上杭一中2023-2024第二学期高二数学5月月考卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
X 1 2 3
P
1．已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望（ ）
B．2 C． D．3
2．已知在某次乒乓球单打比赛中，甲 乙 丙 丁四人进入半决赛.将四人随机分为两组进行单打半决赛，每组的胜出者进行冠军的争夺.已知四人水平相当，即半决赛每人胜或负的概率均为.若甲 丙分在一组，乙 丁分在一组，则甲 乙两人在决赛中相遇的概率为（ ）
10 18
26
A． B． C． D．
假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为
和，其列联表为：
则当取下面何值时，与的关系最弱（ ）
A．8 B．9 C．14 D．19
4．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．右图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（ ）
B． C． D．
8．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于概率统计，下列说法中正确的是（ ）
A．两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强
B．某人解答5个问题，答对题数为X，若，则
C．若一组样本数据（，2，3，…，n）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.56
D．已知，若，则
10．如图，正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（ ）
A．正四棱台的体积为 B．平面平面
C．平面 D．二面角的正弦值为
11．已知函数满足（为的导函数），且在处的切线倾斜角小于，则（ ）
A． B．
C．有且仅有1个零点 D．有且仅有1个极值点
三、填空题（每题5分，共15分，双空题第一空2分，第二空3分）
12．已知向量，且，则 ．
13．中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子100次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于60的概率为 ．（保留小数点后四位）附：若随机变量服从正态分布，则，，．
14．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，则点Q移动次后仍在底面ABCD上的概率为 ；点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 .
四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分）
15．某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年收入（千元） 59 61 64 68 73
(1)（7分）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)（6分）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
16．如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．
(1)（7分）证明：；
(2（8分）)若，求平面与平面所成角的正弦值．
17．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.
(1)（7分）求和.
(2)（8分）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立
未建立
合计
参考公式及数据：，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
18.如图，是半圆的直径，为中点，，直线，点为上一动点（包括两点），与关于直线对称，记为垂足，为垂足．（注：为弧度制的角）
(1)（8分）记的长度为，线段长度为，试将表示为的函数，并判断其单调性；
(2)（9分）记扇形的面积为，四边形面积为，求的值域．
19．对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知．
(1)（7分）设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间；
(2)（10分）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围．
高二数学5月月考试卷参考答案：
1.A 2．B 3．C 4．C 5．C
【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，曲线在点处切线的斜率为与在x=0处的斜率互为相反数，所以为2
6．A【详解】令，因为，
所以为偶函数．，
因为当时，，，此时，
所以在上单调递增．
因为，，，
因为，，，
所以，所以，即．
7．A（也可以建立空间直角坐标系解决）
【详解】由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形为边长为1的菱形，又≌，所以，故四边形为正方形，同理四边形也为正方形．
取的中点，连接，则，
同理，
．
8．B【详解】记函数，首先证明其凹凸性：
，
在上为“凹函数”.
由琴生不等式，得，
即.所以，
即当时，取最小值，所以.
9．BD 10．BC【详解】对于A， 正四棱台的体积为，故A错误；
对于B，如图，连接、相交于，连接，相交于，连接
正四棱台的底面为正方形，则，且底面，
又底面，所以，
因为，，则平面，
又平面，所以平面平面，故B正确；
对于C，以为原点，、、所在的直线分别为，，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，
设平面的法向量为，由于，，
则，令，所以
所以
又平面，所以平面，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，由于，，
则，令，所以
设平面的法向量为，由于，，
则，令，所以
因为底面，所以作为平面的一个法向量
所以，故，
故面角的正弦值为，故D错误.
11．BCD【详解】，
由，得，
所以，即，
所以，故A错误；
则，，
因为在处的切线倾斜角小于，
所以，所以，故B正确；
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，无极大值点，故D正确，
，
又当时，，，
所以函数仅有唯一零点，故C正确.
12． 13．
【详解】由题意,随机变量，其中
所以，
又因为且，由中心极限定理可知服从正态分布，
故答案为:.
14．
【详解】记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为.
在正方体中，每一个顶点有个相邻的点，其中两个在同一底面，
当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为；
当点在上底面时，随机移动一次在下底面的概率为.
所以，.
依题意可知，
所以，
所以是首项为为首项，公比为的等比数列，
所以， 所以.
15．(1) (2)拟合效果符合要求，理由见解析
【详解】（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：
，，
设，则，所以，
则，.
所以，回归方程为.
（2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
16．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）∵四边形为矩形，∴，
∵平面，平面，∴，
又， 平面，∴平面，
又平面，∴．
∵，点E是的中点，∴．
又， 平面，∴平面．
平面，∴．
又，,平面，∴平面，
平面，∴．
（2）如图，因两两垂直，
故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，．
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，
可看成平面的一个法向量．
设平面与平面的所成角为，
∴，∴，
∴平面与平面所成角的正弦值为．
17．(1)， (2)表格见解析，有关；
【详解】（1）因为，，
所以，，
由于，解得，所以.
，解得.
（2）
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
零假设为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.
根据列联表中的数据，经计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
18．(1)在上单调递减(2)的值域为
【详解】（1）因，则由题意知，
由题意可得，，圆半径为1，所以，
又，
所以，则恒成立，
所以在上单调递减.
（2）由题意可得，
因为，所以四边形为矩形，
于是，
所以，其中，
求导得，
令得，即，
则可得如下表格：
极小值
由表可知当时，，，
所以的值域为.
19．(1)单调递增区间为，递减区间为；(2).
【详解】（1）由为“的可移倒数点”，得，
即，整理，即，解得，
由的定义域为R，求导得，
当时，单调递增；时，单调递减；
时，单调递增，
所以的单调递增区间为，递减区间为．
（2）依题意，，
由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，
①当时，，方程可化为，解得，
这与不符，因此在内没有实数根；
②当时，，方程可化为，
该方程又可化为．
设，则，
因为当时，，所以在内单调递增，
又因为，所以当时，，
因此，当时，方程在内恰有一个实数根；
当时，方程在内没有实数根．
③当时，没有意义，所以不是的实数根．
④当时，，方程可化为，
化为，于是此方程在内恰有两个实数根，
则有，解得，
因此当时，方程在内恰有两个实数根，
当时，方程在内至多有一个实数根，
综上，的取值范围为．
