第17章一元二次方程（单元提升卷 ）
一、单选题
1．关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A． B．
C．或 D．且
2．一次同学聚会，大家见面都要互相赠送小礼品，已知这次同学聚会共有90件礼品，有人参加聚会，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．2 B． C．0 D．1
4．下列多项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是( )
A．m=0，n=0 B．m＝0，n0
C．m0，n=0 D．m0，n0
二、填空题
7．已知一元二次方程的一个根是﹣3，则这个方程可以是________（填上你认为正确的一个方程即可）
8．若x=a是方程x2﹣x﹣2015=0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2015值为 ________
9．已知a=6+，b=6﹣，则a2+b2=________．
10．已知m，n是方程x2+2x﹣6=0的一个根，则代数式m2﹣mn+3m+n的值为________．
11．若x=－2是关于x的方程x2－2ax+8=0的一个根，则a= ______ ．
12．一元二次方程的解为________．
13．一元二次方程x（x﹣1）=x﹣1的解是_______．
14．为迎接G20杭州峰会的召开，某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种T恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件（含60件）以上时，一律每件80元．如果八(1)(2)班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买数量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，则第一批T恤衫的购买_____件．
15．当＝－2时，则二次根式的值为________．
16．随着经济的发展，桐乡房价从2015年的8000元/平方米,增长到2017年的11520元/平方米，设平均每年的增长率相同为x，则根据题意可列方程为________．
17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
18．已知，则的值等于________．
三、解答题
19．在一块长55米、宽45米的长方形绿地中间修两条同样宽的互相垂直的小路，剩下的可以用来绿化的面积为2000平方米，求小路的宽度.
20．设m为整数，且4＜m＜40，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根.
21．设(a，b)是一次函数y＝(k-2)x+m与反比例函数的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数．
（1）求k的值；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．
22．国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择：
①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？
23．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.
(1) 甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2) 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.
24．已知一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值.
25．某地区环保局在检查该地区某铝厂时发现，该厂污水严重影响周围环境，要求做定期整改，据估测，该厂年排放污水量为36万吨，接到通知后，该厂决定分两期投入治理，一方面对排放的污水进行处理，同时使得处理后的污水年排放量减少到17.64万吨，如果每期治理中污水减少的百分率相同.
（1）问每期减少的百分率为多少？
（2）如果第一期治理中每减少排放1万吨污水，需投入2万元，第二期每减少排放1万吨污水，需投入3万元，问预计两期治理共需多少万元？
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0，a b c是常数），求出即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴
即：且
故选：D．
2．D
【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x-1）件礼物解决问题即可．
【详解】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x-1）件礼物，
依题意，得 x（x-1）=90．
故选：D．
3．D
【分析】先根据方程有两个不相等的实数根，根据判别式即可得到关于k的一元一次不等式，求出k的取值范围，由此即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
∴k的最大整数值是1．
故选：D．
4．D
【分析】根据分解因式的方法：提公因式法，公式法包括平方差公式与完全平方公式，结合多项式特征进行判断即可．
【详解】A. ，能直接利用公式法能分解因式，不符合题意；
B. ，能直接利用公式法能分解因式，不符合题意；
C. ，能直接利用公式法能分解因式，不符合题意；
D. ，，次方程无解，不能分解因式，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
由这两个条件对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、错误，是分式方程；
B、错误，含有两个未知数，是二元二次方程；
C、正确，符合一元二次方程的定义；
D、错误，化简后是一元一次方程．
故选：C．
6．C
【分析】把x=0代入方程求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围即可．
【详解】方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立，可得n=0；
∴原方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0，可求得方程的根是0或-m，
∵两根中只有一根等于0，
∴-m≠0即m≠0
∴方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0．
故选C．
二、填空题
7．x2+3x=0
【分析】方程一个解为 3，假设另一个解为0，则方程可为x（x＋3）＝0，然后把方程化为一般式即可．
【详解】解：一元二次方程的一个根是 3，则这个方程可以是x（x＋3）＝0，即x2＋3x＝0．
故答案为x2＋3x＝0．
8．2015
【分析】把x＝a代入已知方程，得到a2 a＝2015，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
【详解】解：把x＝a代入x2 x 2015＝0，得a2 a 2015＝0，
∴a2 a＝2015，
∴2a2 2a 2015＝2（a2 a） 2015＝2×2015 2015＝2015．
故答案是：2015．
9．142
【分析】直接利用乘法公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．
【详解】解：∵a=6+，b=6﹣，
∴a2＋b2
＝（a＋b）2 2ab
＝（6＋＋6 ）2 2×（6＋）（6 ）
＝144 2×（36 35）
＝142．
故答案为142．
10．10
【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出m2＋2m＝6，m＋n＝ 2，mn＝ 6，代入到原式＝m2＋2m mn＋m＋n可得答案．
【详解】解：∵m，n是方程x2＋2x 6＝0的根，
∴m2＋2m＝6，m＋n＝ 2，mn＝ 6，
则m2﹣mn+3m+n＝m2＋2m mn＋m＋n＝6 （ 6） 2＝10，
故答案为10．
11．-3
【详解】试题解析：把x=－2代入方程x2－2ax+8=0，
则
解得：
故答案为
12．，
【分析】移项，运用因式分解法求解即可.
【详解】x2=x,
移项得：x2-x=0
x(x-)=0
解得：x1=0，x2=，
故答案为x1=0，x2=
13．x1=x2=1．
【详解】试题分析：方程右边整体移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
方程变形得：（x﹣1）﹣x（x﹣1）=0， 因式分解得：（x﹣1）（1﹣x）=0， 解得：x1=x2=1．
14．40件
【详解】设第一批购买T恤衫x件，则第二批购买（100-x）件，
当30
15．1
【详解】试题分析：把x=-2代入可得=.
故答案为1
16．8000(1+x)2=11520
【详解】由题意可得所列方程为：8000(1+x)2=11520.
17．x=-4,x=-1
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为x1=-4，x2=-1．
18．4
【分析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2=k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．
【详解】设x2+y2 =k，
∴（k+1）（k-3）=5，
∴k 2-2k-3=5，即k 2 -2k-8=0，
∴k=4，或k=-2，
又∵x 2 +y 2的值一定是非负数，
∴x 2+y 2的值是4．
故答案为：4．
三、解答题
19．设小路的宽度为米，由题意可得：，
解得：，（舍去）
答：小路的宽度为5米.
20．解方程，
得，
,
∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，
又∵m为整数，且4＜m＜40，
∴m=12或24.
∴当m=12时，，
∴；
当m=24时，
∴.
21．(1)因为关于x的方程有两个不相等的实数根，
所以 解得k＜3且k≠0，
又因为一次函数y＝(k-2)x+m存在，且k为非负整数，所以k＝1．
(2)因为k＝1，所以原方程可变形为，于是由根与系数的关系知a+b＝4，ab＝-2，
又当k＝1时，一次函数过点(a，b)，所以a+b＝m，于是m＝4，同理可得n＝-2，
故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为与．
22．解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得
5000×（1-x）2=4050
解得x=10%或x=1.9（舍去）
答：平均每次下调10%．
（2）9.8折=98%，
方案一的总费用为：100×4050×98%=396900（元）
方案二的总费用为：100×4050-100×1.5×12×2=401400（元），
396900＜401400，所以第一种方案更优惠．
答：第一种方案更优惠．
23．解：（1）设甲单独完成需x天，则乙队单独完成需要的时间是1.5x天，由题意，得
() 12=1，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的根，
∴乙队单独完成需要的时间是30天．
答：甲单独完成需20天，则乙队单独完成需要的时间是30天；
（2）设乙每天工程费为y元，则甲队每天的工程费为（y+150）元，由题意，得
12（y+y+150）=13800，
解得：y=500．
∴甲队每天的费用为：500+150=650元．
乙队的总费用为：500×30=15000（元），
甲队的总费用为：（500+150）×20=13000（元）．
∵13000元＜15000元，
∴应选甲队．
24．（l），
（2）是符合条件的最大整数且，
，
当时，方程的根为，；
把代入方程得，；
把代入方程得，
25．（1）设每期减少的百分率为，由题意可得：，
解得：，（舍去）
答：每期减少的百分率为30%.
（2）第一期：（万元）
第二期：（万元）
总共：（万元）
答：预计两期治理共需44.28万元.
