2025沪科版九年级数学上册
九年级上册综合测评卷
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
分数
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.若△ABC∽△DEF,且周长比为4∶9,则AC∶DF等于 ( )
A. 4∶9 B. 16∶81 C. 3∶5 D. 2∶3
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则sin B= ( )
A. B. 2 C. D.
3.在同一平面直角坐标系中,抛物线y=2x2,y=x2,y=-x2的共同特点是 ( )
A. 开口向上 B. 顶点相同 C. y随x增大而增大 D. 有最大值
4.在△ABC中,∠A,∠C都是锐角,且sin A=cos (90°-C)=,则△ABC的形状是 ( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形
5.已知点(-3,m),(-5,n)在反比例函数y=(a为常数)的图象上,则下列说法正确的是 ( )
A. m＜n B. m=n C. m＞n D. m,n的大小无法确定
6.如图,在△ABC中,∠A=80°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是 ( )
A B C D
7.如图,已知窗户高AB=m米,窗户外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=n米.当太阳光线与水平线成α角时,光线刚好不能直接射入室内,则m,n满足的关系式是 ( )
A. n=mtan α-0.2 B. n=mtan α+0.2 C. m=ntan α-0.2 D. n=mcos α+0.2
8.某市举行中学生党史知识竞赛,如图,用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则这四所学校在这次党史知识竞赛中优秀人数最多的是 ( )
A. 丙 B. 乙 C. 甲 D. 丁
9.已知二次函数y=x2-x+n(n为常数)的图象如图所示,图象与x轴的交点横坐标从左到右依次为x1,x2,秦岭四宝们在一起探究该函数的图象与性质,下框是它们探究的结果.结合它们的探究结果分析,如果当x=m时,y<0,那么当x=m-1时,y的取值范围是 ( )
A. y<0 B. 0
10.由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形,且∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.
若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为 ( )
A. ()3 B. ()7 C. ()6 D. ()6
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是(-1,0),(3,0),则此抛物线的对称轴是直线 .
12.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点都是格点,则cos∠ABC= .
(第12题) (第13题) (第14题)
13.如图,点A,B分别是双曲线y=和y=第一象限分支上的点,且AB∥y轴,BC⊥y轴于点C,则AB·BC的值是 .
14.如图,折叠矩形ABCD的∠B,使得点B的对应点E落在对角线AC上,折痕为MN,点M,N分别在边AB,BC上.
(1)若∠AME=90°,则四边形MBNE的形状是 ;
(2)过点E作EF⊥AD,垂足为点F.若AB=1,BC=2,∠AEM=90°,则EF= .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.已知a,b,c为△ABC的三边长,且a+b+c=48,==,求△ABC三边的长.
16.在平面直角坐标系中,点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限,若反比例函数图象经过其中两点,求反比例函数的表达式.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图(1),在8×8方格纸中,△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上,按要求画一个三角形,使它的顶点都在方格的顶点上.
(1)请在图(2)中画一个三角形,使它与△ABC相似,且相似比为2∶1;
(2)请在图(3)中画一个三角形,使它与△ABC相似,且相似比为∶1.
图(1) 图(2) 图(3)
18.如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=4,求△CEF的面积.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示,当0≤x<10和10≤x<20时,图象是线段;当20≤x≤45时,图象是反比例函数图象的一部分.
(1)求点A对应的指标值.
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36 请说明理由.
20.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是线段AD上一点,且=,∠BAD=∠ECA.
(1)求证:AC2=BC·CD.
(2)若AD是△ABC的中线,求的值.
六、(本题满分12分)
21.图(1)是测温员用“测温枪”对小红测温时的实景图,图(2)是其侧面示意图,其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上,枪身BA与额头保持垂直.量得胳膊MN=28 cm,MB=42 cm,肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度),枪身BA=8.5 cm.
(1)求∠ABC的度数;
(2)测温时规定枪身端点A与额头的距离范围为3~6 cm.在图(2)中,若测得∠BMN=68.6°,小红与测温员之间的距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内,并说明理由.(结果保留小数点后一位)
(参考数据:sin 66.4°≈0.92,cos 66.4°≈0.40,sin 23.6°≈0.40,≈1.41)
图(1) 图(2)
七、(本题满分12分)
22.某城门的截面由一段抛物线和一个正方形(OMNE为正方形)的三条边围成,已知城门宽4米,最高处距地面6米.如图(1),以点O为原点,OM所在的直线为x轴,OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求上半部分抛物线对应的函数表达式,并写出其自变量的取值范围.
(2)宽3米,高4.5米的消防车能否通过该城门 请说明理由.
(3)为营造节日气氛,需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD,该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称,如图(2)所示,其中AB,AD,CD为三根承重钢支架,A,D在抛物线上,B,C在地面上.已知钢支架每米70元,则搭建这样一个矩形“装饰门”,仅钢支架一项,最多需要花费多少元
图(1) 图(2)
八、(本题满分14分)
23.如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,且交x轴于点C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P为抛物线上一点,且点P在直线AB的下方,设点P的横坐标为m.
①试求当m为何值时,△PAB的面积最大.
②当△PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,则在直线PD上是否存在点Q,使△QBC为直角三角形 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
九年级上册综合测评卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B D A C C A D C
11.x=1 12.
13.3 14.(1)正方形 (2)
1.A 【提示】相似三角形的周长比等于相似比
2.C 解法一 ∵∠C=90°,tan A=2,∴BC=2AC,∴AB==AC,∴sin B===.
解法二(特殊值法) ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,∴令BC=2,AC=1,∴AB=,∴sin B===.
3.B
4.D ∵sin A=cos (90°-C )=,∴∠A=45°,90°-∠C=45°,∴∠C=45°,∴∠B=90°,即△ABC为直角三角形.
5.A ∵a2+1≥0，∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限,且在每一象限内,y随x的增大而减小.∵点(-3,m),(-5,n)在反比例函数y=(a为常数)的图象上,且-5<-3<0,∴m
7.C 由题意知,CB=CA+AB=(m+0.2)米.∵光线与水平线成α角,∴∠BDC=α.∵tan∠BDC=,∴CB=ntan α,即m+0.2=ntan α,即m=ntan α-0.2.
8.A 根据题意可知,xy的值表示优秀人数.∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,∴乙、丁两所学校的优秀人数相同.∵描述丙学校情况的点在反比例函数图象的上方,∴丙校的xy的值最大,即优秀人数最多.
9.D 把x=m代入y=x2-x+n中,得y=m2-m+n=m(m-1)+n.∵当x=m时,y<0,∴m(m-1)+n<0.由图象可知,m>0,且当x=0时,y=n>0,∴m(m-1)<0,∴m-1<0，由图象可知,当x<时,y随x增大而减小,∴当x=m-1时,y>n.
10.C 解法一 在Rt△AOB中,∠AOB=30°,cos∠AOB=,∴OB=OA,同理可得,OC=OB=()2OA,…,易得OG=()6OA.由题意可知,△GOH与△AOB位似,且相似比为()6.∵S△AOB=1,∴S△GOH=[()6]2×1=()6.
解法二 由题意可得,△GOH与△AOB位似.在Rt△AOB中,tan 30°==,cos 30°==, ∴AB=OA,OB=OA,∴S△AOB=OA·AB=OA2.在Rt△BOC中,同理可得,BC=OB=OA,∴S△BOC=OB·BC=OA2=S△AOB,…,∴易得S△GOH=()6S△AOB.又S△AOB=1,∴S△GOH=()6×1=()6.
11.x=1 ∵y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是(-1,0)和(3,0),∴抛物线的对称轴为直线x==1.
12. 过点A向BC边作垂线,与BC的延长线交于点D.(特殊值法)设每个小正方形的边长为1,则在Rt△ABD中,BD=4,AB==2,
cos∠ABC===.
13.3 如图,延长AB交x轴于点D,过点A作AE⊥y轴于点E,∵AB∥y轴,BC⊥y轴,∴四边形ADOE,ABCE,BDOC都是矩形.∵点A,B分别是双曲线y=和y=第一象限分支上的点,∴矩形ADOE的面积为4,矩形BDOC的面积为1,∴矩形ABCE的面积为4-1=3,∴AB·BC=3.
14.(1)正方形 (2) (1)由折叠的性质可知∠MEN=∠MBN=90°.∵∠AME=90°,∴∠BME=90°,∴四边形MBNE是矩形.又MB=ME,∴四边形MBNE是正方形.(2)如图,当∠AEM=90°时,易证△AEM∽△ABC,∴=.∵AB=1,BC=2,∴MB=ME=2AE,由此易得AM=AE,∴AB=AM+MB=
AE+2AE=(+2)AE=1,∴AE=-2.∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD,∴=,∴EF==.
15.【参考答案】(设参法)设===x,
∴a=3x,b=4x,c=5x.
∵a+b+c=48,
∴3x+4x+5x=48,
解得x=4,
∴a=3x=12,b=4x=16,c=5x=20.
即△ABC三边的长分别为12,16,20. (8分)
16.【参考答案】∵点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限,点A(-2,1)在第二象限,
∴点C(-6,m)一定在第三象限.
∵B(3,2)在第一象限,反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点,
∴反比例函数y=(k≠0)的图象经过B(3,2),C(-6,m),
∴k=3×2=6,
∴反比例函数的表达式为y=. (8分)
17.【参考答案】(1)如图(1)所示,△A1B1C1即为所求; (4分)
(2)如图(2)所示,△A2B2C2即为所求. (8分)
图(1) 图(2)
18.【参考答案】由题意知,CD=AB=6,BC=AD=9,AB∥CD,AD∥BC,∠BAF=∠DAF.
∵AB∥DF,
∴∠BAF=∠F,
∴∠DAF=∠F,
∴DF=AD=9,∴CF=3. (3分)
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠CEF=∠AEB.
∵∠BAF=∠DAF,∴∠AEB=∠BAF,
∴AB=BE.
∵在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=4,
∴AG==2, (5分)
∴AE=2AG=4,
∴S△ABE=·AE·BG=×4×4=8.
∵AB∥CF,
∴易得△CEF∽△BEA,
∴=()2=,
∴S△CEF=2. (8分)
19.【参考答案】(1)设当20≤x≤45时,反比例函数的表达式为y=(k≠0),
将C(20,45)代入得45=,
解得k=900,
∴反比例函数的表达式为y=(20≤x≤45).
当x=45时,y==20,
∴D(45,20),
∴A(0,20),即点A对应的指标值为20. (4分)
(2)能. (5分)
理由:设当0≤x<10时,线段AB所在直线的表达式为y=mx+n(m≠0),将A(0,20),B(10,45)代入,
得解得
∴线段AB所在直线的表达式为y=x+20(0≤x<10).
当y≥36时,x+20≥36,
解得x≥.
由(1)得反比例函数的表达式为y=(20≤x≤45),
当y≥36时,≥36,
解得x≤25,
∴当 ≤x≤25时,注意力指标都不低于36.
∵25-=>17,
∴张老师能经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36. (10分)
20.【参考答案】(1)证明:∵=,∠BAD=∠ECA,
∴△BAD∽△ACE,
∴∠B=∠EAC.
∵∠ACB=∠DCA,
∴△ABC∽△DAC,
∴=,
∴AC2=BC·CD. (5分)
(2)(转化思想)∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠CED=∠EAC+∠ECA，
由(1)可知∠B=∠EAC,∠BAD=∠ECA,
∴∠ADC=∠CED,
∴CE=CD.
∵AD是△ABC的中线,
∴BC=2CD,
∴BC=2CE.
由(1)得AC2=BC·CD,
∴AC2=2CE·CE,
∴()2=,
即=(负值已舍去). (10分)
21.【参考答案】(1)如图,过点B作BK⊥MP于点K,由题意可知四边形ABKP为矩形.
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm).
在Rt△BMK中,cos∠BMK===0.4,
∴∠BMK≈66.4°. (2分)
∴∠MBK=90°-66.4°=23.6°.
∴∠ABC=23.6°+90°=113.6°.
答:∠ABC的度数约为113.6°. (5分)
(2)如图,延长PM交FG于点H,由题意得∠NHM=90°.
∵∠BMN=68.6°,∠BMK=66.4°,
∴∠NMH=180°-68.6°-66.4°=45°. (6分)
在Rt△MNH中,cos∠NMH==,
∴HM=28×≈14×1.41=19.74(cm).
∴枪身端点A与小红额头的距离为50-19.74-25.3=4.96≈5.0(cm). (10分)
∵3<5.0<6,
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内. (12分)
22.【参考答案】(1)由题意知,抛物线的顶点坐标为(2,6),E(0,4),N(4,4),M(4,0).
设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+6(a≠0).
∵抛物线经过点E(0,4),
∴4=4a+6,
解得a=-,
∴上半部分抛物线对应的函数表达式为y=-(x-2)2+6,
即y=-x2+2x+4(0≤x≤4). (4分)
(2)当消防车走最中间时,进入的可能性最大,=,
当x=时,y=-×+2×+4=4.875>4.5,
∴消防车能通过该城门. (8分)
(3)设OB为m 米,钢支架总长度为L米,
由题意知AD=BC=(4-2m)米,AB=米,
∵点A在抛物线上,OB=m米,
∴yA=-m2+2m+4,
∴=-m2+2m+4,
即L=-m2+2m+12(0≤m<2).
∵a=-1<0,
∴当m=1时,L最大==13.
13×70=910(元).
答:仅钢支架一项,最多需要花费910元. (12分)
23.【参考答案】(1) 对于直线y=x-3,
令x=0,得y=-3;令y=0,得x=6.
∴A(6,0), B(0,-3). (2分)
将点A,B的坐标分别代入y=x2+bx+c,
得
解得
故抛物线的表达式为y=x2-x-3. (6分)
(2)①由题易知P(m,m2-m-3).
如图,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,
则E(m,m-3), (8分)
∴PE=m-3-(m2-m-3)=-m2+2m,
∴S△PAB=PE·OA= ×(-m2+2m)×6=-(m-3)2+9. (10分)
∵点P在直线AB下方的抛物线上,
∴0
②存在,点Q的坐标为(3,)或(3,-). (14分)
解法提示:易得C(-,0).
设Q(3,n),则CQ2=()2+n2,BC2=9+,
BQ2=9+(n+3)2.
分以下三种情况讨论.
a.当∠QCB=90°时,有CQ2+BC2=BQ2,
即()2+n2+9+=9+(n+3)2,
解得n=;
b.当∠CBQ=90°时,有BC2+BQ2=CQ2,
即9++9+(n+3)2=()2+n2,
解得n=-;
c.当∠CQB=90°时,有CQ2+BQ2=BC2,
即()2+n2+9+(n+3)2=9+,
该方程无解.
综上可知,点Q的坐标为(3,)或(3,-).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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