上海市长宁区2024届高三下学期二模数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，，且，则_________.
2．不等式的解集为_________.
3．在的展开式中的系数为_________.
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_________.
5．已知，则_________.
6．直线与直线的夹角大小为_________.
7．收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_________（填：有关或无关）
8．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围为_________.
9．用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_________平方米铁皮
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M在上，，，则点M的横坐标为_________.
11．甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率；依据上述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，，，则_________（精确到0.01）
12．已知平面向量，，，满足：，，若，则的最小值为_________.
二、选择题
13．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14．已知直线a，b和平面，则下列判断中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
15．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第x百分位为m，若从这组数据中任取一个数，这个数比m大的概率为，则x的取值不可能是( )
A.65 B.70 C.75 D.80
16．设数列的前n项和为，若存在非零常数c，使得对任意正整数n，都有，则称数列具有性质p：①存在等差数列具有性质p；②不存在等比数列具有性质p；对于以上两个命题，下列判断正确的是( )
A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假
三、解答题
17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0 π
x
0 1 0
（1）请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）设，，，求函数的值域.
18．如图，在长方体中，，.
（1）求二面角的大小；
（2）若点P在直线上，求证：直线平面；
19．盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；
（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；
（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布、期望与方差；
20．已知椭圆，O为坐标原点；
（1）求的离心率e；
（2）设点，点M在上，求的最大值和最小值；
（3）点，点P在直线上，过点P且与平行的直线l与交于A，B两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
21．设函数的定义域为D，若存在实数k，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数k的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}；
（1）求函数的上确界；
（2）若，求h的最大值；
（3）设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0.
参考答案
1．答案：2
解析：，，且，
集合A里面的元素均可在集合B里面找到，
.
故答案为：2.
2．答案：
解析：，
，
，
不等式的解集为.
故答案为：.
3．答案：4
解析：由二项式定理可知，的展开式的通项为，
令，解得，
所以，
所以二项式的展开式中含项的系数为4.
故答案为：4.
4．答案：
解析：由题意可知，，所以.
5．答案：1
解析：由可知，，
所以.
故答案为：1.
6．答案：/
解析：设直线与直线的倾斜角分别为，，
则，，且，，
所以，
因为，
所以，即两条直线的夹角为，
故答案为：.
7．答案：无关
解析：零假设等价于两个变量相互独立，
所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.
故答案为：无关.
8．答案：或
解析：因为函数是定义域为R的奇函数，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
若，
当时，可得，解得，
当时，可得，解得，
当时，可得，显然不成立，
故的取值范围为或.
故答案为：或.
9．答案：
解析：设圆柱形容器的底面半径为r，高为h，
所以圆柱形容器的体积为，所以，
所以圆柱形容器的表面积为：,
当且仅当，又，即时等号成立，
故至少需要平方米铁皮.
故答案为：.
10．答案：
解析：如图所示：
过点F作于点H，
显然抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线定义有，结合得，
而，，
所以.
故答案为：.
11．答案：20.68
解析：依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车载客时行驶的里程为，
所以出租车空驶率，
对于甲，，满足题意；
对于乙，，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为，即.
故答案为：20.68.
12．答案：2
解析：由于，
且，
故有
，
所以，记，则有，从而或，即或.
总之有，故，即.
存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2.
故答案为：2.
13．答案：C
解析：设，则，
由可得，所以，充分性成立，
当时，即，则，满足，
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
14．答案：C
解析：A：若，，则两直线平行或异面或相交，故A错误；
B：若，，当直线a在平面内时，则直线a不平行于平面，故B错误；
C：若，设过a的平面与相交于c，则，
又因为，，所以，所以，所以，故C正确；
D：若，，则或或，故D错误；
故选：C.
15．答案：D
解析：将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：
、、、、、、、，
因为从这组数据中任取一个数，这个数比m大的概率为，
一共有8个数，所以比m大的数有两个，则，
对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意；
对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意；
对于C，因为，
所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意；
对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意.
故选：D.
16．答案：B
解析：一方面，对，知是等差数列.
而，令就有，
所以具有性质p，这表明存在等差数列具有性质p；
另一方面，对，知是等比数列.
当n为奇数时，；n为偶数时，.
故当n为奇数时，；n为偶数时，.
故当n为奇数时，；n为偶数时，.
这表明恒成立，再令就有，
所以具有性质p，这表明存在等比数列具有性质p.
综上，①正确，②错误，故B正确.
故选：B.
17．答案：（1）补充表格见解析，
（2）
解析：（1）由题意，解得，，
所以函数的解析式为，
令时，解得，当时，，，
将表中处的数据补充完整如下表：
0 π
x
0 1 0 0
（2）若，，
则，
，
因为，所以，
进而，
所以函数的值域为.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，，，，
因为，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设平面的法向量为
所以，
所以二面角的大小为.
（2）设，则设，，，
所以，，，所以，，
平面的法向量为，
，因为平面，
所以直线平面.
19．答案：（1）
（2）分布见解析，期望，
解析：（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为，
第一次取出红球，第二次取出红球的概率为，
第一次取出白球，第二次取出红球的概率为，
所有第二次取出的球是红球的概率为.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布为，
它的期望为，
它的方差为.
20．答案：（1）
（2）的最大值为，最小值为
（3）
解析：（1）设的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c，
则，，则，所以.
（2）依题意，设，则，，故，
则，
所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为.
（3）设，，，又，
易得，则直线l为，即，
而，
，
，
联立，消去y，得，
则，得，
所以，
故
，
所以，
故存在，使得恒成立.
21．答案：（1）2
（2）4
（3）证明见解析
解析：（1）因为函数在区间上严格递减，
所以函数的值域为，
所以函数的上确界为2.
（2），，，
因为记集合{在区间上是严格增函数}，
所以恒成立，
因为，当且仅当时取等号，所以，
所以h的最大值为4.
（3）证明：因为函数有上界，设，
假设存在，使得，
设，
因为，所以E在上严格递增，进而，
得，，
取，且，
由于，得到，①
由，得，②
显然①②两式矛盾，所以假设不成立，
即对任意，均有，
令，，则，
因为当时，，
所以在上严格递增，，
因为，的值域为，
所以函数的上确界为零.
