北京市第六十六中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
2. 在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（）
A B.
C. ，， D.
3. 如图，在平行四边形中，平分交边于E，，，则的长为（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5. 下列命题正确的是（）．
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6. 关于函数，下列结论正确的是（）
A. 函数图象过点 B. 函数图象经过第二、四象限
C. y随x的增大而增大 D. 不论x为何值，总有
7. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8. 如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 函数中，自变量取值范围是_____．
10. 已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，6），则k=________．
11. 如图，公路与互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，的长为，则C，M两点间的距离为_____．
12. 如图，菱形ABCD中，若BD=24，AC=10，则AB的长等于________，该菱形的面积为____________．
13. 如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为________．
14. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接，那么的长是_____．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的坐标是_____．
16. 已知a，b为正数，且，则的最小值为___．
三、解答题（本题共68分，第17题16分，第18、19题每题6分，第20题7分，第21题8分，第22题8分，第23题7分，第24题10分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
19. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：
求作：菱形ABCD作法：
①作线段AC；
②作线段AC垂直平分线l，交AC于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接AB、BC、CD、DA，所以四边形ABCD为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
……
∴四边形ABCD为菱形 （填推理的依据）．
20. 如图，在菱形中，延长到点E，使，延长到点F，使，连接、、、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形周长．
21. 已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，AC为对角线，AC⊥BC.
（1）求证：四边形AECD是菱形.
（2）若∠DAE=60°，AE=2，求菱形AECD的面积.
22. 按要求画出图形：
（1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：
在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形；
在图2中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4、、；
请你判断这个三角形___________直角三角形（填“是”或“不是”）．
（2）如图3，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．
①直接写出点B的坐标为___________；
②画出以A、B、O及合适第四个点C为顶点的所有平行四边形．
23. 阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式；
乙的解答：原式．
（1）你认为___________的解答是错误的；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质___________；
（3）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
24. 四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且，过点C作，且．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N.
（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．
求证：①；
②；
（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求与的和的度数．
四、选做题（本题共10分，每题5分）
25. 如图1，将边长为1的正方形压扁为边长为1的菱形，在菱形中，的大小为α，面积记为S．
（1）请补全表格：
α 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
S
1
（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为．例如：当时，；当时，．由表格可以归纳出（___________）．
（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，，，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由．（注：可以利用（2）中的结论）
26. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点．例如，图1中的P，Q两点即为和谐点．
（1）已知点．
①在点中，点A的和谐点是___________；
②若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，则点B的坐标是___________；
（2）已知点，点，连接，点M为线段上一点．
①经过点且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，则n的取值范围是___________；
②若点，点，在以线段为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点K，使得M，K两点为和谐点，则m的取值范围是___________．
北京市第六十六中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 【答案】A
2. 【答案】C
3. 【答案】B
4. 【答案】B
5. 【答案】D
6. 【答案】B
7. 【答案】C
8. 【答案】D
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 【答案】
10. 【答案】3
11. 【答案】5
12. 【答案】 ①. 13 ②. 120
13. 【答案】
14. 【答案】1
15. 【答案】
16. 【答案】
三、解答题
17. 解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
18. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
19. （1）如图，四边形ABCD所作；
（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．
故答案为:对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
20. （1）证明：四边形是菱形，
，
，
四边形ACEF是平行四边形；
；
四边形ACEF是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形；
，，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，
四边形的周长=．
21. （1）证明：∵E为AB的中点
∴AB=2AE，
∵AB=2CD，
∴AE=CD，
又∵AB∥CD，
∴AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵E为AB的中点，
∴,，
∴CE=AE，
所以平行四边形AECD是菱形；
（2）解：过点C作CF⊥EB交EB于点F.
∵四边形AECD是菱形，
∴AD∥EC，AE=CE，
∴∠DAE=∠1，
∵∠DAE=60°，AE=2，
∴∠1=60°，CE=2，
∵CF⊥EB，
∴∠CFE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴，
，，
∴.
22.（1）解：∵正方形的面积为8，
∴正方形的边长为，
则面积为8的正方形，
如图1所示，即为所求；
解：为所求作的三角形，如图2所示：
，，，
∵，
∴这个三角形不是直角三角形；
（2）①∵是两直角边长分别为1和3的斜边，，
∴也是两直角边长分别为1和3的斜边，
∴，
故答案为：；
②以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形如图3所示：
23. （1）解：∵，
∴，
∴
，
∴甲的解答是错误的；
故选：甲；
（2）解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质，
故答案为：；
解：
，
∵，
∴，，
∴原式．
24. （1）证明：①在正方形ABCD中，
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴.
②∵M是AF的中点，
∴，
由①可知.
∵.
∵
∴
∴
（2）解：延长AD至H，使得，连结FH，CH.
∵，
∴.
在正方形ABCD中，AC是对角线，
∴.
∴.
∴.
∴
又∵，
∴.
∴
∵M是AF的中点，D是AH的中点，
∴.
∴
∴
四、选做题（本题共10分，每题5分）
25. (1)解：依题意，，
，
，
，
，
；
故答案为：，，，，；
（2）解：，，，，
，
故答案为：；
（3）解：∵、是两块相同的等腰直角三角板，，
，，
，即，图中两个带阴影的三角形都是等腰三角形，且两个等腰三角形的腰相等，
，
图中两个带阴影的三角形面积相等．
26. (1)解：①∵点，
∴，
点中，，
∴点A的和谐点是；
故答案为：．
②∵点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，
∴B点的横坐标为0，
设，
∴，
∴，
∴点B的坐标为或，
故答案为：或．
(2)解：①由题意，点，点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为：，
点M在线段上，设其坐标为，则，且．
∴点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，
∴．
∴点M的和谐点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．
即点N在图中所示的正方形上．
∵点E的坐标为，点N在直线上，
∴．
故答案为：．
②依题意，以线段为斜边的等腰直角三角形，点K，为直角三角形的顶点，如图所示，
则四边形是正方形，
∴当正方形与正方形有交点时，符合题意，
∴或，
即或，
故答案为：或．
