2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.的算术平方根是( )
A. B. C. D.
5.反比例函数的图象经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的．它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
7.小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数．则向上的一面的点数大于的概率为( )
A. B. C. D.
8.把抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，、分别是边、的中点，则的面积与四边形的面积比为( )
A. B. C. D.
10.小明的爸爸早晨出去散步，从家走了分到达距离家米的公园，他在公园休息了分，然后用分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离单位：米与离家的时间单位：分之间的函数关系图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.地球与太阳之间的距离约为 千米，用科学记数法表示保留个有效数字约为______千米．
12.函数的自变量的取值范围是______．
13.把多项式分解因式的结果为______．
14.若点在第四象限内，则的取值范围是______．
15.如图，已知是一张三角形纸片，，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为______．
16.如图，是的弦，圆周角，则的度数是______度
17.一个扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径是______．
18.四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则的长为______．
19.某商店足球的零售价为每个元，若足球按折降价销售，仍可获利，则这种足球的进价为每个______元
20.如图，在中，，是角平分线，是边的中点，于点，于点，若，，则线段的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
22.本小题分
如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
在图中，画出一个与成中心对称的格点三角形；
在图中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形；
在图中，画出绕着点按顺时针方向旋转后的三角形．
23.本小题分
网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
请根据图中的信息，解决下列问题：
求条形统计图中的值；
求扇形统计图中岁部分的圆心角；
据报道，目前我国岁网瘾人数约为万，请估计其中岁的人数．
24.本小题分
在中，于点，点为边的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
如图，求证：四边形是矩形；
如图，当时，取的中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形不包括矩形．
25.本小题分
某商品经销店欲购进、两种纪念品，用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵元．
求、两种纪念品每件的进价分别为多少元？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，求种纪念品最多购进多少件．
26.本小题分
已知：是的直径，弦交于点，连接，
如图，求证：；
如图，连接，求证：；
如图，在的条件下，点在上，连接，且点在上，连接，且连接，，若，，求的长．
27.本小题分
在平面直角坐标中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求、的值；
如图，是第四象限抛物线上一动点，连接，为抛物线的顶点，过点作轴的垂线交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，为上一点，连接，，当，时，求点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，利用定义即可求出结果．
【解答】
解：的平方为，
算术平方根为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意，得
，
解得，．
故选C．
把点代入已知函数解析式，列出关于的方程，通过解方程来求的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
6.【答案】
【解析】解：从正面看可得到从左往右三列正方形的个数依次为：，，．
故选：．
画出主视图，可得结论．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7.【答案】
【解析】解：根据等可能条件下的概率的公式可得：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则向上的一面的点数大于的概率为．
故选B．
让骰子中大于的数个数除以数的总个数即为所求的概率．
用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
向下平移个单位，
纵坐标变为，
向右平移个单位，
横坐标变为，
平移后的抛物线顶点坐标为，
所得到的抛物线是．
故选：．
先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．
9.【答案】
【解析】解：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，且，
∽，
，
的面积与四边形的面积比为：．
故选B．
根据面积比等于相似比平方求出与的比，继而可得出的面积与四边形的面积比．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出是的中位线，判断∽，要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．
10.【答案】
【解析】解：第分，离家的距离随时间的增大而变大；
分，时间增大，离家的距离不变，函数图象与轴平行；
分，时间变大，离家越来越近．
故选：．
本题是分段函数的图象问题，要根据行走，休息，回家三个阶段判断．
此题主要考查了函数图形，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
11.【答案】
【解析】解： ．
故答案为．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与的多少次方无关．
此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
解得：；
所以，函数的自变量的取值范围是．
函数是分式形式时，分式的分母是不能为的，所以，即可求得的取值范围．
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
先提取公因式，然后再利用平方差公式进行二次分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于要进行二次分解因式．
14.【答案】
【解析】解：点在第四象限内，
，
解得：．
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求的取值范围．
15.【答案】
【解析】解：由折叠得点与点关于直线对称，
垂直平分，
，，，
，
，
，
解得，
故答案为：．
由折叠得垂直平分，而，，，所以，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，进而得到，即可得到答案．
此题主要考查了圆周角定理与等腰三角形的性质，关键是找准角之间的关系．
17.【答案】
【解析】解：设该扇形的半径是，则
，
解得．
故答案为：
设该扇形的半径是，再根据扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
18.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
由菱形的性质证出是等边三角形，得出，，由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
点在上，，
或，
或；
故答案为或．
19.【答案】
【解析】解：设足球的进价为每个元，
根据题意得：，
解得；
足球的进价为每个元．
故答案为：．
解：设足球的进价为每个元，根据按折降价销售，仍可获利得：，即可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，掌握进价，标价，售价，折扣，利润之间的关系．
20.【答案】
【解析】解：如图，作于，于．
平分，
，
，，
，
，
：：，
在中，，，，
，
，，
，
，
．
故答案为．
如图，作于，于首先证明：：：，推出：：，求出，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，角平分线的性质定理，平行线分线段成本定理定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
21.【答案】解：
；
，
原式．
【解析】先根据分式的混合运算化简，再根据特殊角的三角函数值求得的值代入，进行计算即可求解．
本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，记住特殊角的三角函数值．
22.【答案】解：如图所示，
为所求作．
如图所示，
为所求作．
如图所示，
为所求作．
【解析】【分析】
本题考查图形变换中心对称，轴对称和旋转，掌握相关概念和性质是解题的关键．
根据中心对称的性质即可作出图形；
根据轴对称的性质即可作出图形；
根据旋转的性质即可求出图形．
23.【答案】解：被调查的人数人，
人；
；
岁网瘾人数约为万，
岁的人数约为万万．
【解析】用岁的人数除以所占的百分比求出被调查的人数，然后列式计算即可得解；
用乘以岁的人数所占的百分比计算即可得解；
用网瘾总人数乘以岁的人数所占的百分比计算即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
线段、线段、线段都是的中位线，又，
，，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形．
【解析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
由≌，推出，又，推出四边形是平行四边形，根据，即可推出四边形是矩形．
根据平行四边形的判定即可求解．
25.【答案】解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价元；
设种纪念品购进件，由题意得：
，
解得：，
为整数，
的最大值为．
答：种纪念品最多购进件．
【解析】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，再列出不等式或方程组即可．
设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价元，根据用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同列出方程，再解即可；
设种纪念品购进件，由题意得不等关系：种纪念品的总利润种纪念品的总利润元，根据不等关系列出不等式，再解即可．
26.【答案】解：如图，连接，，
是的直径
．
如图，过点作的垂线交的延长线于点，则≌
，
为等腰直角三角形
连接，在中，，即：，得
设，则
过作，，
，
延长交延长线于点，连接，
，
，即：直线是线段的垂直平分线
过作的垂线，交延长线于点，
易证≌
可证≌
过点作，垂足为
，
∽
由勾股定理得：
设，则
解得：，不符合题意，舍去
，
过作于，作于，则可证≌
．
【解析】要证，只要证即可；
构造全等三角形，过点作的垂线交的延长线于点，则≌，得到为等腰直角三角形，，得证；
由，可得，过作，，延长交延长线于点，连接，过作的垂线，交延长线于点，构造≌，≌，过点作，垂足为，设，再利用∽和勾股定理建立关于的方程，可求得，，过作于，作于，构造≌和等腰直角三角形求得．
本题考查了圆的性质，全等三角形性质及判定，相似三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，勾股定理，角平分线性质等知识点，涉及知识点多，综合性较强，难度较大；解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形．
27.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
，
解得．
由得，，
抛物线解析式为，
，
顶点，
如图，过作轴于点，设与轴于点，
，∽，
，，
，点的横坐标为，
，，
，，，
，
，
的长度为，
；
如图，过作于点，交抛物线于点，
点、关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
连接，
，
，
，
过作于点，过作交延长线于点，
，
，，
，
≌，
，，
、关于直线对称，
，
由得，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
由得，
，
解得，
，
．
【解析】利用待定系数法即可求解；
由可知，求出，过作轴于点，设与轴于点，证明∽，再通过性质即可求解；
过作于点，交抛物线于点，则点、关于对称，则，求出，过作于点，可得垂直平分，过作于点，过作交延长线于点，证明≌，然后根据性质证明四边形，是矩形即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了勾股定理，三角形的内角和，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
第1页，共1页
