2023-2024学年华师大版八年级（下）期末数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
在《数据分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组7位同学的成绩分别是92，88，95，93，96，95，94．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．94，94 B．94，95 C．93，95 D．93，96
用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）
A． B． C． D．
分式方程=1的解为（ ）
A．x=﹣2 B．x=﹣3 C．x=2 D．x=3
某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．0
甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450，②b＝150，③甲的速度为10米/秒，④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4+2 B．6+2 C．4+4 D．6+4
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在函数中，自变量x的取值范围是 ．
方程＝1的解是 ．
学校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班的平均得分是 分．
反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），那么这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______°．
已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于 ．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算（﹣1）×2++（）﹣1．
刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？
某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L。设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）。
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程.
如图，点分别在菱形的边，上，且．
求证：．
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 a b 2
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 分，
（2）a＝ ，b＝ ，
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元，若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．
（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式，
（2）结合图象直接写出不等式组0＜＜kx+b的解集．
已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
答案解析
1 、选择题
【考点】分式的加减
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
【考点】众数；中位数．
【分析】先将数据重新排列，再根据中位数、众数的定义就可以求解．
解：这组数据重新排列为：88、92、93、94、95、95、96，
∴这组数据的中位数为94，众数为95，
故选：B．
【点评】本题主要考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数，难度适中．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】有工作总量2640，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用2小时输完”．等量关系为：甲用的时间＝乙用的时间﹣2×60．
解：乙每分钟能输入x个数据，
根据题意得：＝﹣2×60．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y与x的函数关系式．
解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质
【分析】延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．
解：如图，延长EG交AB于H，
∵∠BMF=∠BGE=90°，
∴MF//EH，
∴∠BFM=∠BHE，
∵，
∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，
∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质，关键在于作出辅助线，利用平行四边形的性质进行求解．
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：2x=x﹣3，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解，
故选B．
【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】设出反比例函数关系式，用待定系数法求出解析式，然后得出结论即可．
解：由题意知，I＝，
∴U＝IR＝5×8＝40（V），
∴当R＝10时，I＝＝4A．，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③，然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①，根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②，根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
解：由图可得，
甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意，
乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意，
b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意，
设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，
两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55，
两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65，故④正确，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点】分式方程的实际应用
【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．
解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，
由题意可得：，
故选D．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
【考点】函数的图象
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=4，CE=OB=3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，
∴OB==3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=4，CE=OB=3，
∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，
∴k=xy=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y=．
故选A．
【考点】中点四边形，等边三角形的判定与性质，菱形的性质．
【分析】连接AC、BD交于O，由菱形的性质证出△ABC是等边三角形，求出AC的长，由直角三角形的性质求出BD，由三角形中位线定理分别求得EF、GH、FG、H，然后进一步解答即可．
解：连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
BO＝OD＝2，
∴BD＝4，
∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，
∴EF＝GH＝AC＝2，FG＝EH＝BD＝2，
∴四边形EFGH的周长为：2+2+2+2＝4+4．
故选：C．
【点评】本题考查了中点四边形，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．
1 、填空题
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件求解，
解：依题意得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【考点】解分式方程．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
解：去分母得：
x﹣1＝2x+1，
∴x﹣2x＝1+1，
∴﹣x＝2，
∴x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是原方程的解，
∴原方程的解为：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程解答的一般步骤是解题的关键．
【考点】条形统计图，加权平均数
【分析】直接利用条形统计图以及结合加权平均数求法得出答案．
解：该班的平均得分是：×（5×8+8×9+7×10）
＝9.1（分）．
故答案为：9.1．
【点评】此题主要考查了加权平均数以及条形统计图，正确掌握加权平均数求法是解题关键．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用反比例函数的性质，即可得出：这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小．
解：∵反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质，多边形的内角和
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
解：四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：30．
【点评】此题考查平行四边形的性质和多边形的内角和，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
【考点】代数式求值．
【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．
解：∵m2﹣3m+1=0，
∴m2=3m﹣1，
∴m2+
=3m﹣1+
=3m﹣1+
=
=
=
=
=9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m-1．
1 、解答题
【考点】实数的运算，负整数指数幂
【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．
解：原式＝﹣2+2+3＝3．
【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂．
【考点】分式方程的应用
【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．
解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得+=40，
解得：x=7．
经检验，x=7是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克7元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用，根据实际问题列一次函数表达式
【分析】（1）根据题意可得y与x之间的函数表达式为：y=40- x（0≤x≤400）.
（2）根据题意可得不等式：40- x≥40× ，解之即可得出答案.
（1） 解：依题可得：y=40- x，即y=40- x（0≤x≤400）.
答：y与x之间的函数表达式为：y=40- x（0≤x≤400）.
（2）解：依题可得：40- x≥40× ，
∴- x≥-30，
∴x≤300.
答：该辆汽车最多行驶的路程为300.
【点评】此题为一次函数的应用,能根据实际情况写出解析式是关键,第二问是利用函数关系式求值
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明后即可求解．
证明：∵四边形是菱形，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
【考点】众数，中位数．
【分析】（1）分别求得成绩为8分，9分，10分的人数，再结合总人数为10人列式计算即可求得成绩为7分的学生数，然后根据众数定义即可求得众数，
（2）根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第5个和第6个数据的平均数，结合已知条件易得第5个和第6个数据分别为8，9，再根据表格中数据即可求得答案，
（3）结合（1）（2）中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可．
解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分的人数为10×50%＝5（人），
成绩为9分的人数为10×20%＝2（人），
成绩为10分的人数为10×20%＝2（人），
则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人），
∵出现次数最多的为8分，
∴七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8，
（2）由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数，
∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9，
∴第5个和第6个数据分别为8分，9分，
∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人），
∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人），成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人），
即a＝2，b＝3，
故答案为：2，3，
（3）不是，理由如下：
结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为×100%＝40%，八年级的优秀率为×100%＝50%，
七年级的平均成绩为＝8.5（分），八年级的平均成绩为＝8.3（分），
∵40%＜50%，8.5＞8.3，
∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．
【点评】本题主要考查众数，中位数及平均数，数据分析相关知识点是必考且重要知识点，必须熟练掌握，（2）中根据中位数定义及已知条件确定第5个和第6个数据分别为8分，9分是解题的关键．
【考点】一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）根据购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元，若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可，
（2）根据题意，可以写出W与a的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到W的最小值．
解：（1）设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：，
解得，
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元，
（2）由题意可得，
W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，
∴W随a的增大而增大，
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
∴，
解得17.5≤a≤20，
∵a为整数，
∴当a＝18时，W取得最小值，此时W＝1230，30﹣a＝12，
答：购买甲消毒液18瓶，乙消毒液12瓶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y＝，可得反比例函数解析式，把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y＝kx+b，可得一次函数解析式，
（2）根据A点的坐标，结合图象即可求得．
解：（1）把点A（3，2）代入反比例函数y＝，可得m＝3×2＝6，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵OB＝4，
∴B（0，﹣4），
把点A（3，2），B（0，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，可得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣4，
（2）不等式组0＜＜kx+b的解集为：x＞3．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足两个函数解析式．
【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；
证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，
（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；
解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；
证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
（1）证法一：
如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
证法二：
如答图1b，延长BM交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=MF，
∵在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF；
（2）解法一：
如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，
∴BM=DF．
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，
∴ME=AG．
∵CG=CF=a，CA=CD=a，
∴AG=DF=a，
∴BM=ME=×a=a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=BE=a；
（3）证法一：
如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．
在△ACG与△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴BM=ME．
证法二：
如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∴M是AF的中点，
∴AM=FM，
在△ABM和△FDM中，，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵BM=DM，
∴BM=ME=BD，
故BM=ME．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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