【北师大版八上同步练习】
第二章实数（基础知识）检测题
一、单选题
1．若，，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．5
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．估算的值( )
A．在6与7之间 B．在5与6之间 C．在4与5之间 D．在3与4之间
4．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、判断题
6．有理数与无理数的积一定是无理数．
三、填空题
7．如图，在数轴上方作边长为1的小正方形网格，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为 ．
8．如图，已知，，点D在上，，，，那么的长为 ．
9．一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小，个位上的数字比十位上的数字小则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数，，，是“三五律数”，此时，．
（1）四位正整数是“三五律数”，则 ．
（2）若是“三五律数”，且满足是一个正整数的次方，则符合条件的为 ．
四、计算题
10．计算：
（1）；
（2）．
11．已知，．
（1）求和的值；
（2）求的值．
12．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
五、解答题
13．已知，，求代数式的值．
14． 观察、发现：
（1）试化简：；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：.
15． 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）10+也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则 ；
（3）若，其中是整数，且0
16．若64的立方根是m，m的平方根是n．
（1）求m的值；
（2）求的值．
17．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）计算：．
18．在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
七、实践探究题
19．问题背景：
在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出的面积为 ；
（2）思维拓展：
我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，则它的面积是 ▲ ；
（3）探索创新：
若三边的长分别为，，（m>0，n>0，且m≠n，则这三角形的面积是 ．（用含，的式子表示）
20．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
21．阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：，，又，，当时取等号．
的最小值为．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，当且仅当 时，有最小值为 ．
（2）当时，求的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
4．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
5．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
6．【答案】错误
【知识点】无理数的概念
7．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
8．【答案】
【知识点】分母有理化；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
9．【答案】73,6163
（1）73
（2）6163
【知识点】实数的运算；定义新运算
10．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
11．【答案】（1），
（2）11
【知识点】二次根式的混合运算
12．【答案】解：x＝5＋2 ，y＝5－2 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 ，原式＝ ＝
【知识点】二次根式的化简求值
13．【答案】解：……4分
当时，
原式＝
【知识点】二次根式的化简求值
14．【答案】（1）解：原式==；
（2）
（3）解：原式=··
= =9
【知识点】分母有理化；探索数与式的规律
15．【答案】（1）4；
（2）—1
（3）解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
∴x=2，y=-4，
∴x-y=2-+4=6-，
∴x-y 的相反数是 -6.
【知识点】无理数的估值
16．【答案】（1）解：∵64的立方根是m，
∴；
（2）解：∵m的平方根是n，
∴，
∴；
【知识点】平方根；立方根及开立方
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
18．【答案】（1）解：设“ ”表示的数为 ，则 ，
∴ ，
∴“ ”表示的数为 ；
（2）解：依题意，原式为 ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
∵ ，
∴
∴当“ ”表示“ ”时，算式的结果最大．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的应用
19．【答案】（1）3.5
（2）解：∵，
∴可以看作是两直角边长分别为2和1的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长都是2的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是4和1的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
；
3；
（3）
【知识点】二次根式的应用；勾股定理
20．【答案】（1）解：，
，
而，，
，
；
（2）解：由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【知识点】二次根式有意义的条件；分母有理化
21．【答案】（1）3；6
（2）解：，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
即的最小值为；
（3）解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
即需要用的篱笆最少是米．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用；偶次方的非负性
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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