暑假作业04图形的平移与旋转
一、平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相
等的距离，标出对应点；
（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方
向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应
连接，即得到平移后的图形
二、旋转
1.概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的），如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点.
注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转。
2.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。
3.旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
考点四、中心对称与中心对称图形
三、中心对称及中心对称图形
1.中心对称（两个图形）
（1）概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
（2）性质：①关于中心对称的两个图形是全等形.
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
（3）判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
（4）作图步骤：
①连接原图形上所有的特殊点和对称中心；②将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；③将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
2.中心对称图形(一个图形)
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
3.点坐标对称
（1）关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点关于原点的对称点为
（2）关于轴对称的点的特征
两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于x轴的对称点为
（3）关于轴对称的点的特征
两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于y轴的对称点为
一、单选题
1．如图，将沿方向平移，得到．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵沿方向平移，得到，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：．
3．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，
，
，
．
故选：D．
4．在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，可画出如下图形：
∴点的坐标，
故选：．
5．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴点A与是一组对称点，，，
∴A，B，C都不合题意．
∵与不是对应角，
∴不成立．
故选：D．
二、填空题
6．如图，在中，，，，将沿着方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
【答案】12
【详解】解：三角形沿方向平移得到三角形，
，，
，
阴影部分的周长为，
故答案为：12．
7．如图，在中，，把绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为，，点 ，，恰好在一条直线上，则 ．
【答案】/70度
【详解】解：∵把绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为，，点 ，，恰好在一条直线上，且，
∴，，
∴．
故答案为：．
8．如图，将边长为1的等边以B为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第一次变换；再将以为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第二次变换；依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后O点的对应点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得，第一次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为：
第二次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为：
第三次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为：
第四次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为：
第五次旋转后的三角形落在轴上的顶点距离原点的距离为：
而第六次旋转以点为旋转中心，
所以，第6次变换后O点的对应点是，
故第6次变换后O点的对应点的坐标为，
故答案为：．
9．如图，将沿方向平移cm得到，若的周长为cm，则四边形的周长为 cm．
【答案】
【详解】解：根据题意，将周长为的沿方向平移得到，
∴，，；
又∵，
∴四边形的周长，
故答案为：．
三、解答题
10．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
(1)补全；
(2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段；
(3)找（要求各顶点在格点上，P不与点C重合），使其面积等于的面积．满足这样条件的点P共 个．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)6
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，满足这样条件的点P共有6个；
故答案为：6．
11．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出；
(2)将向下平移5个单位长度得到，请画出，并写出三个点的坐标；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析，
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，，，；
12．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数．
(2)求出的度数和的长．
【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角度是
(2)，
【详解】（1）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，A为顶点，
旋转中心是点A；
根据旋转的性质可以知道：，
旋转角度是150°；
（2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，
∴，
∴，
又∵C为中点，
．
1．如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，，点为的中点，
，，
，
，
，，
点的坐标为，
将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点，如图，作轴于点，
，
，
，
将是向右平移了2个单位长度，
点的对应点的坐标为．
故选：B．
2．如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，，
∴，，
∵与关于点C中心对称，，
∴，，，
∴，
∴．
故选：D．
3．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴不一定等于，故选项A不符合题意；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴和都是等腰三角形，且顶角相等，
∴，
又∵，
∴，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
∵，而不一定平分，
∴与不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为 ．
【答案】4
【详解】解：如图，连接，过点A作轴于点D，
∵点B的坐标为，将该三角形沿x轴向右平移得到，此时点的坐标为，
∴，
∵是等腰直角三角形
∴，，
即，
解得：，负值舍去，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴线段在平移过程中扫过部分的图形面积为：．
故答案为：4．
5．如图，将沿方向平移得到，若为的中点，为与的交点，，，
(1)求的长
(2)求图中阴影部分的面积
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在中，，，
∴
由平移的性质可得：，
∴，，，
∵，
∴
（2）由平移的性质可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴
阴影部分的面积为
6．如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段．
(1)尺规作图：求作线段，使为边绕点A逆时针旋转所得的．
(2)连结交边于点F．猜想并写出线段，的数量关系，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【详解】（1）解：根据题意作图，如图所示点P为所求作的点，
（2）解：，理由如下：
在上取点N使得，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
又，
，
又，，
，
，
．
1．（2023·青海西宁·中考真题）河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由旋转性质可得：，，
∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
即旋转角的度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．
4．（2023·山东滨州·中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
∵，
∴
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
6．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键．
7．（2023·上海·中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，根据题意可得：，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
则在中，∵，
∴，
解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
8．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．
(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析 ②
【详解】（1）∵，，，
∴．
在和中
∴．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．
②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知．
故答案为：．
暑假作业04图形的平移与旋转
一、平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相
等的距离，标出对应点；
（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方
向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应
连接，即得到平移后的图形
二、旋转
1.概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的），如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点.
注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转。
2.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。
3.旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
考点四、中心对称与中心对称图形
三、中心对称及中心对称图形
1.中心对称（两个图形）
（1）概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
（2）性质：①关于中心对称的两个图形是全等形.
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
（3）判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
（4）作图步骤：
①连接原图形上所有的特殊点和对称中心；②将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；③将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
2.中心对称图形(一个图形)
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
3.点坐标对称
（1）关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点关于原点的对称点为
（2）关于轴对称的点的特征
两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于x轴的对称点为
（3）关于轴对称的点的特征
两个点关于轴对称时，它们的坐标中，相等，的符号相反，即点关于y轴的对称点为
一、单选题
1．如图，将沿方向平移，得到．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
二、填空题
6．如图，在中，，，，将沿着方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
7．如图，在中，，把绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为，，点 ，，恰好在一条直线上，则 ．
8．如图，将边长为1的等边以B为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第一次变换；再将以为圆心顺时针旋转，同时边长都加1得到，此时为第二次变换；依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后O点的对应点的坐标为 ．
9．如图，将沿方向平移cm得到，若的周长为cm，则四边形的周长为 cm．
三、解答题
10．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
(1)补全；
(2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段；
(3)找（要求各顶点在格点上，P不与点C重合），使其面积等于的面积．满足这样条件的点P共 个．
11．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出；
(2)将向下平移5个单位长度得到，请画出，并写出三个点的坐标；
12．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数．
(2)求出的度数和的长．
1．如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
3．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为 ．
5．如图，将沿方向平移得到，若为的中点，为与的交点，，，
(1)求的长
(2)求图中阴影部分的面积
6．如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段．
(1)尺规作图：求作线段，使为边绕点A逆时针旋转所得的．
(2)连结交边于点F．猜想并写出线段，的数量关系，请说明理由．
1．（2023·青海西宁·中考真题）河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东滨州·中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
7．（2023·上海·中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则 ．
8．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．
(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
