）若△DFE和△ABC是位似图形，请画出位似中心O；
（3）tan∠ABC的值是 .
19.（10分）某商场为了促销，规定顾客若一次性购物满100元，则可以通过转转盘获得奖品.如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1，2，3，4，5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自动停止.转动转盘一次，当转盘停止转动时，记下指针所指的数字，再转动一次并记下所指的数字（每次转动，若指向分界线，则重转一次），若两次转得的数字之和为10，则可获得一等奖；和为9，则可获得二等奖；和为8，则可获得三等奖；和为其他数字，无奖.
（1）用列表法或画树状图法求出转动两次转盘可能出现的所有结果；
（2）小丽同学一次性购物满100元，求她中奖的概率.
20.（10分）阅读下列材料，解答后面的问题：
+=-1；
++=2-1=1；
+++=-1；
…
（1）直接写出下一个等式： .
（2）计算+++…+（n为正整数，且n>1）= .
（3）计算（+…+）×（+）的值.
21.（10分）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”.为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行.某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出某段黄河的宽度（不能到对岸，此段黄河两岸平行）.如图，已知兴趣小组在A处测得河对岸岸边的一棵树B在东北方向，沿着正东方向前进100 m到达C处，此时测得树B在北偏东25°方向上.
（1）求这段黄河的宽度；（结果精确到1 m.参考数据：sin 25°≈0.42， cos 25°≈0.91， tan 25°≈0.47，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14）
（2）兴趣小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量方案，画出图形，并作出简要说明.
22.（11分）如图，四边形ABCD为正方形，E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点.
（1）求证：△BGC∽△DGF.
（2）求证：DG·AB=DF·BG.
（3）若点G是DC中点，求的值.
23.（11分）阅读材料：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，故解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意.
以上都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养.
例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x-2）=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解.
（1）问题：方程6x3+14x2-12x=0的解是x1=0，x2= ，x3= .
（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解.
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21 m，宽AB=8 m，点P在AD上（AP>PD），小华把一根长为27 m的无弹性绳子一端固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C（固定点处的绳长忽略不计），求AP的长.
参考答案与解析
1.D ∵3x2-4x=8，∴3x2-4x-8=0，则a=3，b=-4，c=-8.
2.B =2，=2，=3，=4.
3.D ∵=，∴=，∴=-1=-1=.
4.B ∵S△ABC=12 cm2，底边为2 cm，∴底边上的高为12×2÷2=6（cm）.
5.D 根据题意得Δ=（-1）2-4m>0，解得m<，∴m的值可以为-2.
6.A 由题意得，∴∴∠C=60°，即∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.
7.C 选项A中，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；选项B中，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；选项C中，阴影部分的三角形与原三角形有两对边成比例，但成比例的两边的夹角不一定相等，故两三角形不一定相似；选项D中，阴影部分的三角形与原三角形的两边成比例且夹角相等，故两三角形相似.
8.C 画树状图如下，共有9种等可能的结果，其中这三根绳子能连接成一根长绳的结果数为6，∴这三根绳子能连接成一根长绳的概率为=.
9.A 如图，分别过点C，D作CN⊥AB，DM⊥AB垂足分别为点N，M，在Rt△BCN中，∠CBN=30°，BC=500 m，∴CN=BC=250 m=DM，BN=BC=
250 m.在Rt△ADM中，∠DAM=45°，DM=250 m，∴AM=DM=250 m，∴
AB=AM+MN+BN=250+50+250=（300+250）m.
10.D 方程x2-5x-6=0，即x（x-5）=6的拼图如图所示，中间小正方形的边长为x-（x-5）=5，其面积为25，大正方形的面积为（x+x-5）2=4x（x-5）+25=4×6+
25=49，其边长为7，因此D选项所表示的图形符合题意.
11.随机
12.-12 将x=2代入x2-8x-c=0，得22-8×2-c=0，解得c=-12.
13.1 结合数轴上实数a的位置，可知0
=1-a+a=1.
14. 如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D∵=，∴设BC=
a，AC=2a.∵∠A，∠ABC互为半余角，∴∠DCB=∠A+∠ABC=45°.在Rt △CDB中，BD=BC·sin 45°=a×=a，CD=BC·cos 45°=a×=a.∵AC=2a，∴AD=AC+CD=2a+a=3a.在Rt △ABD中，tan A===.
15. 如图1，连接CH，设BE=FH=m.易证△ABE∽△BCF，∴=，即=，∴FC=，∴tan∠HCF===2，∴∠HCF的度数不变.当点E与点B重合时，点H与点C重合；当点E与点C重合时，如图2，此时HF=BC=2，∴FC=1，∴
HC==.故点H运动的路径长为.
16.解：小敏：×；小霞：×.（“×”打在题框内）（2分）
移项，得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得（x-3）（3-x+3）=0.
则x-3=0或3-x+3=0，解得x1=3，x2=6.（6分）
17.解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得，128+128（1+x）+128（1+x）2=608，化简得4x2+12x-7=0，
∴x1=0.5=50%，x2=-3.5（不符合题意，舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50%.（8分）
18.（1）证明：根据题图及勾股定理得，
AB=3，AC==，BC==5，
DF=6，DE==2， EF==10，（3分）
∴===∴△ABC∽△DFE.（5分）
（2）解：位似中心O如图所示.（6分）
（3）解：（9分）
19.解：（1）列表如下.
（5分）
（2）由（1）中的表格可知，共有25种等可能的结果，其中和为8，9或10的结果共有6种，故P（小丽中奖）=.（10分）
20.解：（1）++++=-1.（3分）
（2）-1（6分）
（3）原式=（-）×（+）=2 122-100=2 022.（10分）
21.解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为点D.（1分）
由题知∠BAD=45°，∠BCD=90°-25°=65°，∴∠ABD=45°.（2分）
设BD=x，则AD=x，CD=AD-AC=x-100.（3分）
在Rt△BCD中，BD=CD·tan 65°，即x≈（x-100）×2.14，（5分）
∴x≈188.
答：这段黄河的宽度约为188 m.（6分）
（2）如图，点A在点B的正北方向，在河岸任选一点C，作CE⊥BC，AE交BC于点D.测量CE，CD，BD的长度，通过相似可得河的宽度AB.（方案合理即可）（10分）
22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC.
∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∴∠BCD=∠GFD.
∵∠BGC=∠FGD，∴△BGC∽△DGF.（3分）
（2）证明：∵△BGC∽△DGF，∴=，∴DG·BC=DF·BG.
∵AB=BC，∴DG·AB=DF·BG.（6分）
（3）解：∵△BGC∽△DGF，∴∠FDG=∠CBG.
在△BGC与△DEC中，∴△BGC≌△DEC，∴CG=EC.
∵G是CD的中点，∴CG=DG，∴GF∶CE=GF∶DG.
∵△BGC∽△DGF，∴GF∶DG=CG∶BG.
在Rt△BGC中，设CG=x，则BC=2x，BG=x，
∴CG∶BG=，∴GF∶CE=.（11分）
23.解：（1）-3 （2分）
方程6x3+14x2-12x=0，因式分解，得2x（3x2+7x-6）=0，∴2x=0或3x2+7x-6=0，
∴x1=0，x2=-3，x3=.
（2）将方程=x的等号两边同时平方，得2x+3=x2，
即x2-2x-3=0， 解得x1=3，x2=-1，
经检验，当x=-1时，==1≠-1，因此x=-1不是原方程的解，（4分）
∴方程=x的解是x=3.（5分）
（3）设AP的长为x m，则PD的长为（21-x）m，
由题意得，BP+CP=27，BP=，CP=，
∴+=27，∴=27-，
等号两边同时平方，得（21-x）2+82=729-54+82+x2.（8分）
整理，得48+7x=9，等号两边同时平方并整理，得x2-21x+90=0，
解得x1=15，x2=6，经检验，x1=15，x2=6都是原方程的解.
∵AP>PD，∴x=6不合题意，舍去.
答：AP的长为15 m.（11分）
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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