2024年初中数学中考模拟试卷
一．选择题（共12小题，48分）
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≥0 D．x＞0
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣a）6÷（﹣a）3＝﹣a3
C．（ab2）3＝ab6 D．
4．如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（ ）
A．发 B．现 C．之 D．美
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
6．某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（ ）
A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x）
C． D．
7．下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是24 B．众数是24 C．平均数是20 D．方差是9
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．已知反比例函数与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝kx2+bx+k+2的图象可能为（ ）
A．B． C．D．
10．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
11．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＜0；③若（﹣2，y1）与是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题，24分）
13．若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ．
14．五一假期旅客出行需求旺盛，铁路客流保持高位运行．据悉，2024年5月1日全国铁路发送旅客约20690000人次，创历史单日新高．其中数据20690000用科学记数法表示为 ．
15．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 ．
16．圆锥的底面半径为6cm，侧面展开图的面积是30πcm2，则该圆锥的母线长为 cm．
17．如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，∠ABC＝30°，若AC＝2，则＝ ．
18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为AB，BC上的动点，且AD＝BE，．当AE+CD的值最小时，CE的长为 ．
三．解答题（共8小题，78分）
19．（8分）（1）计算：．
（2）化简求值：，其中x还满足不等式|x﹣1|≤1的整数解．
20．（8分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别 A类 B类 C类 D类
阅读时长t（小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 t≥3
频数 8 m n 4
请根据图表中提供的信息解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了 名学生，m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是 度；
（3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．（8分）如图是6×6的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
（1）找出△ABC的外接圆的圆心O，并求的长．
（2）在圆上找点D，使得CB＝CD．
22．（8分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
23．（10分）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．
24．（10分）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h这两个变量中， 是自变量， 是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 米．（精确到0.1米）
25．（12分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一点，BE＝5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．
（1）求证：△AEC'∽△AC'B；
（2）若点F是BC上一点，且BF＝，求FC'+BC'的最小值．
26．（14分）已知抛物线G1：y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C（0，2），点B（0，﹣2）为y轴上一点．
（1）求抛物线G1的解析式；
（2）如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且∠ABE＝∠BAC，BE与x轴交于点D，求点E的横坐标；
（3）点P是G1上的一个动点，连接BP，取BP的中点P′，设点P′构成的曲线是G2，直线y＝m与G1，G2的交点从左至右依次为P1，P2，P3，P4，则P3P4﹣P1P2是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：是无限不循环小数，它是无理数；
＝16是整数，，是分数，它们不是无理数；
故选：A．
2．若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≥0 D．x＞0
【解答】解：∵有意义，
∴x+1≥0，
∴x≥﹣1，
故选：A．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣a）6÷（﹣a）3＝﹣a3
C．（ab2）3＝ab6 D．
【解答】解：A．a2 a3＝a2+3＝a5，故该选项错误；
B．（﹣a）6÷（﹣a）3＝a6÷（﹣a3）＝﹣a6﹣3＝﹣a3，故该选项正确；
C．（ab2）3＝a3b6，故该选项错误；
D．，故该选项错误．
故选：B．
4．如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（ ）
A．发 B．现 C．之 D．美
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以“数”与“美”是相对面，
故选：D．
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
【解答】解：设方程的一个根x1＝1，另一个根为x2，根据题意得：
x1×x2＝3，
将x1＝1代入，得x2＝3．
故选：C．
6．某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（ ）
A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x）
C． D．
【解答】解：设应该安排x天生产桌腿，则安排（10﹣x）天生产桌面，
根据题意得：＝120（10﹣x），
故选：D．
7．下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是24 B．众数是24
C．平均数是20 D．方差是9
【解答】解：将数据按从小到大排列为：16、19、22、23、24、24、29，
故中位数为：23，故A选项错误，不符合题意；
众数是24，故B选项正确，符合题意；
平均数为，故C错误，不符合题意；
方差是：，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠ABC，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴CE CB＝CD CA，
∵AC＝AB＝4，
∴ 2＝4CD，
∴CD＝．
故选：B．
9．已知反比例函数与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝kx2+bx+k+2的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二，四象限，
∴k＜0，
∵一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于正半轴，
∴b＞0，
∴二次函数y＝kx2+bx+k+2的对称轴为直线x＝＞0，
对于反比例函数，当x＝时，y＝﹣2k，对于一次函数y＝﹣x+b，当x＝时，y＝，
又∵反比例函数与一次函数y＝﹣x+b的图象一个交点的横坐标为，
∴﹣2k＝，
∴b＝﹣2k﹣，
∴，
∵k＜0，
∴1+＜1，
∴0＜＜1，
即抛物线y＝kx2+bx+k+2的对称轴在0～1之间，
故选：A．
10．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
【解答】解：∵sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：C．
11．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．
故选：D．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＜0；③若（﹣2，y1）与是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵＞0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a﹣a，
∵a＜0，
∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ﹣2或1 ．
【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，
解得：（2+m）x＝3，
由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，
综上，m的值为﹣2或1．
故答案为：﹣2或1
14．五一假期旅客出行需求旺盛，铁路客流保持高位运行．据悉，2024年5月1日全国铁路发送旅客约20690000人次，创历史单日新高．其中数据20690000用科学记数法表示为 2.069×107 ．
【解答】解：20690000＝2.069×107，
故答案为：2.069×107．
15．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 14 ．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
16．圆锥的底面半径为6cm，侧面展开图的面积是30πcm2，则该圆锥的母线长为 5 cm．
【解答】解：圆锥的底面周长是：2π×6＝12π（cm），
设圆锥的母线长是l cm，
则×12πl＝30π，
解得：l＝5，
∴该圆锥的母线长为5cm．
故答案为：5．
17．如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，∠ABC＝30°，若AC＝2，则＝ ﹣1 ．
【解答】解：连接CM，BD，
∵BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝30°，AC＝2，
∴，
∵M为△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∠ACM＝∠BCM，
∴＝，
∴BD＝CD＝BC＝2，∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠DMC＝∠DAC+∠ACM，∠DCM＝∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC＝∠DCM，
∴CD＝DM＝2，
过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∴△ABE与△ACF是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝，CF＝AC＝，
∵S四边形ABD＝S△ABC+S△BCD＝S△ABD+S△ACD，
∴AB AC+BD CD＝AD BE+AD CF，
∴×2×2+＝×AD+AD，
∴AD＝，
∴＝﹣1，
故答案为：﹣1．
18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为AB，BC上的动点，且AD＝BE，．当AE+CD的值最小时，CE的长为 3 ．
【解答】解：过点B作BF⊥BC，且BF＝AC，连接AF，交BC于点E′，过点A作AH⊥BF，交FB的延长线于点H，如图所示：
则∠EBF＝90°，
在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
在△ACD和△BFE中，
，
∴△ACD≌△BFE（SAS），
∴CD＝EF，
∴AE+CD＝AE+EF≥AF，
即AE+CD的最小值即为AF的长，此时点E与点E′重合，
∵，
∴，，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∴∠HAB＝∠HBA＝45°，
∴AH＝BH，
根据勾股定理得AH2+BH2＝AB2，
∴2AH2＝18，
∴AH＝3或AH＝﹣3（舍去），
∴BH＝AH＝3，
∴，
∵∠AHF＝∠E′BF，∠E′FB＝∠AFH，
∴△E′BF∽△AHF，
∴，
即，
解得，
∴，
∴AE+CD取得最小值时，CE的长度为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．（1）计算：．
（2）化简求值：，其中x还满足不等式|x﹣1|≤1的整数解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝4；
（2）原式＝
＝
＝
＝，
∵|x﹣1|≤1，
∴﹣1≤x﹣1≤1，0≤x≤2，
∵x是满足不等式|x﹣1|≤1的整数解，
∴x＝0或1或2，
∵x＝0或1时，原式无意义，
∴当x＝2时，
原式＝．
20．为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别 A类 B类 C类 D类
阅读时长t（小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 t≥3
频数 8 m n 4
请根据图表中提供的信息解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了 40 名学生，m＝ 18 ，n＝ 10 ；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是 162 度；
（3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）此次调查共抽取的学生人数为：8÷20%＝40（名），
∴n＝40×25%＝10，
∴m＝40﹣8﹣10﹣4＝18，
故答案为：40，18，10；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是360°×＝162°，
故答案为：162；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为＝．
21．如图是6×6的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
（1）找出△ABC的外接圆的圆心O，并求的长．
（2）在圆上找点D，使得CB＝CD．
【解答】解：（1）如图1点O就是所求作的圆心，
∵半径，，
∴AC2＝OA2+OC2，
∴∠AOC＝90°，
∴＝＝．
（2）如图2，作直线DE平行AC，交圆于点D和E，
得到等腰梯形ACDE，
可得AE＝DC＝2，
从而BC＝DC＝2．
22．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
【解答】解：（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，
由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，
在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PM＝5m，
∴PF＝PM sin37°≈5×＝3（m），
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4（m），
∴点P到地面的高度约为4m；
（2）由题意得：QN＝7m，
在Rt△△PFM中，∠PMF＝37°，PF＝3m，
∴∠MPF＝90°﹣∠PMF＝53°，FM＝≈＝4（m），
∴FM＝GN＝4m，
∴QG＝QN﹣GN＝7﹣4＝3（m），
在Rt△PQG中，tan∠QPG＝＝，
∴∠QPG≈37°，
∴∠QPM＝∠QPG+∠MPG＝90°，
∴∠QPM的度数约为90°．
23．如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），
∴3＝2+b，3＝，
∴b＝1，k＝6，
∴直线AB为y＝x+1，反比例函数为y＝；
（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，
∴B（0，1），
把y＝1代入y＝，解得x＝6，
∴C（6，1），
∴BC＝6，
∴△ABC的面积S＝＝6．
24．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h这两个变量中， d 是自变量， h 是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 0.88 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 0.7 米．（精确到0.1米）
【解答】解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，
故答案为：d，h；
（2）如图，
（3）①当x＝0时，y＝0.88，
∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，
故答案为：0.88；
②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，
令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，
解得x≈3.3（舍去）或0.7．
故答案为：0.7．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一点，BE＝5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．
（1）求证：△AEC'∽△AC'B；
（2）若点F是BC上一点，且BF＝，求FC'+BC'的最小值．
【解答】解：（1）∵沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，
证明：∵BE＝5，AB＝9，
∴AE＝4，
∵沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，
∴AC＝AC'＝6，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠BAC'＝∠EAC'，
∴△AEC'∽△AC'B；
（2）∵△AEC'∽△AC'B，
∴＝＝＝，
∴BC'＝EC'，
∴FC'+BC'＝FC'+EC'，
∴当点E、C'、F三点共线时，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值为EF，
如图，过点E作EH⊥BC于H，
由（1）得：∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，BC＝3，
∵∠ACB＝∠EHB＝90°，∠ABC＝∠EBH，
∴△ABC∽△EBH，
∴＝＝，即＝＝，
∴BH＝，EH＝，
∵BF＝，
∴HF＝BH﹣BF＝﹣＝，
∴EF＝＝＝，
∴FC'+BC'的最小值为．
26．已知抛物线G1：y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C（0，2），点B（0，﹣2）为y轴上一点．
（1）求抛物线G1的解析式；
（2）如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且∠ABE＝∠BAC，BE与x轴交于点D，求点E的横坐标；
（3）点P是G1上的一个动点，连接BP，取BP的中点P′，设点P′构成的曲线是G2，直线y＝m与G1，G2的交点从左至右依次为P1，P2，P3，P4，则P3P4﹣P1P2是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，2）代入抛物线G1，
得到，
解得，
∴抛物线G1的解析式为，
（2）∵A（4，0），B（0，﹣2），C（0，2），
∴OA＝4，OB＝OC＝2，
又∵OA⊥BC，
∴AC＝AB，
∴OA平分∠BAC，
∵，
∴∠ABE＝∠OAB，
∴BD＝AD，
设OD＝m，则AD＝BD＝4﹣m，
在Rt△OBD中，OD2+OB2＝BD2，
∴m2+22＝（4﹣m）2，
解得，，
∴，
设直线BD解析式为y＝kx﹣2，代入点D，则，
解得，
∴直线BD解析式为，
联立抛物线G1与直线BD，
∴，
得，x2＝﹣6（舍去），
∴点E的横坐标为；
（3）P3P4﹣P1P2为定值，理由如下：
设点P′（x，y），作P′M⊥y轴于M，作PN⊥y轴于N，则P′M∥PN，M（0，y），如图2，
又∵P′为PB中点，
∴P′M为△PBM中位线，
∴PN＝2P′M，M为BN中点，
∴xP＝2x，yP﹣y＝y﹣（﹣2），
∴yP＝2y+2，
∴P（2x，2y+2），
将点P代入抛物线G1，
∴，
化简得，
设P1，P2，P3，P4的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，
则P3P4﹣P1P2＝（x4﹣x3）﹣（x2﹣x1）＝（x4+x1）﹣（x2+x3），
由得x4+x1＝2，
由得x2+x3＝1，
∴P3P4﹣P1P2＝2﹣1＝1定值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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