2024年河南省中招第三次模拟考试试卷
数 学
注意事项：
1.本试卷共6页,三个大题,满分120分,考试时间120分钟。
2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求,直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的。
1．的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．下列新能源汽车标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
3．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
4．若，则代数式的值为（ ）
A．7 B． C． D．5
5．如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点作线垂直于点，若，，则的长度是（ ）
A． B．4 C． D．3
6．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图像关于原点中心对称 D．当时，随的增大而减小
7．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
10．如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题(每小题3分,共15分)
31．若式子在实数范围内有意义，则x应满足的条件是 ．
32．分解因式：
33．如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为 ．
34．如图，为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上两点，且，若，则的度数为 ．
35．已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题(本大题共8个小题,共75 分)
16.（10分）（1）计算：；
（2）化简：
17．（9分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组、B组、C组、D组，并绘制出如图不完整的统计图．
(1)被抽取的学生一共有______人；并把条形统计图补完整；
(2)所抽取学生成绩的中位数落在______组内；扇形A的圆心角度数是______；
(3)若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
18．（9分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上．
(1)先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的；
(2)把以点为中心，顺时针旋转，
①请在网格中画出旋转后的；
②在线段上确定一点，使．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
20．（9分）如图2是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似的看作线段)与水平线构成的角的余弦值是，线段表示小红的身高，为．
(1)若风筝的水平距离，求此时风筝线的长度；
(2)若她从点A跑动到达点B处，风筝线与水平线构成角，风筝的水平移动距离，从点A跑到点B的过程中风筝线的长度保持不变，求小红跑动前风筝的高度(参考数据：)．
21．（9分）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，连接，当是直角三角形时，求m的值；
(3)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
(4)点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），请直接写出m的值．
23．（10分）问题提出
如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．
（1）如图①，当四边形是正方形时，的长为______，的面积为______；
（2）如图②，当四边形是菱形时，若，的面积为．求与之间的函数关系式；
问题解决
（3）如图③，正方形是某小区旁一块边长为100米的空地，为了提升附近居民的生活环境，现要把这块空地及其周边打造成一个生态公园．按设计要求，为广场区域，正方形是休息区，是儿童娱乐区，，点在边的延长线上，为满足各区域及绿化用地，想让广场的面积尽可能小．请问是否存在符合设计要求的面积最小的三角形广场？若存在，求面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
2024年河南省中招第三次模拟考试试卷参考答案
数 学
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．A 10．D
二、填空题(每小题3分,共15分)
31．x≥5．
32．
33．或10
34．/40度
35．②③/③②
三、解答题(本大题共8个小题,共75 分)
16.（10分）
解：（1）原式
（2）原式
17.（9分）
（1）组人数为人，所占的百分比为，
总人数为人，
组人数为人，
补全条形统计图如图：
故答案为：；
（2）根据中位数的定义，个数中位数为第，个数的平均数，根据条形统计图可知第，个数都位于组，
中位数落在组，
扇形的圆心角度数是；
故答案为：，；
（3）人，
答：估计这次竞赛成绩在组的学生有人．
18.（9分）
（1）分别将点、、向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、，连接各点，得平移后的，如图所示：
（2）①利用网格特点，分别将、以为中心顺时针旋转找出对应线段、，连接，得旋转后的，如图所示：
②如图，点即为所求的点，理由如下：
由图可知，中边上的高为2，、边上的高为1，
19.（9分）
（1）设直线DE的解析式为，
∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），
∴
解得
∴．
∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2．
又∵点M在直线上，
∴2 = ．∴ x = 2．∴M（2，2）．
（2）∵（x＞0）经过点M（2，2），
∴，
∴．
又∵点N在BC边上，B（4，2），
∴点N的横坐标为4．
∵点N在直线上，
∴．∴N（4，1）．
∵当时，y == 1，
∴点N在函数 的图象上．
（3）把B（4，2）代入得：k=8，
∵反比例函数过M、N点，
∴若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．
20（9分）
（1）解：由题意知，，即，
解得，，
答：此时风筝线的长度为；
（2）解：由题意知，，，，
设风筝线长为．
∴，，
解得，，，
∴，即，
解得，
∴．
由勾股定理得，
∴．
答：小红跑动前风筝的高度为．
21（9分）
（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
22.（10分）
（1）解：将点，，代入得，，
解得，，
∴；
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
∴；
（2）解：由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；
当时，由题意知，轴，
∴，
∴，
解得，（舍去），或；
当时，
∵，，
∴，，，
由勾股定理得，，即，
又∵，
联立①②，解得或（舍去），
综上所述，m的值为1或；
（3）解：∵点M在直线上，且，
∴点M的坐标为，
∴，，，
当为等腰三角形时，分以下三种情况求解；
①当时，则，
∴，
解得；
②当时，则，
∴，
解得或（舍去）；
③当时，则，
∴，
解得或（舍去）．
综上所述，或或．
（4）解：∵，点P在第一象限内运动，
∴，．
∵，
∴，，．
∵点P与点C相对应，
∴或，
①当时，即时，如图1，
∴直线的解析式为，
∴，
解得或（舍去）．
②当时，即时，如图2，作轴于，
∴，．
∵，
∴，即，
解得或（舍去），
综上所述，的值为或．
23.（10分）
解：（1）如图，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
过点M作于点H．
同法可证，
可得，
．
故答案为：2；5；
（2）连接
四边形为矩形，
，
，
四边形为菱形，
，
，
，
即，
过点M作，垂足为Q，
，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为菱形
，
在和中
，
∴，
，
，，
，
．
（3）存在，理由如下：
在正方形中，米，，
设在正方形中，米，，
则米，米，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴米，则米，
则的面积
，
∴当时，的面积取得最小值，最小值为3750平方米，
此时，米，
则米，
即：存在．的面积的最小值为3750平方米，这时点到点的距离为米．
