山西省浮山中学校2023-2024学年高一下学期第三次月考模拟数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合，，则的子集的个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列条件不能推出的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3．已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则( )
A. B.2 C. D.
5．已知向量，不共线，则向量与共线时，实数( )
A. B. C. D.
6．在中，，，，则点A到边的距离为( )
A. B. C. D.
7．在中，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，Q是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知向量，，若在上的投影向量为，则( )
A. B.
C. D.与的夹角为
10．已知函数，则( )
A.的对称轴为，
B.的最小正周期为
C.的最大值为1，最小值为
D.在上单调递减，在上单调递增
11．下列命题中正确的是( )
A.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为
B.圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C.正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
三、填空题
12．在复数范围内分解因式：__________.
13．我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，S表示的面积，其公式为.若，，则的面积S为__________.
14．如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为D，某班数学小组在斜坡坡脚A处测得浮雕下沿D的仰角满足，在斜坡上的B处测得满足.已知斜坡与地面的夹角为满足，，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为__________m.
四、解答题
15．在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，.
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
16．如图，四边形为长方形，平面，，，点E，F分别为，的中点，设平面平面.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求三棱锥的体积.
17．如图，正方体中，E，F，G，分别是棱，，，的中点.
（1）证明：；
（2）证明：平面.
18．如图，A、B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且.点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.
（1）设，求的取值范围；
（2）设（），求的取值范围.
19．如图所示，在长方形中，，E为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面.
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以，则的子集有个.
故选：C.
2．答案：C
解析：对A，，则，又故，正确；
对B，，则，又故，正确；
对C，平面，的关系无法确定，C错误；
对D，，则或，又，故，D正确；
故选：C.
3．答案：A
解析：若，均为纯虚数，设，（b，）且b，），
则，所以“，均为纯虚数”是是实数的充分条件，
当，，，
所以“，均为纯虚数”是是实数的不必要条件，
综上所述：“，均为纯虚数”是是实数的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：C
解析：根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线，
与轴和轴分别交于点M，N，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，
则，，则的坐标为，则，，
故原图中，B的坐标为，A的坐标为，
故，
故选：C.
5．答案：B
解析：由向量，不共线，得向量，
由向量与共线，得，，
于是，所以.
故选：B.
6．答案：A
解析：在中，由，所以，解得，.
由余弦定理有，故.
设点A到边的距离为d，由三角形面积公式得：，
故，
故选：A.
7．答案：D
解析：因为，由正弦定理得：.
由余弦定理得：，且，
由基本不等式可得：，
当且仅当时，等号成立，
由同角三角函数关系式，且，
可得：，此时的值为最大值，
故选：D.
8．答案：C
解析：如下图所示：
分别取棱、的中点M、N，连接，连接，
、N、E、F为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，
又，平面平面，
Q是侧面内一点，且平面，
则Q必在线段上，
在中，，
同理，在中，求得，
为等腰三角形，
当Q在中点O时，此时最短，Q位于M、N处时最长，
，
，
所以线段长度的最大值与最小值之和为，
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A，因为在上的投影向量为，即，
所以，即，解得，故A正确；
对于B，，，所以，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：AD
解析：作出函数的图象如图中实线所示.
对于A，由图可知，函数的图象关于直线，，对称，
对任意的，
，
所以函数的对称轴为，，A正确；
对于B，对任意的，，
结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误；
对于C，由A选项可知，函数的对称轴为，，且该函数的最小正周期为，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
因为，，
所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误；
对于D，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D正确，
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球的表面积为，A错误；
对于B，设容器内水面下降的高度为h，则，解得，B正确；
对于C，正四棱台的高，体积为，C正确；
对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高，
体积为，D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为，
令，
则，由，
则，
所以，
故，
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，根据正弦定理，得，即，
又因为，即，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：过B作于点F，则四边形是矩形，
在中，，
所以，
在中，，，
所以，
所以，，
所以，
在中，
，
而，
所以，
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由余弦定理知，，
所以，即，
解得或-1（舍负），所以.
（2）由正弦定理知，，
所以，所以.
（3）由余弦定理知，，
所以
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）证明：取的中点G，连接，，
因为点E，F分别为，的中点，所以且，
又因为四边形为长方形，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：由平面，
因为平面，且平面平面，
所以.
（3）由平面，则点F到平面的距离等于D到平面的距离，
因为平面，所以为三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为：
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）如下图，设，，，则且.
因为，，
所以，所以，所以.
（2）因为，，
所以，
所以，所以.同理可证.
又，所以平面.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）以O为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，，
记圆O与x轴的负半轴交于点D，因为线段AC与线段OB相交，
所以点C在弧上，由可得，
由三角函数定义得，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为.
（2）设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
，
记，
令，，.
，，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则，即，
所以的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
解析：（1）根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形，
，
，即.
平面平面，
且平面平面，平面，
平面，
平面，.
（2）如图所示，取的中点F，连接，则，且.
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
.
（3）连接交于点Q，假设在上存在点P，使得平面，连接.
平面，平面平面，
，在中，.
，，
，即，
在棱上存在一点P，且，
使得平面.
