2024无锡中考数学选填压轴预测强化训练
一．选择题（共8小题）
1．（2024 宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴负半轴上，函数的图象经过顶点A和对角线OB的中点D，AE∥OB交y轴于点E，若△AOE的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
2．（2024 宜兴市一模）如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，∠EAF＝60°，则下列结论：①BE＝CF；②△ABE与△EFC相似；③当∠BAE＝15°时，则；④当∠BAE＝15°时，＝．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
3．（2024 无锡一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH无缝拼成的大正方形ABCD，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若∠ABE的度数为α，且满足3sinα＝2cosα，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为（ ）
A． B．13 C．5 D．
4．（2024 新吴区一模）如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，若OC＝3CD，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024 梁溪区一模）如图，AE＝10，D为AE上一点（端点除外），分别以AD、DE为边长，在AE同侧作正方形ADCB和正方形DEFG，连接BE、GE，连接AG交BE于点O．设DE＝x，△OEG的面积为y，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 灌南县二模）二次函数，若当x＝t时，y＜0，则当x＝t﹣1时，函数值y的取值范围是（ ）
A． B．0＜y＜2 C． D．
7．（2024 滨湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，P为函数图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PB，点B恰好落在y轴上，若点A（4，0），B（0，2），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C． D．
8．（2024 滨湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7．E、F分别为BC、CA上的动点，且BE＝CF，连接AE、BF，则AE+BF的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
二．填空题（共12小题）
9．（2024 宜兴市一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE＝EH时，DH长是 ；运动过程中，△DEH的面积的最小值是 ．
10．（2024 无锡一模）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，过B，C，D的弧交AB于点E，若每个正方形的边长为1，则AE的长度为 ，阴影部分的面积为 ．
11．（2024 无锡一模）已知点A（a﹣2，c），点B（4，d），点C（a，c）都在二次函数y＝x2﹣bx+3（b＞0）的图象上，其中c＜d＜3，则a的取值范围为 ．
12．（2024 新吴区一模）如图，在菱形ABCD中，，点M是边AB的中点，点N是边AD上一点，若一条光线从点M射出，先到达点N，再经AD反射后经过点C，则的值为 ．
13．（2024 梁溪区一模）如图，矩形ABCD中，BE、BF将∠ABC三等分，连接EF．若∠BEF＝90°，则AB：BC的比值为 ．
14．（2024 梁溪区一模）已知某二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（6，0），点P（m+4，n1）和点Q（3m﹣2，n2）都在函数图象上，若n1＜n2，则m的取值范围为 ．
15．（2024 梁溪区一模）如图， ABCD中，∠A＝45°，AB＝3，AD＝4，点E为AD上一点（端点除外），连接BE、CE，点A关于BE的对称点记为A'，当点A′恰好落在线段EC上时，此时EC＝ ，AE＝ ．
16．（2023 工业园区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为 ．
17．（2024 梁溪区校级一模）已知函数y＝，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是 ．
18．（2024 滨湖区一模）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点、N（2，n）两点，则关于x的不等式ax2﹣kx+（c﹣b）＜0的解集为 ．
19．（2024 滨湖区一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、B、C、D均为格点，给出下列三个命题：
①点A到点B的最短距离为；
②点A到直线CD的距离为；
③直线AB、CD所交的锐角为45°；
其中，所有正确命题的序号为 .（填序号）
20．（2024 江阴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠BAO＝60°，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转，当点A的对应点A′落在函数的图象上时，设点B的对应点B′的坐标是（m，n），则m+n＝ ．
三．解答题（共2小题）
21．（2024 无锡一模）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，
（1）求证：BD＞CD；
（2）如图2，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的⊙O恰好经过点D，交AC，AB于点E，F．
①求证：BC为⊙O的切线；
②连接EF，若EF＝8，⊙O的半径为5，求BD的长．
22．（2024 新吴区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，CD为⊙O的切线，切点为C，且BD⊥CD，垂足为点D，连接AD．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）若AB＝4，BD＝3，求AD的长．
中考选填压轴预测 无锡 （春季第16周）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：如图，连接AD，延长BA交y轴于点F，
∵点D是菱形对角线OB的中点，AB∥OC，
∴点A，D，C三点共线．BF⊥y轴，
设点D（m，n），则B（2m，2n），
∴k＝mn，
∴A（，2n）．
∴直线OB：y＝x．
∵AE∥OB，
∴直线AE：y＝x+n．
∴E（0，n）．
∴AF＝﹣m，OE＝﹣n．
∴△AON的面积＝AF OE＝×（﹣m）×（﹣n）＝mn＝3．
∴mn＝8．
∴k＝8．
故选：C．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△BAE与△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE＝AF，BE＝CF，故①正确；
∵∠EAF＝60°，AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，
∴∠EAB＝∠CEF，
在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，则∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCD＝60°，
∵∠AEB＜∠AEF＝60°，
∴△ABE与△EFC不相似，故②错误；
过点A作AG⊥BC于G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，
∴∠AEB＝45°，
设菱形ABCD的边AB＝2a，
在Rt△AGB中，∠ABC＝60°，AB＝2a，则∠BAG＝30°，
∴，，则；
在Rt△AEG中，∠AEG＝∠EAG＝45°，则，，
∴EB＝EG BG＝a a，则；
过点A作AI⊥EF于I，如图所示：
∵△AEF是等边三角形，
∴，∠AEF＝60°，
在Rt△AEI中，∠AEF＝60°，，则∠EAI＝30°，
∴，则；
∵△AEB≌△AFC，
∴∠ABE＝∠ACF＝120°，，
∴∠FCE＝60°，
在Rt△CHF中，∠CFH＝30°，，则，
∴，
∵，
则；
∴；；故③正确，④错误；
综上所述，正确的是①③，
故选：A．
3．【解答】解：设AE＝a，BE＝b，AB＝c，
则sinα＝，cosα＝，
∵3sinα＝2cosα，
∴＝，
∴b＝a，
∴正方形ABCD的面积＝a2+b2＝a2+（a）2＝a2，
正方形EFGH的面积＝（b﹣a）2＝（a﹣a）2＝a2，
∴正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为＝13，
故选：B．
4．【解答】解：设CD＝a，则OC＝3CD＝3a，
∴OD＝OC+CD＝4a，
∵点A、B均在反比例函数的图象上，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴点A，B，四边形ACDB为直角梯形，
∴AC＝，BD＝，
∴S梯形ACDB＝（AC+BC） CD＝＝，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAC＝S△OBD，
∵S△AOB＝S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD＝S梯形ACDB＝．
故选：D．
5．【解答】解：过点O作MN∥AE，分别交AB，DG于M，N，设BE交DG于H，如图：
∵四边形ADCB和四边形DEFG都是正方形，
∴GD∥AB，
∴△DEH∽△AEB，
∴＝，
即＝，
∴DH＝，
∴GH＝x﹣＝，
∵GD∥AB，
∴∠BAO＝∠HGO，
∵∠AOB＝∠GOH，
∴△OAB∽△OGH，
∴＝，
同理可证△AOM∽△GON，
∴＝，
∴＝，
设ON＝m，则OM＝10﹣x﹣m，
∴＝，
∴m＝，
∴S△OEG＝S△OHG+S△GHE＝××+× x＝，
∴y＝，
故选：A．
6．【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
∵0＜a＜，
∴0＜4a＜1．
∴Δ＝1﹣4a＞0．
设y＝x2﹣x+a（0＜a＜）与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（其中x1＜x2），
∵当x＝t时，y＜0，且抛物线开口向上，
∴x1＜t＜x2，
∵抛物线的对称轴为x＝，x＝0或1时，y＝a＞0，
∴0＜x1＜，＜x2＜1．
∴x1﹣1＜t﹣1＜x2﹣1＜0，
∴当x1﹣1＜x＜x2﹣1时，y随着x的增大而减少，
∴当x＝t﹣1时，y＜（x1﹣1）2﹣（x1﹣1）+a＝2﹣2x1，y＞（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+a＝2﹣2x2，
∵0＜x1＜，
∴当x＝t﹣1时，y＜2，
∵＜x2＜1，
∴当x＝t﹣1时，y＞0，
∴函数值y的取值范围为0＜y＜2．
故选：B．
7．【解答】解：如图，作PC⊥y轴，垂足为C，
∵点A（4，0），B（0，2），
∴AO＝CP＝4，
∴P（4，），PA＝PB＝，
∴BC＝﹣2，
在Rt△BCP中，PC2+BC2＝PB2，
∴42+（）2＝（）2，
解得：k＝20．
故选：B．
8．【解答】解：过点B作BG∥AC，且使得BG＝BC．作AJ⊥BG于点J，BH⊥CA交CA的延长线于点H．
∵BG∥AC，
∴∠C＝∠EBG，
在△BCF和△GBE中，
，
∴△BCF≌△BGE（SAS），
∴BF＝EG，
∵AH∥BJ，BH⊥AH，AJ⊥BJ，
∴∠H＝∠AJB＝∠JAH＝90°，
∴四边形AHBJ是矩形，
∴BH＝AJ，AH＝BJ，设AH＝BJ＝x，BH＝AJ＝y，则有，
解得，
∴AH＝BJ＝，JG＝BG﹣BJ＝7﹣＝，
∴AG＝＝＝，
∵AE+BF＝AE+EG≥AG，
∴AE+BF≥，
∴AE+BF的最小值为，
故选：B．
二．填空题（共12小题）
9．【解答】解：连接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴∠DCB＝∠G＝90°，FC＝GH，BC＝EG＝3，
∴FC∥GH，BE＝CG，
∴四边形FCGH是平行四边形，
∴四边形FCGH是矩形，
∵BE＝CF，
∴CG＝CF，
∴四边形CGHF为正方形，
∴EH＝CF，
设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x，
∴EC＝3﹣x，
∵DE＝EH，
∴（3﹣x）2+22＝32+x2，
解得x＝，
∴CF＝FH＝，
∴DF＝2﹣x＝2﹣＝，
∴DH＝＝＝；
∵S△DEH＝S△DEC+S梯形DCGH﹣S△EHG＝（3﹣x）×2+（2+x） x﹣＝﹣x+3＝（x﹣）2+，
∵＞0，
∴△DEH的面积的最小值是．
故答案为：，．
10．【解答】解：如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接AD、BD、OE，
由勾股定理得：AD＝＝，BD＝＝，AB＝＝，
∴AD＝BD，AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°，
∵∠DEB＝∠DCB＝90°，
∴DE⊥AB，BD为半圆的直径，
∴AE＝BE＝AB＝，
∵OB＝OD＝BD＝，
∴OE⊥BD，OE＝BD＝，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE＝π （）2﹣××＝﹣，
故答案为：，﹣．
11．【解答】解：点A（a﹣2，c），点B（4，d），点C（a，c）都在二次函数y＝x2﹣bx+3（b＞0）的图象上，
∴对称轴为直线x＝＝a﹣1，
∴点（0，3）和（2a﹣2，3）也在二次函数y＝x2﹣bx+3（b＞0）的图象上，
∵b＞0，
∴a﹣1＝＞0，
∴a＞1，
∴点A（a﹣2，c）在对称轴的左侧，点C（a，c）在对称轴的右侧，
∵抛物线开口向上，
∴x＜a﹣1是，y随x的增大而减小，x＞a﹣1y随x的增大而增大，
∴当B在对称轴的左侧时，则有a﹣2＞4，解得a＞6，
当B在对称轴的右侧时，则有，解得3＜a＜4．
故a的取值范围为3＜a＜4或a＞6．
故答案为：3＜a＜4或a＞6．
12．【解答】解：作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，
设菱形边长为10个单位长，
∵M为AB中点，
∴AM＝5，
∵tanA＝，
∴AE＝3，ME＝4，
∵AD＝10，
∴DE＝7，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠A，
∴tan∠CDF＝，
∵CD＝10，
∴CD＝8，DF＝6，
设EN＝x，
∴DN＝7﹣x，
∴FN＝13﹣x，
由光的反射定律得，∠MNE＝∠CND，
∴△MNE∽△CNF，
∴EN：FN＝ME：CF，即x：（13﹣x）＝4：8，
∴x＝，
∴AN＝AE+EN＝，DN＝7﹣x＝，
∴AN：DN＝，
故答案为：．
13．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠A＝90°，∠C＝90°，
∵BE、BF将∠ABC三等分，
∴∠ABE＝∠EBF＝∠FBC＝30°，
设AE＝x，则BE＝2x，
∴AB＝＝x，
∵∠BEF＝90°，∠EBF＝30°，
∴EF＝BE tan30°＝2x ＝x，
∴BF＝2EF＝x，
∴BC＝BF cos30°＝x ＝2x，
∴AB：BC＝x：2x＝：2，
故答案为：：2．
14．【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线x＝＝2．
又二次函数的图象开口向上，
∴越靠近对称轴函数值越小．
又n1＜n2，
∴|m+4﹣2|＜|3m﹣2﹣2|．
∴|m+2|＜|3m﹣4|．
①当m＜﹣2时，﹣m﹣2＜4﹣3m，
∴m＜3．
∴m＜﹣2．
②当﹣2≤m≤时，m+2＜4﹣3m，
∴m＜．
∴﹣2≤m＜．
③当m＞时，m+2＜3m﹣4，
∴m＞3．
综上，m＜或m＞3．
15．【解答】解：过B作BN⊥AD于N，过E作EM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝4，
∴四边形BMEN是矩形，
∴EN＝MB，
∵∠BAD＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∵AB＝3，
∴AN＝BN＝AB＝，
∴ME＝BN＝，
由轴对称的性质得到：∠BEC＝∠BEA，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝4，
∴CM＝＝，
∴BM＝BC﹣CM＝，
∴NE＝MB＝，
∴AE＝AN+NE＝+＝，
故答案为：4，．
16．【解答】解：过N作NH⊥AB于H，如图：
∵∠FHN＝∠FAD＝90°，
∴HN∥AD，
∴∠ADF＝∠HNF，
设tan∠ADF＝tan∠FNH＝k，设NH＝AH＝b，则FH＝kb，
∴AF＝b+kb，
∵tan∠ADF＝，
∴AD＝＝b，
∴S2＝AF HN＝b2（1+k），S1＝S△ADC﹣2S△ADN＝（b）2﹣2× b b，
∵S2＝2S1，
∴b2（1+k）＝2 [（b）2﹣2× b b]，
整理得：k2+2k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴tan∠ADF＝k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
17．【解答】解：∵ax﹣2a﹣y＝0可化简为y＝a（x﹣2），
∴无论a取何值，恒过（2，0），
∴该函数图象随a值不同绕（2，0）旋转，
作出题中所含两个函数图象如下：
经旋转可得：当﹣1＜a≤﹣时，关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解．
故答案为：﹣1＜a≤﹣．
18．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点、N（2，n）两点，
∴当﹣＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，
即ax2﹣kx+c﹣b＜0，
∴关于x的不等式ax2﹣kx+（c﹣b）＜0的解集为﹣＜x＜2．
故答案为：﹣＜x＜2．
19．【解答】解：由图可得，点A到点B的最短距离为AB＝，故①正确；
取格点E，连接DE，AE，则C，D，F，E共线，过点A作AH⊥CD于H，
∵S△AEF＝EF AH，
∴AH＝，故②正确；
取格点J，连接AJ，JB，则AJ∥CD，△AJB是等腰直角三角形，
∴∠BAJ＝45°，
∴直线AB、CD所交的锐角为45°，故③正确，
故答案为：①②③．
20．【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵点A坐标是（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠BAO＝60°，
∴OA＝3，＝，
∴OB＝3，，
∵∠A′OD+∠B′OE＝90°＝∠A′OD+∠OA′D，
∴∠OA′D＝∠B′OE，
∵∠A′DO＝∠B′EO＝90°，
∴△A′OD∽△OB′E，
∴＝，即＝，
∵点B′的坐标是（m，n），
∴OE＝m，B′E＝n，
∴OD＝n，A′D＝m，
∴A′（﹣n，m），
∵点A′落在函数的图象上，
∴﹣mn＝﹣3，
∴mn＝9，
∵OB′2＝OE2+B′E2，即m2+n2＝（3）2，
∴m2+n2+2mn＝45，即（m+n）2＝45，
∴m+n＝3（负数舍去），
故答案为：3．
三．解答题（共2小题）
21．【解答】（1）证明：如图1，作PD⊥AB于点P，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠CAB交BC于D，PD⊥AB，CD⊥AB，
∴PD＝CD，
∵BD＞PD，
∴BD＞CD．
（2）解：①证明：如图2，∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且BC⊥OD，
∴BC为⊙O的切线．
②∵⊙O的半径为5，
∴OD＝OA＝5，
∵AF是⊙O的直径，
∴AF＝2×5＝10，∠AEF＝90°，
∵EF＝8，
∴AE＝＝＝6，
由①得OD∥AC，∠ODB＝90°，
∴∠DOB＝∠EAF，
∴＝tan∠DOB＝tan∠EAF＝＝＝，
∴BD＝OD＝×5＝，
∴BD的长是．
22．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠BDC，∠ABC＝∠DBC，
∴△BAC∽△BCD，
∴BC：BD＝BA：BC，
即BC：3＝4：BC，
解得BC＝2，
在Rt△BCD中，∵cos∠DBC＝＝＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝60°，
过D点作DH⊥AB于H点，如图，
在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，
∴BH＝BD＝，
∴DH＝BH＝，
∴AH＝AB﹣BH＝4﹣＝，
在Rt△ADH中，AD＝＝．
